2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.2数列求通项(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.2数列求通项(培优热点专练)(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了已知，，则等内容，欢迎下载使用。

观察法求通项公式
1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高二上·河南洛阳·月考）已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（ ）项
A．13B．14C．15D．16
4．（25-26高二上·山东·月考）已知数列，，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ）
A．B．
C．D．
5．（25-26高二上·吉林·期末）数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
由n项和递推式求通项公式
1．（25-26高二上·天津南开·期末）若数列满足，则（ ）
A．32B．10C．D．
2．（25-26高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
4．（多选）（25-26高二上·河南·月考）记为数列的前项和，已知，则（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．D．
5．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ．
由an与Sn关系求通项公式
1．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0B．40C．80D．120
2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3B．C．D．－2
4．（多选）（25-26高二上·河南许昌·月考）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2048不是的项B．为等差数列
C．为等比数列D．的前n项和等于
5．（多选）（2026·广西·模拟预测）记为正项数列的前n项和，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．是递增数列D．是递增数列
累加法求通项公式
1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，已知，且，则 ．
2．（25-26高二上·北京·期末）已知数列满足，，若，都有，其中、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·江西·月考）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·全国·期末）已知数列满足：，，则
5．（25-26高三上·天津河西·期末）在数列中，，，则 ．
累乘法求通项公式
1．（25-26高二上·青海西宁·期末）已知数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高二上·天津·月考）若数列满足，， 则 ，数列的通项公式 ．
一次/二次/常数构造法求通项公式
1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式.
3．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为
4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式．
指数型构造法求通项公式
1．（2021·贵州安顺·模拟预测）在数列中，，，则 ．
2．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则 .
4．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
由连续两项和求通项公式
1．（25-26高二上·河北邢台·月考）设数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．有最小值3D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，则 ．
3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ．
4．（25-26高三上·湖北随州·期末）在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
由连续两项积求通项公式
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，，则数列的通项公式为
2．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为
3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知数列的首项为，，则的前20项的和等于 .
由连续三项关系求通项公式
1．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．
3．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（ ）
A．63B．127C．255D．256
4．（24-25高二下·安徽·月考）若数列满足，则称为佩尔数列．在佩尔数列中， ．
5．（25-26高三上·河北·月考）已知数列满足，则的前30项的和为 .
倒数型求通项公式
1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列的前项和D．数列是递减数列
2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高二上·全国·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的前项和
D．的前项和
5．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（ ）
A．B．C．D．
周期性数列求通项公式
1．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知数列满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高二上·北京西城·期末）已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．的最大值为20D．
3．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知数列中，，，则数列前项的和为（ ）
A．0B．C．D．
4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知数列满足，且，则 .
故答案为：2.
（建议用时：30分钟）
1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
2.（多选）（25-26高三上·重庆·月考）已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．是等差数列D．若，则n的最小值为5
3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 .
4．（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·天津滨海新·月考）在数列中，，则通项公式（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26高二上·河北邢台·月考）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
8．（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（ ）
A．60B．62C．64D．66
9．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足，则 .
