2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第05讲数列求和(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第05讲数列求和(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了公式法求和，倒序相加法求和，分组法求和，裂项相消法求和，错位相减法求和，数列综合等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc208897667" 考情探究 PAGEREF _Tc208897667 \h 1
\l "_Tc1954810071" 知识梳理 PAGEREF _Tc1954810071 \h 3
\l "_Tc140547844" 探究核心考点 PAGEREF _Tc140547844 \h 4
\l "_Tc2103086055" 考点一 公式法求和 PAGEREF _Tc2103086055 \h 4
\l "_Tc1133980412" 考点二 倒序相加法求和 PAGEREF _Tc1133980412 \h 4
\l "_Tc2038901006" 考点三 分组法求和 PAGEREF _Tc2038901006 \h 5
\l "_Tc412652663" 考点四 裂项相消法求和 PAGEREF _Tc412652663 \h 6
\l "_Tc1228610878" 考点五 错位相减法求和 PAGEREF _Tc1228610878 \h 7
\l "_Tc1207760641" 考点六 数列综合 PAGEREF _Tc1207760641 \h 7
\l "_Tc817661843" 三阶突破训练 PAGEREF _Tc817661843 \h 8
\l "_Tc694738148" 基础过关 PAGEREF _Tc694738148 \h 8
\l "_Tc595464697" 能力提升 PAGEREF _Tc595464697 \h 10
\l "_Tc701367459" 真题感知 PAGEREF _Tc701367459 \h 11
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前 项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查
【备考策略】（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
【命题预测】以解答题考察为主
\l "_Tc25045" 一、分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
\l "_Tc25045" 二、裂项相消法
1、等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
\l "_Tc25045" 三、错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
考点一 公式法求和
典例1．已知数列满足，则（ ）
A．100B．101C．102D．103
典例2．已知数列的前n项和为，，，则 （用数字作答）.
跟踪训练1．数列的前项和 ．
跟踪训练2．已知数列，，且数列的前项和为，那么 ．
跟踪训练3．已知数列分别是等差、等比数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考点二 倒序相加法求和
典例1．已知函数，（ ）
A．B．C．D．
典例2．已知函数，数列满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：．
跟踪训练1．若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
跟踪训练2．若，已知数列中，首项，，，则 .
跟踪训练3．已知函数.
(1)若为奇函数，求；
(2)求.
考点三 分组法求和
典例1．记为数列的前项和，已知.
(1)求，并求的通项公式；
(2)求的前项和.
典例2．已知等比数列的前项和为，且成等差数列，数列的前项和为，且
(1)求的通项公式
(2)设是数列的前项和，求；
(3)设是的前项的积，求证：.
跟踪训练1．在数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和．
跟踪训练2．将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且．
(1)求；
(2)求数列的前项和．
考点四 裂项相消法求和
典例1．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
典例2．记数列的前n项和为，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
跟踪训练1．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数.
跟踪训练2．已知函数，为数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
跟踪训练3．设首项为2的数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为整数，且对任意，，求的最大值；
(3)设，求数列的前项和.
考点五 错位相减法求和
典例1．已知数列中，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)给定正整数，设函数，求.
典例2．已知正项数列满足：．
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式．
跟踪训练1．已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和.
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
跟踪训练2．已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求；
(3)若，求数列的前项和.
考点六 数列综合
典例1．已知数列满足，，，．
(1)求的通项公式；
(2)的前项和记为，试求；
(3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围．
典例2．在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．
跟踪训练1．设是等差数列，是等比数列，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：；
(3)设，求数列的前项和.
跟踪训练2．如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.

(1)求，；
(2)记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值.
一、单选题
1．数列的前项和为，则等于（ ）
A．1011B．C．2022D．
2．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（ ）
A．107B．1409C．1414D．112
3．已知等差数列满足，若在与之间插入个得到数列，为数列的前n项和，则（ ）
A．15B．C．D．62
4．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前n项和为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
6．已知数列满足，则数列的前4项的和为 ．
7．已知数列的通项公式为，其前项和为，则 ．
8．已知数列的通项公式为，是数列的前项和，的取值范围是 ．
三、解答题
9．已知均为等差数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
10．已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求.
11．已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，证明：．
12．在等差数列中，，在等比数列中，，公比.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
13．已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
1．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正项数列的前项和为，如果实数使得对所有正整数都成立，则的取值范围是 ．
3．已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值．
4．数列满足，且时，有．
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，试求．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
6．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025·天津·19
数列求和
排列组合
2024·全国甲卷18题
数列求和
无
2023·全国甲卷·
错位相减法求和
无
2023·新课标Ⅱ卷·18
分组求和
无