2026届高三数学二轮复习课件：板块二　数列　提优点5　数列中的放缩问题（含解析）

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类型一　先求和再放缩证明不等式
类型二　先放缩通项再求和证明不等式
类型三　通项放缩与求值
(2025·成都诊断)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2.(1)求{an}的通项公式;
由题意可知,当n=1时,a1=2;当n≥2时,由a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2得,a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n+2,两式作差可得,nan=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n=n·2n,∴an=2n,a1=2也适合该式,故an=2n.
此类不等式一般另一端为常数,求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.
(2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn.(1)求数列{an}的通项公式;
设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;
因为2Sn=n2+n,①当n≥2时,2Sn-1=(n-1)2+n-1,②所以①-②得到2an=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,即an=n,又a1=1,满足an=n,所以an=n.
此类题型关键是如何放缩数列的通项,需要熟悉常见的放缩技巧及结论.
1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式;2.先放缩再求和式及和式的应用,应注意考虑所得式子的性质.
2.(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1=1,a2n+1=a2n+1,a2n=2a2n-1.(1)求数列{an}的通项公式;
将a2n=2a2n-1代入a2n+1=a2n+1中,得a2n+1=2a2n-1+1.下面构造等比数列:令a2n+1-k=2(a2n-1-k),得a2n+1=2a2n-1-k,则-k=1,则k=-1,∴a2n+1+1=2(a2n-1+1),故数列{a2n-1+1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a2n-1+1=2·2n-1,∴a2n-1=2n-1,
a2n=2·a2n-1=2(2n-1)=2n+1-2,