2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题07三角函数的图象与性质及其三角恒等变换(培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题07三角函数的图象与性质及其三角恒等变换(培优讲义)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了公式的应用，凑角技巧，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

◇方法技巧 01 三角恒等变换常用方法
一、公式的应用
1. 必背公式:
同角三角函数关系：
.
诱导：奇变偶不变，符号看象限
和差：
；；.
二倍角：
；；.
降幂 / 升幂：
。
2. 解题万能套路
见高次就降幂：一律用降幂公式。
见和角就展开：先展开再说。
见就合一变形：
求周期、最值、单调性必用：统一角、统一名、统一次数
二、凑角技巧
1. 核心思想
未知角 = 已知角的和 / 差
不用死记，就一句话：用题目给的角，表示要求的角。
2. 最常见凑角模板
，
3. 凑角步骤
标出已知角、所求角
观察：所求角 = 哪两个已知角的和 / 差
用和差公式展开
注意象限定符号
◇方法技巧 02 三角函数图象及性质常用方法
一、三角函数图像与性质 常用方法
1. 标准型
一律先化成：或
2. 核心性质速算
周期：；最值：最大值，最小值；对称轴：正弦函数，余弦函数；对称中心：正弦函数求，余弦函数求；单调区间：把看作整体，代入或 的单调区间，再解。
3. 图像平移技巧
左加右减，只对变；上加下减，在最后变
先平移，再伸缩；或先伸缩再平移。
4. 求解析式套路
看上下距离 →；看周期 → ；代特殊点（最高点 / 最低点 / 零点）→
◇题型 01 同角三角函数的关系
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A．B．
C．1D．
典例2．（多选）已知，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 02 和差角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知锐角满足，则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知，，则（ ）
A．3B．1
C．D．
典例3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．=（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知，则（ ）
A．–2B．–1
C．1D．2
变式3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 03 二倍角公式的简单应用
典｜例｜精｜析
典例1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．若，，则（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 04 和差角、二倍角公式的化简
典｜例｜精｜析
典例1．设且则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．若．则（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 05 半角公式的应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知为锐角，若，则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2．设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 06 恒等变换化简求值
典｜例｜精｜析
典例1．求（ ）
A．B．
C．D．
典例2．设，，，则有（ ）
A．B．
C．D．
典例3．（多选）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．的值为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．，若，则（ ）
A．1B．2
C．4D．8
【答案】B
变式3．（多选）下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 07 凑角的应用
典｜例｜精｜析
典例1．若,则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
典例3．若，为锐角，，，则（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知都是锐角，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．若，，且都为锐角，则（ ）
A．B．
C．D．1
变式3．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（多选）已知，为锐角，，，则（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 08 恒等变换的综合应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
典例2．已知，，则____________________．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
变式2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．已知锐角满足，则（ ）
A．B．
C．D．
◇题型 09 三角函数的图像及性质
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．将的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数
D．函数与在上有两个交点
典例2．（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是B．在上单调递增
C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称
变｜式｜巩｜固
变式1．函数，的增区间是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（多选）已知函数，则（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小正周期为D．
变式3．（多选）已知函数，则（ ）
A．是周期为的函数B．与函数是同一函数
C．不是的一条对称轴D．在区间上的取值范围是
◇题型 10 三角函数平移伸缩变换
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．先向右平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；
B．先向左平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平行移动个单位；
典例2．（多选）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
变｜式｜巩｜固
变式1．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（多选）函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．是增函数
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
变式3．（多选）已知曲线，，则下面结论正确的是（ ）
A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
B．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
◇题型 11 三角函数图象求解析式
典｜例｜精｜析
典例1．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的最小正周期为
D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
典例2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．在区间上单调递增
典例3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为
D．函数的图象关于直线对称
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
D．在区间上的值域为
变式2．（多选）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上的值域为
C．在上单调递增
D．的图象关于原点对称
变式3．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
一、单项选择题
1．（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ）
A．1倍B．倍
C．倍D．倍
6．若,则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题
7．已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
8．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该函数的解析式为
C．将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数
D．当时，函数的值域为
9．已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
D．函数在区间上的单调递减区间为
三、填空题
10．已知为第一象限角，为第三象限角，，，则______________.
11．若，则_____________，__________________．
12．已知，求_______________．
四、解答题
13．已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14．已知函数，．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】同角三角函数的关系
【题型02】和差角公式的简单应用
【题型03】二倍角公式的简单应用
【题型04】和差角、二倍角公式的化简
【题型05】半角公式的应用
【题型06】恒等变换化简求值
【题型07】凑角的应用
【题型08】恒等变换的综合应用
【题型09】三角函数的图像及性质
【题型10】三角函数平移伸缩变换
【题型11】三角函数图像求解析式
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
三角恒等变换与三角函数图像及性质是高考三角函数模块核心考向，题型以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题第一问考查，侧重基础应用与逻辑运算，分值稳定。核心考向有三：一是恒等变换的化简求值，重点考查和差角、二倍角、降幂公式的灵活运用，结合凑角、平方关系，易错点集中在符号判断与公式混用；二是三角函数图像相关，侧重由图像求解析式、平移伸缩变换，以及图像与性质的结合，重点考查周期、最值、对称轴、对称中心的求解；三是综合应用，结合恒等变换将三角函数化为标准型，求解单调区间、最值，或结合实际问题建模求值。命题趋势注重基础，规避偏难技巧，强调“统一角、统一名”的化简思想，以及整体代换法在性质求解中的应用，需熟练掌握公式，精准规避易错点.
