2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题二　第二讲　数列求和（含解析）

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1.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T17)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Snan是公差为13的等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：1a1+1a2+…+1an0，b>0).
跟踪演练2 (2025·安康模拟)数列{an}满足a2=5，an+1=2an-1.
(1)证明：数列an-1是等比数列；
(2)若bn=an-1anan+1，证明：数列{bn}的前n项和Sna1，∴a1=2，a5=32，
则q4=a5a1=16，
∴q=2(负值舍去)，故an=2n.
(2)证明 ∵an=2n，
∴dn=an+1-ann+1=2nn+1，则1dn=n+12n，
Tn=1d1+1d2+…+1dn
=2×12+3×122+…+(n+1)×12n，
12Tn=2×122+3×123+…+(n+1)×12n+1，
∴12Tn=1+122+123+…+12n-(n+1)×12n+1
=1+1221-12n-11-12-n+12n+1
=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1，
∴Tn=3-n+32n