2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题07解三角形与三角恒等变形(学生版+解析)

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考向01 恒等变形1：拆角求值
1．（23-24高三 全国 专题练习）计算： ．
2．（22-23高三 全国 专题练习） .
3．（23-24高三 全国 专题练习） ．
4．（24-25高三 全国 专题练习）计算： .
考向02 恒等变形2：对偶型求值
5．（23-24高三上·山东聊城·期中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ．
8．（22-23高三·全国 专题练习）已知，的取值范围是，，则函数的最小值为 .
考向03 恒等变形3：非特殊角辅助角求值
9．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最大值为 .
10．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，则的最大值为 ．
11．（24-25高三下·广东·月考）锐角中，，则的范围是 ．
12．（25-26高三上·山东济宁·期中）设，则的最大值为 .
考向04 恒等变形4：恒等变形
13．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）化简求值： ．
14．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末） ．
15．（25-26高三上·江苏·月考）已知锐角，，满足，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 .
16．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知，则 ．
考向05 解三角形1：三角形几解
1．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为 .
2．（23-24高三全国专题练习）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为 .
4．（25-26高三上·山东·月考）已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 .
考向06 解三角形2：判断三角形形状
5．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（ ）
A．有一个角是30°的等腰三角形B．等腰直角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形D．等边三角形
6．（2021高三·全国·专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
7．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
8．（23-25全国专题练习）如果的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值，则下列正确的是
A．与都是锐角三角形
B．与都是钝角三角形
C．是锐角三角形且是钝角三角形
D．是钝角三角形且是锐角三角形
考向07 解三角形3：正余弦定理
9．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．（25-26高三上·重庆·月考）在中，三个内角所对的边分别为，为的面积，若，则（ ）
A．B．C．D．
11．（25-26高三上·江苏徐州·期中）在中，，则（ ）
A．B．C．或D．7
12．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）.
A．B．
C．D．
考向08 三角形最值型1：周长与边最值
1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，是的角平分线，且．
(1)求实数的取值范围；
(2)若的面积为，则为何值时最短，并求出此时的值．
2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长的最大值．
3．（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求周长的取值范围．
4．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
考向09 三角形最值型2：面积最值
5．（2026·重庆·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别是，满足.
(1)求角的大小；
(2)求面积的最大值.
6．（25-26高三上·四川绵阳·月考）如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，，设.
（i）请用含的式子表示和AE；
（ii）求面积的最大值.
7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
(1)求证：；
(2)求的取值范围；
(3)若，求三角形面积的取值范围．
8．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知在中，角的对边分别为，且．
(1)若，求的外接圆的半径；
(2)求面积的最大值．
考向10 三角形最值型3：比值函数型
9．（23-24高一下·河北张家口·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为 ．
10．（23-24高一下·广东湛江·月考）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 .
11．（23-24高三上·山东德州·月考）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
12．（2019·江苏南京·模拟预测）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为

考向11 解三角形内部线1：中线应用
1．（2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角A；
(2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值.
2．（25-26高三上·吉林长春·月考）在中，角的对边分别为，已知，.
(1)求角的值；
(2)求的最大值；
(3)若边上的中线长为，求的面积.
3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，
①求周长的取值范围；
②若为边上的中线，，求的面积．
考向12 解三角形内部线2：角平分线应用
4．（22-23高三上·湖北·月考）平面直角坐标系中，已知点.点满足，记点的轨迹.
(1)求的方程；
(2)设点与点关于原点对称，的角平分线为直线l，过点作l的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
5．（25-26高三上·安徽合肥·月考）在中，角的对边分别为，且
(1)求角；
(2)已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
6．（23-24高一下·四川成都·月考）在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？

