2026年高考数学复习知识清单(全国通用)专题06数列求和全题型培优归类(16题型)(学生版+解析)

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题型1 求和全题型：基础公式法
1．（24-25高三·广西南宁·阶段练习）若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分组求和法计算即可求解.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
2．（25-26高三甘肃·阶段练习）设的整数部分为，则数列的前21项的和为（ ）
A．250B．253C．255D．258
【答案】B
【分析】根据即可结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】因为，
所以当时，，所以，
当时，，所以为小于1的分数，此时，所以
则数列的前21项和为.
故选:B.
3．（25-26高三上·广东·开学考试）已知数列为等比数列，公比为，且.若，则正整数的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据题意求出等比数列的通项，再运用等比数列的性质及前项和公式求解即可．
【详解】由题可得： ，解得，故，
因为
，解得．
故选：C．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（ ）
A．B．C．D．17
【答案】A
【分析】根据等比数列的定义判断为等比数列，进而根据性质求解得，即可由求和公式求解.
【详解】因为，且，所以，所以为等比数列．
因为，所以，
因为，所以，即的公比．
所以．故选：A．
题型2 求和全题型：分组求和
1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得.
【详解】因为，
所以，
又，则，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列.
于是，
因为，
所以，
又，
所以，
故选：A
2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）若数列满足，，则其前2025项的和为（ ）
A．1517B．1519C．1521D．1523
【答案】B
【分析】由题意将所求数列的前2025项的和进行适当分组再求和即得.
【详解】因，
则
.
故选:B.
3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（ ）
A．155B．156C．203D．204
【答案】A
【分析】由，可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由，利用合并项求出
【详解】由，则，
故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，
由，则，，
则，
故
.
故选：A
4．（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先并项求和得，则可得，再由裂项相消法求和可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以数列的前项和.
故选：D.

题型3 求和全题型：倒序求和
1．（24-25高三 陕西西安·阶段练习）若等差数列满足，则（ ）
A．2025B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，，
则，
设，
则，
两式相加可得，解得.
故选：B.
2．（23-24高三·四川绵阳·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（ ）
A．4046B．4045
C．2024D．2023
【答案】A
【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算.
【详解】由题可得，
又数列为等比数列，且，所以，
即，
所以，
故选：A
3．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，记曲线C：，设函数．曲线C的对称中心为点M，曲线C上两个不重合的动点、关于点M对称，求的取值范围和的值（ ）
A．，B．，8098
C．，D．，4049
【答案】A
【分析】由幂函数的概念和单调性的定义可得，从而，再由对称性可知曲线的对称中心为，得到，由，，根据二次函数的性质可得.由对称性可得曲线关于点对称，利用倒序相加可得的值.
【详解】因为函数为幂函数，所以，即，
解得或．当时，；当时，．
因为函数对任意的，且，满足，
所以函数在上单调递增，所以，∴曲线C：，
因为，
得曲线的对称中心为，所以，即，，
又因为A、B两点不重合，故，得，所以.
∵，
∴曲线关于点对称.
设①，
②，
两式相加得.
故选：A．
4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
【答案】A
【分析】由倒序相加法求和即可；
【详解】，
所以，
两式相加可得：，
所以，
故选：A
题型4 求和全题型：错位相消法
1．（24-25高三全国·课后作业）已知对一切都成立，那么，的值为（ ）
A．，B．
C．，D．，
【答案】A
【分析】方法一：利用错位相减求和可得答案；
方法二：利用代入求出可得答案.
【详解】方法一：
令，
则，
两式相减得
，
可得，
对一切都成立，那么，；
方法二：对一切都成立，
当时有，
即，解得.
故选：A.
2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若，则 ．
【答案】100
【分析】利用错位相减求和法求解.
【详解】设，
则.
所以.
所以，.
所以.
故答案为：100
3．（24-25高三·江苏镇江阶段练习）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则 .
【答案】
【分析】根据题意，先利用数列前项和为求出通项公式，再利用错位相减法和等比数列求和即可求解.
【详解】由题意得，即数列的前项和，
则时，，得，
又时，也满足，所以数列得通项公式.
故，
，
两式错位相减，得，
整理化简得故答案为：.
4．（24-25高二下·四川内江·期中）设为数列的前项和，已知，，则 .
【答案】
【分析】构造数列，得其为常数列，进而求得，再由错位相减法求解即可.
【详解】由可得，
令，则，∴又，，∴；
①，
②，
①减②得：，
∴，∴.
故答案为：.
题型5 求和全题型：分段型求和
1.（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据等比数列性质及分组求和法，利用等比数列的前项和及数列的单调性即可求解.
【详解】由可得，
故，设的公比为，则，即，
故，
则．
由于时，，
故随着的增大而增大，而，，
故满足的最小正整数的值为6．
故选：B.
2.（2023·湖北武汉·模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用分组求和法求出，进而得，从而得，利用导数研究其单调性求解.
【详解】等比数列满足各项均为正数，，
则的公比为，，
，
，
；，
当时，，
令，，
令，，
当时，，即为增函数，故，
即当时，为增函数，故，
则单调递增，，时，
综上，则的取值范围为.
故选：A.
3.（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（ ）
A．511B．677C．1021D．2037
【答案】B
【分析】由题意可得，，结合所给条件计算即可得.
【详解】
.
故选：B.
4.（2020·浙江温州·二模）已知数列{an}满足：an（n∈N*）．若正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，则k＝（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【分析】由题意可得a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2＝an+1﹣an+1，n≥6，求得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5，结合已知条件，即可得到所求值．
【详解】解：an（n∈N*），
即a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝2，a6＝a1a2a3…a5﹣1＝25﹣1＝31，
n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，所以a1a2…an＝1+an+1，
两式相除可得an，
则an2＝an+1﹣an+1，n≥6，
由a62＝a7﹣a6+1，
a72＝a8﹣a7+1，
…，
ak2＝ak+1﹣ak+1，k≥5，
可得a62+a72+…+ak2＝ak+1﹣a6+k﹣5
a12+a22+…+ak2＝20+ak+1﹣a6+k﹣5＝ak+1+k﹣16，
且a1a2…ak＝1+ak+1，
正整数k（k≥5）使得a12+a22+…+ak2＝a1a2…ak成立，
则ak+1+k﹣16＝ak+1+1，
则k＝17，
故选：B．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n≥6时，a1a2…an﹣1＝1+an，a1a2…an＝1+an+1，两式相除得出，目的是配出．