关键能力
解题核心能力聚焦三点，精准适配应试需求：一是公式应用能力，熟练掌握同角、和差角、二倍角、降幂等公式，能灵活拆分、凑角，规避符号、定义域等易错点；二是化简转化能力，善于将复杂三角函数化为标准型，实现“统一角、统一名、统一次数”；三是整体代换与图像解读能力，将看作整体求解性质，能通过图像提取关键信息，熟练掌握平移伸缩变换规律。同时需具备象限判断、多解取舍能力，做到步步严谨，快速衔接公式与题型，提升解题效率与准确率。
备考策略
备考以稳基础、重化简、强规范为核心。先把同角、和差角、二倍角、降幂公式背熟，重点练凑角、平方、合一变形三种常用技巧，确保化简不出错。图像与性质要先化标准型，用整体代换求周期、单调、对称轴、对称中心，牢记平移伸缩只对变换.
刷题侧重选择、填空及解答题第一问，重点突破符号判断、角范围、定义域、多解取舍四大易错点。建立错题本，总结化简套路与图像题型模板，做到公式熟、变形快、步骤全、不跳步，稳拿基础分与中档分.
同角三角函数核心为平方关系与商数关系。常见错误：开方时忽略符号，未根据角所在象限判断正负；忽略定义域，时不可用商数关系；混用公式，将 sinα+csα 直接平方展开出错；已知 tanα 求 、 时，漏写两种情况或符号判断错误。解题先定象限，再定符号，最后计算。
和差角公式最易出错在符号与结构：sin(α±β) 是同名积、符号同；cs(α±β) 是异名积、符号反。常犯错误：展开时函数名混淆、中间符号写反；拆角时角度范围判断不准，导致三角函数值符号错误；直接把 cs(α−β) 当成 csα−csβ，忽略公式结构；已知正切时，忽略分母不能为 0，直接代入公式。牢记：先定角范围，再定符号，严格套公式。
二倍角公式应用高频出错：余弦三种形式混用、漏记、选错；降幂时系数与符号搞反；开方求单角时不判断象限符号；把 sin2α 错写成 2sinα，忽略乘 csα；正切二倍角忽略分母为 0，直接套用；角度范围扩大导致多解、错解。解题先统一角度，优先选合适的余弦二倍角，注意定义域与符号，别跳步。
化简时最易出错：函数名与符号混淆，sin 展开同名、cs 异名且符号反；二倍角三种形式乱用，降幂升角时系数、符号搞反；角度不统一，出现多角导致无法合并；忽略定义域，正切公式分母为 0；跳步漏项，不该约分强行约分，最后没化成 Asin(ωx+φ) 标准型。牢记：先统一角、统一名，再用公式，步步验算。
半角公式核心易错在根号前的 ± 号判断，必须严格由半角所在象限确定符号，不能直接保留双号；常把半角理解成角减半，却忽略象限变化导致符号出错；与降幂公式混淆，忘记带根号是半角、不带根号是降幂；计算时分子分母写反；已知余弦求正弦、正切半角时，不先判断角的范围就盲目开方。先定象限、再定符号、最后代入计算。
化简求值易犯：角度不统一，不会凑角与拆角；公式混用，和差、二倍角符号与函数名写错；忽略角范围，符号判断错误；高次不降幂、同名不合并；盲目约分、去分母导致漏解或增解；正切忽略定义域，分母为 0 仍代入；最后未化成最简形式，如未合并为一次一函数。谨记：先统一角、统一名、定符号、再计算。
凑角核心易错：不会用已知角表示未知角，乱拆角导致无法计算；忽略角度范围变化，直接照搬原角符号，造成正负出错；把所求角与已知角简单加减时，漏看倍数关系（如 2α、α/2）；凑完后套用和差角公式时函数名或符号写反；计算中不先判断象限，盲目开方或直接代入。记住：先观察角度关系，再严谨定符号，最后代入公式。
综合题里最容易错：看到就直接平方，忘记平方后范围扩大，出现增解；凑角时只看和差，不结合平方关系判断符号；混用和差、二倍角、同角公式，步骤跳太快导致符号、系数出错；已知两式联立，不会先平方再加减，漏用；最后不检验角的范围，多解、错解、符号反。思路：先凑角，再平方，定范围，验符号。
解题时最易出错：未先化成 y=Asin(ωx+φ) 标准型就直接求周期、单调性；求周期时忽略 ω 正负与绝对值；平移只对 x 变，常把 ωx+φ 直接当平移量；求单调区间、对称轴、对称中心时，不把 ωx+φ 当整体，直接对 x 运算；忽略定义域与角范围，导致最值、零点判断错误；图像伸缩与平移顺序颠倒，结果出错。
平移伸缩最易出错：左加右减只对 x 本身，常直接对ωx+φ整体加减；平移与伸缩顺序颠倒，平移量忘记除以ω；横坐标伸缩时只变ω，却误改相位或周期；只改变函数形状不判断定义域与符号；求解析式时代点错误，忽略A、φ的多解与取舍。牢记：变换只对 x 操作，先平移后伸缩、先伸缩后平移要区分清楚。
求 y=Asin(ωx+φ) 时常错：由最值求 A 漏看上下平移，直接当成 ±A；由周期求 ω 算错周期或漏绝对值；代点求 φ 不看是零点、最高点还是最低点，导致 φ 求反或求错；忽略 φ 取值范围，多解不取舍；混淆正弦、余弦图像起点，函数名与相位不匹配；计算粗心，符号、系数一错全错。