2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题08解析几何(选填题)(培优题型专练)(学生版+解析)

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题型01 直线与圆的相关问题
【例1-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
【例1-2】（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上，
又，直线的方向向量，而，
因此，即，
消去得，
整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上，
而曲线是以点为圆心，为半径的圆，，
依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切，
因此，即，解得，
所以r的取值范围为.故选：C
1.直线与圆的位置关系
几何法:圆心到直线的距离，则：
代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：
二、圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
【变式1-1】（2025·广东·模拟预测）单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（ ）
A．42B．49C．56D．64
【答案】B
【详解】设，则，
所以，
因为，
所以，
当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有，
则，因此所求的最大值为49．故选：B．
【变式1-2】（2025·浙江·一模）已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】圆心到直线的距离为，
则点到直线的距离的取值范围为，
由，得到.故选：B.
【变式1-3】（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】圆的圆心，半径，
令过点的直线被圆所截弦长为的弦中点为，则，
，因此点在以原点为圆心，为半径的圆上，
此时为圆的切线，依题意，过点可以作圆的两条切线，
则点在圆外，于是，解得或，
所以的取值范围是.故选：B
题型02 圆锥曲线的方程与性质
【例2-1】（2025·云南·模拟预测）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由双曲线方程可知，且焦点在y轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故点到渐近线的距离．故选：D.
【例2-2】（2025·上海奉贤·一模）曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是直线
B．当，时，曲线是椭圆
C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关
D．曲线是抛物线
【答案】C
【详解】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误；
B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误；
C．因为，，所以曲线是双曲线，则，
则渐近线，故C正确；
D．因为曲线，、不同时为0，
当时，当时，曲线是两条相交直线；当时，曲线是点；当时，曲线是点；当时，曲线是两条相交直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；当时，曲线是直线；
当时，当时，曲线是双曲线；当时，曲线不存在；当时，曲线是椭圆；当时，曲线是圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线不存在；当时，曲线是直线；当时，曲线不存在；当时，曲线是直线；
所以曲线不能是抛物线，故D错误；故选：C.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，
定义用集合语言表示为：
注意：①当时，点的轨迹是线段；②当时，点的轨迹不存在．
2.椭圆的方程、图形与性质
3.双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：①若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．②当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．③时，点的轨迹不存在．
4.双曲线的方程、图形及性质
5.抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．注意：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
6.抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（ ）
A．16B．C．D．9
【答案】C
【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为.
设点的坐标为，则，故，，且,
又，则
解得．故选：C.
【变式2-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在椭圆上且，则点到轴的距离是 .
【答案】
【详解】由椭圆定义可得，
由，则，
则，
即，又，
即有，解得，
故点到轴的距离是.
故答案为：.
【变式2-3】（2025·江西宜春·模拟预测）（多选题）已知是双曲线和椭圆的左､右焦点，为与在第一象限内的一个交点，若，则（ ）
A．的渐近线方程为
B．的短轴长是的虚轴长的倍
C．的离心率和的离心率的积为1
D．的面积为
【答案】ACD
【详解】由题意，得，所以.
在中，由余弦定理得，
即（为半焦距），
所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，故A正确；
由题意，，得.
从而的短轴长为的虚轴长，则，故B错误；
由，知的离心率为的离心率为，二者的积为1，故C正确；
由，，
得，故D正确.故选：ACD.
题型03直线与圆锥曲线的位置关系
【例3-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．32B．28C．20D．16
【答案】A
【详解】如图，设抛物线的准线与轴的交点为，
由题意结合抛物线的定义可知，所以，
又因为，所以，，
所以，即是直角三角形，且，
显然，所以，故选A.
【例3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【详解】渐近线方程为，
方程为，与渐近线联立，
得，；
点到的距离
所以平行四边形OAPB的面积.故选：A.
1.直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2.直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
3.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
4.直线与双曲线的相交弦
设直线交双曲线于点两点，则
==
5.直线与抛物线的位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
6.直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得
【变式3-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点．若（为坐标原点），则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，不妨设在轴下方，因为，且
所以，由抛物线方程可得，
则，所以直线方程为：，
联立抛物线方程消去得：，化简得：，
所以，则，到直线的距离，
所以的面积为，故选：B
【变式3-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】D
【详解】