考向13 解三角形内部线3：高应用
7．（24-25全国专题练习）在三角形中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设三角形的边上的高为，且，求的值.
8．（24-25全国专题练习）已知三角形中，，为边上的高，为垂足；设，，，；
（1）若，求的取值范围；
（2）若已知，试解决下面两个问题：
①求，满足的等式；
②求三角形的周长的最小值．
9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，内角所对的边分别是，且.
(1)若，求的面积的值；
(2)若边上的高为，求角的大小及的值.
考向14 解三角形内部线4：定比分点应用
10．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为边上一点，，且，，求的面积．
11．（25-26高三上·福建厦门·月考）在中，内角所对的边分别为，已知..
(1)求；
(2)若为边上的一点，，求的面积.
12．（25-26高三上·河南·月考）如图，已知的内角，，的对边分别为，，，，为的中点，为上一点，平分.
(1)若，求的面积；
(2)若，求的值.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26·云南昆明·）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·河南鹤壁·一模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·贵州·模拟预测）已知是函数的最小值，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
5．（25-26高三上·海南海口·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如下判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，，且有两解，则b的取值范围是
三、填空题
6．（2025-2026学年高三全国模拟预测）在中，，则 ；若的内切圆的半径为，则的周长为 ．
7．（2026·辽宁沈阳·一模）在中，角的对边分别为，若且，则 ．
四、解答题
8．（2026高三·广东·专题练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)点在直线上，且．若，求．
9．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)若.分别在边上，且，求面积的最小值.
10．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数（满足恒成立，且相邻两对称轴之间的距离不小于，设为曲线的对称中心.
(1)求；
(2)若，求的取值范围；
(3)记的角，，对应的边分别为，，，若，，求边上的高长的最大值.
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：三角恒等变形单独命题以选择题、填空题为主，解三角多以比较基础的解答题为主，但是近年有 “脱离单独解答题” 趋势，2025 年新高考 Ⅰ 卷中以多选题压轴形式呈现，体现题型创新。
解三角型和三角恒等变形两者常作为工具，融入向量、解析几何、导数等模块，如 2023 年全国乙卷第 17 题结合向量数量积与辅助角公式，2025 年全国一卷第 19 题结合导数分析三角函数极值。
而三角恒等变换常并入解三角形大题，减少单独化简题，如 2024 年全国 Ⅰ 卷第 15 题用正余弦定理 + 二倍角公式求角与边。还与与实际情境（测量、物理模型）结合，如 2025 年上海卷第 64 题通过力的分解考查辅助角公式；与其他模块结合，如解析几何中用解三角形求线段长度，导数中分析三角函数单调性。
预测2026年：2026 年高考对解三角形与三角恒等变形的考察，将延续 考察基础、应用综合、题型创新多变 的基调，题型分布呈现 “选填保基础、解答融综合” 的特点。
难度覆盖基础到中档。其中三角恒等变形单独命题以 “拆角求值”“辅助角公式应用” 为主； 要注意复习备考时候三角函数与恒等变形作为工具融入综合题，如与向量（数量积转化为边角关系）、解析几何（三角形面积与直线斜率结合）、导数（三角函数极值中的边角约束）结合，尤其可能在 “导数研究三角函数单调性” 中融入解三角形的边长范围条件。
。
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值
常见的变角技巧有：
，
，
，
，
等．
对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。
常见的对称型结构：
为对称结构，可以借助消元求解
辅助角范围满足：
恒等变形基础：
（1）两角和的正弦公式：_；
（2）两角差的正弦公式：_；
（3）两角和的余弦公式：_；
（4）两角差的余弦公式：；
（5）二倍角的正弦公式：__
（6）二倍角的余弦公式：__
（7）二倍角的正切公式：_
恒等变形主要公式体系：
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
判断三角形解的个数有2种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
判断三角形形状
1.边的关系优先用余弦定理，角的关系优先用三角恒等变换；
2.将已知条件转化为边或角的等式，消元化简；
3.根据化简结果对照三角形形状的定义；
4.检查是否为特殊三角形（等边、等腰直角）。
正余弦定理：化边为角型
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）正余弦定理：化角为边型
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)
②S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
最值范围：分式比值型
化边为角型
通过正余弦定理，把边转化为角。
利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
对单变量（单角）求最值。
角化变型：
主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
中线的处理方法
1.向量法：
补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
.三角形角平分线的处理方法：
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
.三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
三大线型引申：定比分点型
如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手：
双三角形余弦定理：
（1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcs
（2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcs(Π-）
2.向量法：