高中数学北师大版 (2019)必修 第二册弧度与角度的换算优质导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册弧度与角度的换算优质导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
【解题方法点拨】
利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和θ+2πk（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
1．下列与角2π3的终边一定相同的角是（ ）
A．5π3B．kπ−4π3(k∈Z)
C．2kπ+2π3(k∈Z)D．(2k+1)π+2π3(k∈Z)
【答案】C
【解答】解：与角2π3的终边一定相同的角是2kπ+2π3，k∈Z，A，B，D都不满足，C满足．
故选：C．
（多选）2．若α与γ+π6的终边相同，β与γ−π6的终边关于y轴对称，则（ ）
A．α−γ=2kπ+π6(k∈Z)
B．β+γ=(2k+1)π+π6(k∈Z)
C．α+β=(4k+1)π+π3(k∈Z)
D．α+β=(2k+1)π+π3(k∈Z)
【答案】ABD
【解答】解：由α与γ+π6的终边相同，得α=γ+π6+2k1π，k1∈Z，
由β与γ−π6的终边关于y轴对称，得β+γ−π6=π+2k2π，k2∈Z，
则α−γ=2k1π+π6(k1∈Z)①β+γ=(2k2+1)π+π6(k2∈Z)②，故AB正确；
①+②得，α+β=π3+2k1π+(2k2+1)π(k1，k2∈Z)，
则α+β=(2k+1)π+π3(k∈Z)，故C错误，D正确．
故选：ABD．
▉题型2 弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|=lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知扇形的半径为4cm，弧长为2cm，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ）
A．14B．12C．34D．2
【答案】B
【解答】解：由题意扇形的半径为4cm，弧长为2cm，
设扇形的圆心角为α，
则由扇形的弧长公式l＝αR，可得α=lR=24=12．
故选：B．
4．45°角的弧度数是（ ）
A．π3B．π6C．π4D．π2
【答案】C
【解答】解：∵180°＝π弧度，
∴1°=π180弧度，
则45°＝45×π180弧度=π4弧度，
故选：C．
（多选）5．下列转化结果正确的是（ ）
A．150°化成弧度是5π6
B．−π4化成角度是45°
C．﹣120°化成弧度是−2π3
D．π6化成角度是30°
【答案】ACD
【解答】解：150°化成弧度是5π6，A选项正确．
−π4化成角度是﹣45°，B选项错误．
﹣120°化成弧度是−2π3，C选项正确．
π6化成角度是30°，D选项正确．
故选：ACD．
（多选）6．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】AD
【解答】解：设这条弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π﹣2α，由于弦长等于半径，
所以可得2α=π3或2π−2α=π3，
解得α=π6或α=5π6．
故选：AD．
（多选）7．下列弧度与角度的转化正确的是（ ）
A．−240°=−4π3B．5π3=330°
C．225°=5π4D．−7π4=−310°
【答案】AC
【解答】解：对于A，−240°=−4π3，A对；
对于B，5π3=300°，B错；
对于C，225°=5π4，C对；
对于D，−7π4=−315°，D错．
故选：AC．
8．半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：因为半径为4厘米、弧长为8厘米，
则α=lr=84=2．
故答案为：2．
▉题型3 弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S=12lr=12r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S=12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
9．某扇形的周长为100，圆心角为2弧度，则该扇形的半径为（ ）
A．12.5B．50C．25D．20
【答案】C
【解答】解：设该扇形的半径为r，圆心角为α，则α＝2弧度，
则扇形的弧长为αr＝2r，
因为扇形的周长为100，
所以扇形的周长为αr+2r＝2r+2r＝4r＝100，解得r＝25．
故选：C．
10．已知扇形的周长是5cm，面积是32cm2，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A．3B．43C．3或43D．2
【答案】C
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为 l，则：
l+2r＝5，S=12lr=32，
∴解得r＝1，l＝3或r=32，l＝2，
∴α=lr=3或43，
故选：C．
11．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为（0，π）时，其所对的“古典正弦”为|BC|（D为BC的中点）．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长BC=2时，θ的“古典正弦”值为（ ）