由题意可得直线l的斜率存在，设为，设，
由直线过点可得直线方程为，
联立，消去可得，
，，
代入直线方程可得，
所以
同理，联立，消去可得，
，，
代入直线方程可得，
所以，
因为，所以，
即，
即，
解得，
所以.故选：D.
【变式3-3】（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 .
【答案】或.
【详解】由已知，公切线斜率不为0，
设公切线方程为.
联立，
其判别式，
即，①
联立. .
其判别式，②
联立①②，解得，
所以椭圆和抛物线的公切线方程为或.
故答案为：或.
题型04 离心率的取值与范围问题
【例4-1】（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，
所以，则，，
设，则
所以；由于，
因为，所以，则，则，
因为，所以，故选：B
【例4-2】（2025·河南·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以，
因为，所以，故，
解得，设，，则，
，由余弦定理有，
即，解得，
因为，所以，
化简得，即，
整理得，解得，故B正确.故选：B．
1.椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用表示，即.
(2)离心率的范围：.
2.双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：.
3.求离心率或其取值范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于, , 的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式.
【变式4-1】（24-25高三下·甘肃·开学考试）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作渐近线 的垂线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
从而 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，
由余弦定理，得 ，化简得 ，
所以 . 故选 ：A.
【变式4-2】（24-25高三上·甘肃庆阳·月考）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、，
由切线长定理可得，，，
又，，则，
即，解得，
由，即，得，所以．故选：A.
【变式4-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）离心率为的椭圆和离心率为的双曲线的交点构成四边形，的渐近线与的交点构成四边形，若四边形与四边形全等，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】由图，因四边形与四边形全等，则.
将椭圆方程与双曲线方程联立：，
则，
则；
注意到双曲线渐近线方程为：，将椭圆方程与渐近线方程联立：
，
则.
因，则，
即.
所以
故选：C.
题型05 圆锥曲线中范围、最值问题
【例5-1】（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，
，，则，切线为即，
直线又与单位圆相切，则，即，
则，
当且仅当即，即，时取“”.故选：
【例5-2】（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值是5B．的最小值是5
C．的最大值是7D．的最小值是7
【答案】D
【详解】如图，
由点是抛物线的焦点，故，
由双曲线知，，
故，右焦点，
所以，又双曲线的渐近线方程为，
所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误；
由双曲线的定义，，
所以，
即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确.故选：D
1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，
2.圆锥曲线中的最值问题的解题思路
①建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
②构建不等关系.
【变式5-1】（2025·山西·二模）已知抛物线的焦点为，准线为.点在上，过作抛物线的切线交准线于点.当外接圆面积最小时，点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设点，，故，
将代入可得，故则过作抛物线的切线为：，
又准线为：，故中，令得，
可得点.又，所以，
所以为直角，为外接圆的直径，
.
令，则可得，
由，当得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，
即所求外接圆的面积最小，此时点.故选：B
【变式5-2】（2025·安徽·三模）设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【详解】设点，，则，
因为在椭圆上，所以，则，
将代入，得，
当时，取得最小值，即取得最小值．故选：C.
【变式5-3】（2025·四川成都·一模）（多选题）已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为B．的内心到轴的距离为
C．D．
【答案】ABD
【详解】由双曲线，可得，
则，且其渐近线方程为，
对于A中，不妨设点位于第一象限，
由双曲线的定义，可得，所以，
则，又由双曲线的几何性质，可得，
所以，即的最大值为，所以A正确；
对于B，如图所示，设的内切圆与轴，的切点分别为，
可得，
又由，可得，
又由，可得，
所以点的横坐标为，即圆心的横坐标为，所以的内心到轴的距离为，所以B正确；
对于C，设，则满足，
则点到直线的距离为，到直线的距离为，
则，
因为，且与的夹角为，所以，
所以，所以C不正确；
对于D，由，可得，
联立方程组，解得，
即，同理可得，
所以，
因为，代入可得，
又因为，可得，所以，所以D正确.故选：ABD.
题型06 新定义问题
【例6-1】（24-25高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为，
其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，
因此当直线与圆相离时，，
由，解得.
所以离心率.故选：A
【例6-2】（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题D．①②都是假命题
【答案】A
【详解】判断命题①：
已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接.
根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件.
当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.

