2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题09概率与统计(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题09概率与统计(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)，共23页。
题型01 统计问题
【例1-1】（2025·四川德阳·一模）下列说法错误的是（ ）
A．数据0，1，2，3，5的分位数是2
B．线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
C．经验回归直线一定过点
D．残差散点图所在的带状区域越窄，则两个变量的相关性越弱
【例1-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）某中学共有名学生，该校从全校学生中随机抽取名，统计他们年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列关于估计中正确的是（ ）
A．阅读量的众数估值为
B．阅读量的中位数估值为
C．阅读量的平均数估值为
D．第百分位数为
1.普通的众数、平均数、中位数及方差
①众数：一组数据中，出现次数最多的数。
②平均数：常规平均数： 加权平均数：
③中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。
④方差：
2.频率直方分布图下的频率
①频率 =小长方形面积：；频率=频数/总数
②频率之和：；同时 ；
3.频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
①众数：最高小矩形底边的中点。
②平均数：
③中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时的值。
④方差：
4.线性回归直线方程：
其中： ,
线性回归直线方程必过样本中心；
5.回归分析
①残差：（残差=真实值—预报值）；越小越好；
②残差平方和：，越小越好；
③拟合度（相关指数）：，的常数；越大拟合度越高；
④相关系数：
的常数正相关；负相关
6.独立性检验
①2×2列联表：
②独立性检验公式
【变式1-1】（2025·贵州毕节·模拟预测）（多选题）下列命题中，真命题的是（ ）
A．数据，，，，，，，的第百分位数是；
B．若回归方程为，则变量与成负相关
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
【变式1-2】（2025·湖北荆州·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为
B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
C．若随机变量，则函数为偶函数
D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍
其中
【变式1-3】（2025·宁夏中卫·二模）（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第百分位数为79
D．已知随机变量，且，则的最小值为3
题型02 排列组合问题
【例2-1】（2025·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（ ）
A．36B．48C．54D．56
【例2-2】（2025·全国·模拟预测）2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ）
A．1800B．16800C．14280D．25200
排列组合中常见问题及其技巧
①特殊元素（位置）法
对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
②捆绑法
捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.
③插空法
插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.
④倍缩法
部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.
⑤排数问题
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.
⑥分组、分配问题
（1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(为均分的组数)，避免重复计数．
（2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有组元素个数相等，则分组时应除以，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
（3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
⑦涂色问题
按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．
【变式2-1】（2025·广西·模拟预测）把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里，其中编号为1-5号的盒子，每个盒子至多放1个球，编号为6-7号的盒子，每个盒子至多放3个球，则不同的放法有 种.
【变式2-2】（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案.
【变式2-3】（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种.
题型03概率问题
【例3-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【例3-2】（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
1.古典概型
设试验是古典概型，事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
2.互斥事件与概率的加法公式
①如果事件与事件不能同时发生，即，则称事件与互斥（或互不相容）．
②当与互斥时，，即．
③概率的加法公式：对任意两个事件与，有，即．
3.相互独立事件与概率的乘法公式
①对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称独立．
②当事件与相互独立时，．
③概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则．
4.条件概率
①条件概率的概念：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
②概率的乘法公式：对任意两个事件与，若，则．
注：当与相互独立时，，即．
③条件概率的性质：为样本空间，设，则
（1）；
（2）如果与是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则．
5.全概率公式：一般地，设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，1，2，…，，则对任意的事件，有，
．
【变式3-1】（24-25高三上·河北唐山·月考）在正八面体中，任取四个顶点，则这四点共面的概率为 ；任取两个面，则所成二面角为钝角的概率为 ．
【变式3-2】（2025·重庆·模拟预测）某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 .
【变式3-3】（2025·浙江金华·一模）平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为 ．
题型04 二项分布、超几何分布与正态分布
【例4-1】（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ）
A．32B．64C．D．
【例4-2】（2025·广东江门·模拟预测）（多选题）甲参加游戏获得的积分的分布列为
且，则（ ）
A．B．
C．D．
1.二项分布
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）二项分布的期望、方差
若，则，．
2.超几何分布
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
4.正态分布
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
（1）正态曲线特点
①曲线是单峰的，它关于直线对称；
②曲线在处达到峰值；
③当无限增大时，曲线无限接近轴．
（2）正态分布的期望与方差
若，则，．
（3）正态变量在三个特殊区间内取值的概率
；；．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．
【变式4-1】（2025·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【变式4-2】（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为 ；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望
【变式4-3】（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 .
1.（2025·陕西西安·模拟预测）从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为 ．
2.（2025·湖北·模拟预测）某班同学在操场上进行集体游戏，张老师随机从中取三个数，然后在第一组站入位同学，第二组站入位同学，第三组站入位同学.每一轮活动可以从两组中各推选一位同学表演节目，然后站到另外一组，则事件“经过有限轮活动可以使三个组合成一大组”的概率为 .
3.（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .

4.（25-26高三上·广东·月考）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有 种分法.（用数字作答）
5.（2025·海南·模拟预测）设公差不为0的等差数列的前8项和为，将前8项全部填入如图的表格中，要求每个格内填写1项，则有且仅有两列之和为且这两列不相邻的填法有 种．
6.（2025·四川德阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．随机变量服从二项分布，，则
B．数据，，，…，的平均数为2，则，，，…，的平均数为6
C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10.
D．随机变量服从正态分布，且，则
7.（2025·广东广州·模拟预测）有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回地随机取5次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 ．
8.（2025·重庆·模拟预测）在一条线段上标出所有的等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新线段可以构成三角形的概率是 （用含n的式子表示）.
9.（2025·江苏南通·模拟预测）（多选题）甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10.（2025·贵州遵义·模拟预测）（多选题）六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数．《礼记·射义》：“射者，仁之道也．射求正诸己，己正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”．若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭．已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为．由抽签确定第1次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是（ ）
A．第3次射箭的人是甲的概率为
B．在第3次射箭的人是甲的条件下，第1次射箭的人是乙的概率为
C．在前4次射箭中，甲只射箭1次的概率为
D．若第次射箭的人是甲的概率为，则
合计
合计
4
5
6
7
8
0.1
0.3
0.3
…
…
…
…
0
1
…
…