A．2sin1°B．2sin1C．2sin1πD．sin2
【答案】B
【解答】解：由题意可知，OB＝1，
BC=2，
则圆心角∠BOC=21=2，
|BC|＝2BD＝2×OB×sin1＝2sin1．
故选：B．
12．已知扇形的圆心角为15rad，半径为5，则扇形的弧长为（ ）
A．12B．1C．2D．4
【答案】B
【解答】解：扇形的圆心角为15rad，半径为5，
则扇形的弧长为15×5=1．
故选：B．
13．半径为2cm，圆心角为2π3的弧长为 4π3 cm．
【答案】4π3．
【解答】解：半径为2cm，圆心角为2π3的弧长为2×2π3=4π3cm．
故答案为：4π3．
14．若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，
则扇形的周长为2×2+2×1＝6．
故答案为：6．
15．在半径为10的圆中，圆心角为240°的扇形所对的弧的长度为 40π3 ．
【答案】40π3．
【解答】解：扇形圆心角的弧度数为α=4π3，r＝10，
∴弧长l＝αr=4π3×10=40π3．
故答案为：40π3．
▉题型4 扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S=12lr＝12r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
16．已知一个扇形的圆心角为π6，且所对应的弧长为π2，则该扇形的面积为（ ）
A．πB．3π4C．π2D．3π2
【答案】B
【解答】解：设扇形的圆心角为α，弧长为l，
根据题意得扇形的半径r=lα=π2π6=3，
可得该扇形的面积S=12αr2=12×π6×32=3π4．
故选：B．
17．一个扇形的圆心角为150°，面积为5π3，则该扇形半径为（ ）
A．4B．1C．2D．2
【答案】D
【解答】解：设扇形的半径为R，
则150π×R2360=5π3，解得R＝2．
故选：D．
18．已知圆心角为72°的扇形的弧长为4π5，则该扇形的面积为（ ）
A．8π5B．4π5C．2π5D．π5
【答案】B
【解答】解：由题意，扇形的圆心角α=72°=2π5，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧长l=αr=4π5，
所以r＝2，
所以该扇形的面积为S=12lr=4π5．
故选：B．
19．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的简化示意图，若OA＝2OB，则图形ABCD的面积与扇形AOD的面积的比值是（ ）
A．14B．13C．23D．34
【答案】D
【解答】解：设扇形AOD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，
根据扇形BOC与扇形AOD相似，且OA＝2OB，
可得S1S2=(OAOB)2=4，即S1＝4S2，
因此，图形ABCD的面积与扇形AOD的面积比为S1−S2S1=34．
故选：D．
20．若一扇形的圆心角为25π，半径为20cm，则扇形的面积为（ ）
A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2
【答案】B
【解答】解：因为扇形的圆心角为2π5，半径等于20cm，
故扇形的面积为12×2π5×400＝80πcm2．
故选：B．
21．《九章算术》是我国算术名著，有这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形田的面积（单位：平方步）是（ ）
A．64πB．128πC．120D．240
【答案】C
【解答】解：扇形田的弧长30步，直径16步，则其半径为8步，
所以其面积S=12×30×8=120平方步．
故选：C．
22．下列命题错误的是（ ）
A．−17π6是第三象限角
B．角θ为第二或第三象限角的充要条件是sinθtanθ＜0
C．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
D．若圆心角为60°的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2
【答案】C
【解答】解：A.−17π6=−4π+7π6，7π6是第三象限角，则−17π6是第三象限角，A正确；
B.sinθtanθ=sin2θcsθ＜0等价于sinθ≠0csθ＜0，等价于角θ在第二或第三象限，
所以角θ为第二象限或第三象限角的充要条件是sinθtanθ＜0，B正确；
C．经过30分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过﹣π弧度，故C错误，
D．由于圆心角为π3的扇形的弧长为π，可知扇形的半径为ππ3=3，
所以该扇形面积为12π×3=3π2，故D正确．
故选：C．
23．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若α=π3，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积；
【答案】（1）l=10π3(cm)；
（2）(2π3−3)cm2．
【解答】解：（1）∵α＝60°，化为弧度为π3，
又R＝10cm，∴l＝10×π3=10π3（cm）；
（2）设弓形面积为S弓．由（1）知l=2π3cm．
则S弓形=12×2π3×2−12×22×sinπ3=(2π3−3)cm2．
题型1 终边相同的角（弧度制）
题型2 弧度制
题型3 弧长公式
题型4 扇形面积公式