判断命题②：
当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，.
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.

故选：A.
常见圆锥曲线新定义问题处理思路
1.将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定.
2.反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率.
3.新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质
4.新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化
5.几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值）
【变式6-1】（2025·海南·模拟预测）（多选题）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点在C上，则
C．点N在椭圆上，若，则
D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则
【答案】ACD
【详解】由题意，，即，
对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确；
对于B，由点在上，得，
化简得，解得，故错误；
对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则，
由，得：，
则，，故C正确；
对于D，设，则，而，则，
又根据勾股定理得，则，化简得，
解得，因此，故D正确；故选：ACD．
【变式6-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（ ）
A．双纽线是轴对称图形B．的面积的最大值为
C．D．直线与双纽线有三个交点
【答案】AD
【详解】对于A，由，
则曲线方程为，
由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程，
则双纽线关于轴对称，故A正确；
对于B，由方程，
整理可得关于的方程，
由，解得，
由，则其最大值为，故B错误；
对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误；
对于D，将代入方程，
整理可得，解得或，故D正确.故选：AD.
【变式6-3】（2025·河北沧州·一模）（多选题）在平面直角坐标系中，若，，则称“”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点，的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A．的周长为B．面积的最大值为
C．该“曼哈顿椭圆”的面积为D．该“曼哈顿椭圆”的周长为
【答案】BCD
【详解】设点P的坐标为，
则P，两点的“曼哈顿距离”，，两点的“曼哈顿距离”，则，
易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，
，作曲线，
根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则，，，
对于A，B，当点与重合时，的周长为，
此时的面积最大为，故A不正确，B正确；
对于C，梯形的面积为，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为，故C正确；
对于D,又，
所以该“曼哈顿椭圆”的周长为，故D正确.故选：BCD.

1.（2025·陕西西安·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，若的内切圆的圆心为，且满足与的纵坐标互为相反数，则双曲线的渐近线的方程为 .
【答案】
【详解】设，内心为，依题意可设，
所以，解得，
由等面积可得
，化简得，
又，所以，
因为，点在双曲线的右支上，
所以，
则，解得，
所以的坐标为，
代入双曲线方程中，得，解得，
所以双曲线的渐近线的方程为，
故答案为：．
2.（2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ．
【答案】
【详解】因为双曲线的焦点分别为和，
所以，所以.
因为，，所以在中，有.
设，则由勾股定理可得
，所以，
所以，所以.
又由，可得，
所以双曲线的方程为.
其渐近线方程为，即.
取渐近线，则点到该直线的距离为
.
故答案为：
3.（25-26高三上·广东佛山·月考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，

所以点，所以直线的斜率为，
所以
由，得，，
中，根据余弦定理可知，整理为，
即，，
解得：
所以椭圆的离心率为.故选：B
4.（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即，
且双曲线的渐近线方程为，
设为圆上一点，且圆心为，半径，
则的中点在其渐近线上，可得，
即，所以点在直线上，
因为圆心到直线的距离为，
因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点，
所以，即，可得，可得，所以，
又因为双曲线的离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B.
5.（2025·广西·模拟预测）（多选题）已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．三角形的面积的最大值为
C．三角形的周长为8D．
【答案】AC
【详解】如图：

