2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.3数列求前n项和方法归纳(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.3数列求前n项和方法归纳(培优热点专练)(学生版+解析)，共4页。试卷主要包含了已知数列满足.，已知数列的前项和为，，，.，已知数列，前项和为，等内容，欢迎下载使用。

倒序相加法
1．（2025�辽宁�模拟预测）若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024B．4048C．3036D．2025
2．（25-26高二上�黑龙江哈尔滨�期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1013B．C．2023D．1022
3．（25-26高二上�河北�期末）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 .
4．（2024�浙江�一模）若，已知数列中，首项，，，则 .
5．（25-26高二上�黑龙江哈尔滨�期中）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
错位相减法
1．（2025�湖南永州�模拟预测）记数列的前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2026�陕西西安�一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，.
(1)求，的通项公式；
(2)记（），求.
3．（2026�辽宁沈阳�一模）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
4．（2025�黑龙江齐齐哈尔�模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且．
(1)求m的值及的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
5．（2026�河北沧州�一模）已知数列满足．
(1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
裂项相消法
1．（2026·吉林白山·一模）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
2．（2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)令，求数列的前项和．
3．（2026·吉林长春·一模）已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的首项为2，且，求数列的前项和.
4．（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为，
条件①，条件②，条件③，
(1)求的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和．
裂项放缩证明不等式
1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
2．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：.
(1)试判断数列的单调性，并给出证明；
(2)当时，求证：.
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，若数列的前项和为，求证：.
5．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
分组求和
1．（2026·广西柳州·二模）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（25-26高三上·安徽·月考）已知数列的首项，且满足.
(1)证明：是等差数列；
(2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求.
3．（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
4．（2025·四川凉山·一模）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
5．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知数列和满足，，，.
(1)证明：是等差数列，是等比数列；
(2)求数列的前项和.
奇偶项分组求和
1．（2026·河北沧州·一模）记分别为数列的前项和，其中满足，且．
(1)求及；
(2)当为正奇数时，比较与的大小．
2．（2025·云南·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.
(1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式；
(2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求.
3．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列的前n项和分别为，， ．
(1)求的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
5．（25-26高三上·陕西西安·期末）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和.
绝对值数列求和
1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（25-26高三上·河北·期中）设数列的前项和为，已知，当时，.
(1)求证：为等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设数列的前项和为，
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前100项和；
(3)求数列的前20项和.
5．（25-26高二上·河南洛阳·月考）在等差数列中，，为与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由；
(3)若，求数列的前n项和.
并项求和
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知，，求数列{}的前n项和.
2．（25-26高三上·江苏盐城·期末）设等差数列的前项和为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
3．（2025高三上·湖北孝感·专题练习）数列满足：，，．
(1)求数列的通项公式.
(2)数列满足：，求数列的前项和．
4.（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
5．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高二上�湖北黄冈�月考）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 .
2．（2025·山东·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使得成立的的最大值；
(3)求数列的前项和.
3.（2025�河南�模拟预测）已知数列为等比数列，数列的前项和为，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
5．（2025·浙江杭州·一模）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和.
6．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知正项等差数列满足，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
所以.
7．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前20项和.
8．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知数列的前项和为，，，.
(1)求的通项公式及；
(2)求数列的前项和.
9．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为，
(1)若是等差数列，求数列的前项和；
(2)若，求；
10．（25-26高二上·山东济南·月考）已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
(1)求与的通项公式；
(2)若数列的前项和，求及的最小值；
(3)设，求数列的前项和．
近三年：
在数列求和的考查中，高考命题体现出“公式法、裂项相消、错位相减、分组求和四法并重”的格局，同时并项求和、周期求和等灵活方法的应用也愈发频繁。近年来，数列求和题目的综合性显著增强，不再是单一方法的直接套用，而是展现出“背景交叉化、结构复杂化、设问层次化”的鲜明趋势。
在实际考查中，呈现以下三个层面：
基础性与综合性的统一：在选择题与填空题中，除直接考查等差、等比数列的求和公式外，更多出现需综合运用裂项相消或分组求和法的题目，考察学生对这些核心方法的熟练度。在解答题中，求和往往是整个题目的最终落脚点，通常置于第二问或第三问，其前面通常是求通项或证明等差等比，构成“通项→求和”或“证明→通项→求和”的经典结构。这意味着熟练掌握通项求解是准确求和的前提。
知识与思想的融合：数列求和成为检验分类讨论与转化化归思想的重要载体。例如，遇到含有−1n 因子的通项时，常需采用奇偶并项求和；对于由等差与等比数列对应项乘积构成的数列，则必须使用错位相减法。同时，函数与方程思想贯穿始终，特别是在求和后，题目常要求进一步探究和式的最值或范围问题。
载体与情境的创新：命题更注重通过实际应用背景（如增长率、分期付款）和数学新定义（如“均倒数”、“绝对等差数列”、“好集”等）来包装求和问题。这要求学生具备从新颖描述中抽象出数列模型，并灵活选用恰当求和方法的能力，避免机械套用。
预测2026年：
基于以上分析，在2026年高考的数列求和命题中，方法选用的准确性与运算求解的精确性将成为区分考生能力的关键。面对“去套路化”的命题趋势，数列求和的核心价值不仅在于得到一个结果，更在于完整展现“识别数列结构 → 选择求和方法 → 执行运算过程 → 验证结果合理性”这一完整的逻辑链条和规范的表达过程，这直接对应着高考对逻辑推理和数学运算核心素养的考查。
解｜题｜策｜略
等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
倒序相加常与函数的结合一起考，注意题目条件如果满足首位项（依次往中间的对应项）的和固定，考虑倒序相加法。
解｜题｜策｜略
等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列an,等比数列bn，对数列an∙bn求和也可以用到错位相减法
找出等比数列bn的公比q(q≠1,0)，对求和中的每项都乘以公比q
然后用Sn−qSn，注意将两式“错项对齐”，按照相同幂次方来对齐，方便合并。
错位相减法在等比数列的求和中应用到，对等差等比数列乘积构成的数列也可以，要应用两次，且相减的时候要错项对齐来合并，这里容易算错。
解｜题｜策｜略
对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
1、对等差型的分式，例14n2−1，先对分母进行因式分解(2n−1)(2n+1)，把目标分解成12n−1−12n+1，再合并比较看看想化成14n2−1需乘系数12。
2、根式型1n+1+n=n+1−n，利用分母有有理化的方法。
3、指数型，方法类似等差型。
解｜题｜策｜略
将待求和的数列进行裂项（即拆分为两式之差），但在裂项过程中，有意识地控制裂项的“尺度”，使其裂项后的通项与原通项之间形成明确的不等关系（放大或缩小）。然后利用裂项相消法求和，得到一个简洁表达式，从而便捷地证明数列和的不等式。
放缩的度要“恰到好处”：放缩后必须能裂项相消，否则变成更复杂的求和，失去意义。
保留余项控制：裂项相消后通常得到 f(1)−f(n+1)f(1)−f(n+1)，通过分析 f(n+1)f(n+1) 的范围（例如大于0、单调趋于0）来确定和的界限。
常见目标结构：为了证明“和小于某个常数”，放缩裂项后的结果常为 Sn≤f(1)−f(n+1)