2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题09数列中的放缩和新情境问题(培优高频考点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题09数列中的放缩和新情境问题(培优高频考点专练)(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了等比放缩，通项放缩，新定义数列，裂项放缩，斐波那契型递推新情境等内容，欢迎下载使用。

高考中集合、常用逻辑用语、复数是基础送分模块，一般10~15分试题，常以小题的形式出现，但需特别关注近年新趋势——集合新定义题型已延伸至解答题，备考需紧扣：
基础知识必备：集合掌握元素关系、交并补运算（数轴/Venn图法）及符号规范；复数熟用四则运算（尤其除法分母实数化）、实虚部与模的计算，……；
2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……

重难知识汇总：
常用技巧方法：集合需能结合函数定义域、概率等跨模块应用，应对新定义题型；常用逻辑用语会用定义/集合法判定充要条件，结合函数、数列化简复杂命题；
易错避坑提效：集合避免漏算空集、混淆区间端点；逻辑用语别颠倒充分必要、漏改命题量词；复数明确虚部概念。
题型一 等比放缩（数列不等式证明）
方法点拨：构造等比数列：通过放缩通项公式，将非等比数列转化为等比数列（公比 q∈(0,1)），利用等比数列求和公式求和后证明不等式。 关键工具：糖水不等式（若 a>b>0，m>0，则、二项式定理放缩（如）。 放缩原则：保证放缩后数列可求和，且放缩方向与不等式一致（放大或缩小）

【典例01】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列中，.
(1)求的通项公式：
(2)已知函数，数列满足：.
（i）求证：数列为等差数列，并求的通项公式
（ii）设，证明：，
【典例02】（云南大理白族自治州2025高三统一检测）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
【变式01】（四川德阳中学2024高三高考直击卷）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.
（1）求和的通项公式和的前n项和；
（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证：.
【变式02】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列满足，设.
（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
（II）设，数列的前项和，求证：.
【变式03】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：；
(3)表示不超过x的最大整数，；
求（i）；
（ii）．
题型二 通项放缩（通项结构优化）
方法点拨：1.结构分析：针对分式型（如）、根式型（如 ）、指数型（如 ）通项，采用裂项、有理化、不等式性质放缩。 2.函数辅助：构造函数 f (x)，利用导数判断单调性，得到通项的不等关系（如 x>ln (1+x) 用于指数型通项放缩）。3.精度控制：避免过度放缩，必要时可对前几项保留原式，从第 k 项开始放缩。
【典例01】（25-26高三上·江苏·期末）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：．
【典例02】（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
【变式01】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为．
（i）求；（ii）证明：．
【变式02】（25-26高三上·浙江温州·期中）已知正项数列满足．
(1)求证：是等比数列
(2)设，记数列的前项和为，求证：．
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）已知首项为3的正项数列的前n项积为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：.
题型三 新定义数列（概念转化）
方法点拨：核心场景：定义新性质（如 “速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生成数列），需转化为熟悉数列问题。 方法点拨： 紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如 “速增数列” 转化为 aₙ₊₂ -aₙ₊₁ >aₙ₊₁ -aₙ）。 回归基础：转化为等差、等比数列的通项、前 n 项和问题，或利用单调性、周期性、有界性分析。 特殊值验证：通过前 3-5 项的计算，发现规律（如周期、单调性），辅助解题。
【典例01】（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．62B．63C．64D．65
【典例02】（2025·天津·模拟预测）数列an各项均为实数，对任意n∈N∗满足an+3=an，定义：行列式abcd=ad−bc且行列式anan+1an+2an+3=c为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．a1=1，c=1B．a1=2，c=2
C．a1=1，c=0D．a1=2，c=0
【变式01】（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为ann≤9,n∈N∗，已知a1=1,a2=1，按规则有an=an−1+2an−2+1n≥3,n∈N∗，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）

A．4B．7C．16D．31
【变式02】（2025·江西·模拟预测）若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（ ）
A．B．C．D．
【变式03】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
题型四 裂项放缩（求和不等式）
方法点拨：常见裂项形式：、。 放缩技巧：裂项后保证剩余项可抵消，或通过 “添项”“减项” 调整放缩精度（如 ）。 求和验证：先求和再放缩，或先放缩再求和，确保步骤可逆且不等式成立。
【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【典例02】（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．
(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；
(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．
【变式01】（24-25高三上·辽宁·月考）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【变式02】（2025·四川·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列；
(2)设，证明：；
(3)设，且数列的前项和为，证明：．
【变式03】（2025·浙江·一模）已知渐近线为的双曲线过点，过点且斜率为的直线交双曲线于异于的点，记的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)求；
(3)证明：.
题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）
方法点拨：核心场景：以实际背景（如兔子繁殖、九连环）或递推关系（aₙ₊₂ =aₙ₊₁ +aₙ）定义新数列，考查通项、求和或不等式。 方法点拨： 递推转化：利用递推关系推导通项性质（如 aₙ₊₂ -aₙ₊₁ =aₙ），或构造等比数列求通项。 归纳证明：对与 n 相关的不等式，采用数学归纳法证明，结合放缩技巧优化步骤。 性质应用：利用斐波那契数列的单调性、有界性辅助解题。
【典例01】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F1=1，Fn=Fn−1+Fn−2n≥3,n∈N∗，记此数列为an，则a2019+a2020+a2022+a2024等于（ ）
A．a2023B．a2024C．a2025D．a2026
【典例02】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1，a2=1，an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，其通项公式为an=151+52n−1−52n，设n是lg21+5x−1−5x