对于选项A，由于，可得椭圆的方程为，所以A正确；
对于选项B，，所以B错误；
对于选项C，的周长，所以C正确；
对于选项D，当直线方程为时，由通径的概念可得，
所以，所以不能恒成立，故D错误.故选：AC
6.（2025·云南·模拟预测）（多选题）已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为B．面积的取值范围为
C．D．若点为上的动点，则的最大值为8
【答案】ABD
【详解】由题可得：,,设，根据对称性可得,
对于A，，所以椭圆的离心率为,故A正确；
对于B，到直线的距离,
，
所以，
因为，则面积的取值范围为，故B正确；
对于C，设，则，
，
由于，
所以，故C错误；
对于D，由题意可得椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，所以，则，
所以，当在椭圆左顶点时，，所以的最大值为8，故D正确；故选：ABD
7.（2025·重庆·模拟预测）（多选题）已知双曲线，，为C的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A，B两点，线段与C的虚轴长相等．则（ ）
A．双曲线C的离心率
B．以为直径的圆与C的渐近线相切
C．若点P是C上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是
D．若点P是C上任意一点，l分别与，交于点E，F，则
【答案】ABD
【详解】由题设，则代入双曲线，有，可得，
所以，可得，故，A对；
以为直径的圆的圆心为，半径为，且渐近线为，
所以到的距离，即，B对；
令且，，则，，，
所以，又，，则，显然取不到1，C错；
令，则，，又，，
则，，，
所以，
所以，D对.
故选：ABD
8.（2025·山东淄博·三模）（多选题）旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（ ）
A．已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点
B．斜椭圆 的离心率是
C．斜椭圆 方程是
D．过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则
【答案】ACD
【详解】，由新定义可得，
所以，A正确，
由，可得，其离心率为：，故的离心率为，B错误
设上任意一点，绕坐标原点 逆时针旋转 得到，
由新定义可得：，
所以，代入，
可得：，
也即斜椭圆 方程是 ，C正确，
，右焦点坐标为：，绕坐标原点 逆时针旋转 ，
可得第一象限焦点坐标，
此时过焦点斜率为的直线方程为：，
设与斜椭圆的两交点坐标为，
联立，消去可得：，
所以，
所以，
所以，D正确，故选：ACD
9.（2025·陕西延安·模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为
B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称
C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆
D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线
【答案】ABC
【详解】A.若点的坐标是，则的“相伴点”的坐标为，即，故A正确；
B.若点的坐标为不在直线上，那么点的“相伴点”，若的其中一个为0时，不妨设，则，，直线与直线关于直线对称；
同理可得时，直线与直线也关于直线对称；
当时，直线的斜率是，直线的斜率为，所以点在直线上，所以直线与直线关于直线对称，故B正确；
C.若曲线是以原点为圆心的圆，设为，设点为圆上的任一点，则点的“相伴点”，即，满足，
所以“相伴曲线”是以原点为圆心，1为半径的圆，故C正确；
D.设直线的方程为，点为直线上任一点，
当点为坐标原点时，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以直线的“相伴曲线”由三个点组成，故D错误.故选：ABC.
10.（2025·河北邯郸·一模）（多选题）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ）

A．
B．的面积为16
C．的值比32小
D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为
【答案】BCD
【详解】设抛物线绕原点顺时针旋转，，后得到的三条曲线分别为，，.
抛物线的焦点为，故的焦点为，的焦点为，的焦点为.
故，，，.
对于：为曲线与交点，联立方程，解得，即.
为曲线与交点，联立方程，解得，即.
又因为，故.故错误.
对于：由上述过程可得，，，的面积为.故正确.
对于：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分.
设该阴影部分面积为，显然.

设函数，则.故过点的切线斜率为.
因此过点的切线方程为.该切线与轴交于，故.
.故.故正确.
对于：第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围成，两者关于对称.
直线与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限，
所以，故，所以交点坐标.
由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故，即.
由于与关于直线对称，直线亦关于直线对称，
所以直线与的交点坐标为.
故弦长
设，则，故.
因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为；
当时，即时，弦长最长，此时.故弦长的取值可能为，故正确.
故选：BCD.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d=r
d