题型6 求和全题型：正负相间并项型
1.（22-23高三上·河南·阶段练习）已知数列的通项公式为，前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．28B．30C．31D．32
【答案】D
【分析】用分组（并项）求和法求得和，然后解不等式，结合是正整数得解．
【详解】由题意，得
，
由，得，即，
结合，解得，故的最小值为32．
故选：D．
2.（2022高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为540，则 ．
【答案】-2
【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可
【详解】因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
3.（21-22高三·辽宁沈阳·开学考试）数列 的前项和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设数列，前项和为，
当为奇数时，求出并项，
再根据并项求出当为偶数时的表达式，代值计算即可.
【详解】设数列，数列的前项和为，
当为奇数时，，
所以当为偶数时， ，
所以.
故选：D.
4.（21-22高三上·河南商丘·阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
【答案】D
【分析】分别取，，和，，可验证出，利用周期性可验算得到结果.
【详解】当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，.
，.
故选：D

题型7 裂项求和全题型1：首项是负的基础型
1．（25-26高三·全国·阶段练习）已知在数列中，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可．
【详解】由，得，即，又，
所以，则是以为首项，为公差的等差数列，
则，
故，得，
所以．
所以．
故选：A.
2．（24-25高三下·山东泰安·阶段练习）已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合等差数列的定义，利用取倒数法证得是等差数列，进而求得，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】依题意，由，得，
故数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，则，
所以数列的前20项和为.
故选：B
3．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）等比数列的各项均为正数，且.设，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出、的值，可得出的通项公式，再利用裂项相消法可求得.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
所以，所以，因为，可得，
所以，
所以，
所以，，
即数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
因此.
故选：B.
4．（24-25高三上·辽宁丹东·开学考试）已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用给定条件，求出等差数列的公差的范围，进而求出及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，则，
即，解得，而为整数，则为整数，
因此，，，
所以数列的前9项和为.
故选：A

题型8 裂项求和全题型2：线性函数型
1．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知等差数列的前n项和，若，数列的前n项和为，且，则正整数的值为（ ）
A．4B．6C．5D．8
【答案】C
【分析】由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可.
【详解】当时，，
当时，，符合上式，故，
所以，
故，
由，得，
整理得，化简得，得（舍去负值）．
故选：C
2．（23-24高二·江苏·假期作业）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出的通项，再求出的通项，从而可求，利用参变分离可求的取值范围.
【详解】因为，
所以，
故即，其中.
而令，则，故，.
，
故
，
故恒成立等价于即恒成立，
化简得到，因为，故.
故选：D
3．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ）
A．12B．10C．9D．8
【答案】D
【分析】
由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可.
【详解】当时，，
当时，，符合上式，故，
所以，
故，
由可得，化简得，得（舍去负值）．
故选：D
4．（2019·广东·一模）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.
【详解】数列满足，①
当时，，②
①②得，，故，
则，
则，
由于恒成立，
故，
整理得：，
因随的增加而减小，所以当时，最大，且为，
即.故选：D
题型9 裂项求和全题型3：分离常数裂项型
1．（21-22高三·浙江·阶段练习）已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（ ）
A．1010B．1011C．2021D．2022
【答案】B
【分析】确定数列是递增数列，得，利用已知等式得出，然后对和进行变形，利用裂项相消法求得和的表达式，再由不等式性质得出结论．
【详解】,，又，所以，即是递增数列，
由得，所以，
，
，
所以，而，，，
所以正整数的最大值为1011．
故选：B．
2．（22-23高三福建厦门·阶段练习）设数列的前n项和为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到，利用裂项相消法求数列的前项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解.
【详解】由，
所以，
所以，
故选：A.
3．（2021·山东潍坊·模拟预测）设数列的前n项和为，则（ ）
A．25