10．（24-25高二上·江苏·期末）已知，，则
近三年：
在数列求通项板块，高考命题强调“通项公式、求和公式与数列性质三法并重”，突出函数与方程、化归与转化的核心思想。近年来的真题清晰地显示，数列通项的考查已超越对单一方法的机械应用，呈现出“基础交汇并重、情境定义出新”的鲜明特点。
通法通性，基础为核：对等差、等比数列定义及基本量（首项、公差/公比）方程的考查是永恒的基础。同时，由 an 与 Sn 的关系求通项、累加法、累乘法及构造法（如构造等差、等比数列）等经典通法是解决递推数列问题的核心工具，在解答题第一问中占据主体地位。
交汇融合，综合考查：数列作为绝佳的知识交汇点，其通项问题常与函数性质、不等式、平面向量等模块深度结合。例如，给出一个结合向量或函数背景的递推关系，要求先转化、再求通项，这直接检验了知识迁移与综合应用能力。
情境创新，定义突破：为落实“去套路化”的命题导向，新颖的现实生活情境与数学新定义成为重要载体。题目可能基于某种实际增长模型或自定义的数列（如“绝对等差数列”、“好集”等），要求考生在理解新规则的基础上，将其化归为熟悉的等差、等比模型或运用经典通法求解。这重点考查数学抽象与逻辑推理素养。
在实际命题中，小题（选择题、填空题）侧重对通法（特别是Sn法、累加法、累乘法）的快速识别与灵活运用；而解答题则倾向于以综合或新定义的形式，完整考查从理解条件、转化递推到求解通项的全过程，思维量和综合性并重。
预测2026年：
基于以上分析，“准确识别递推模型并选择恰当方法进行化归”的能力在2026年高考的数列求通项命题中预计将愈发关键。数列求通项的核心价值在于它不仅是后续求和与证明的基石，更是训练从复杂、新颖的表象中洞察数学本质结构，并运用化归思想将其转化为可解模型的思维体操，这在当前高考强调创新思维选拔的背景下尤为重要。
你在备考中需要将以下几项放在同等重要的位置进行系统性训练：
夯实“四大通法”基础：必须对Sn法、累加法、累乘法及常见构造法（如an+1 = p·an + q型）的适用条件、步骤细节和易错点（如n=1的验证）做到极度熟练，形成条件反射。
提升“模型识别”速度：面对递推式，要能快速判断其潜在可转化的方向（如是否可分解因式、两边同除某式后出现新数列、是否与Sn有关联等），这需要通过大量变式练习来积累经验。
强化“新定义”破题能力：主动练习各类新定义数列题，训练自己从冗长的叙述中精准提取递推规则或项与项之间定量关系的能力，并将其翻译、转化为标准的数学递推式。
构建“交汇联系”网络：在复习中，有意识地将数列通项与函数、不等式等板块结合，理解数列作为一种特殊的离散函数，其性质如何与其他数学知识产生联系，提升综合解题的视野。
总之，数列求通项的备考已不能停留在记忆几种固定套路上，而应上升到理解思想、掌握原理、灵活转化的高度，以应对千变万化的命题形式。如果你能告诉我你在练习哪一类递推公式时感到困难，我可以为你提供更具针对性的分析。
解｜题｜策｜略
1、相邻项之间的关系：观察后一项是否可以通过对前一项进行加/减/乘/除某个固定的数（或与n有关的表达式） 得到。如果能发现这种统一的递推模式，你几乎就找到了通项。
2、根据规律提出通项公式的猜想
3、这是观察法必不可少的环节，因为仅凭有限项归纳的结论可能不唯一或错误。
如果对所有给出的项都成立，则猜想成立。如果前几项成立，但发现某项不符，或n=1时不成立（常见于由 Sn 推出的公式），则说明猜想需要修正，可能通项公式需要分段表示（如 n=1 时一个表达式，n≥2 时另一个表达式）。
常见易错点与注意事项
观察的起点：如果数列不是从 n=1 开始定义的，要特别注意项数与项的对应关系。
观察法常与归纳法配合使用，其结论的严格证明通常需要数学归纳法。在更复杂的数列问题中，观察法是发现潜在规律（如周期、对称性）的重要手段，能为后续使用构造法（如构造等差/等比数列）提供方向。
解｜题｜策｜略
根据题目给出的n项求和公式或者求积公式，构造n+1项后做差或作商，求通项
解｜题｜策｜略
由题目给出an与Sn（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造Sn−1
然后根据Sn−Sn−1=an化简。
消Sn得到an的关系式
消an得到Sn的关系式
注意：构造Sn−1后，n≥2，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。
解｜题｜策｜略
an+1=an+f(n)型（f(n)是关于n的函数）：
&an−an−1=f(n−1)&an−1−an−2=f(n−2)&...&a2−a1=f(1)⟹an=f(n−1)+f(n−2)+(2)+f(1)+a1,(n≥2)
注意：
= 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．
验证首项是否满足通项公式。
解｜题｜策｜略
an+1an=f(n) 型（f(n)是关于n的函数）：
&anan−1=f(n−1)&an−1an−2=f(n−2)&...&a2a1=f(1)⟹an=f(n−1)⋅f(n−2)⋅...⋅f(2)f(1)a1,(n≥2)
注意：
f(n)的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。
验证首项是否满足通项公式。
解｜题｜策｜略
an+1=pan+q( 当p=1时，为等差数列，q=0时，为等比数列，所以p≠1,p≠0,q≠0)
目标把an+1=pan+q拆分成(an+1+A)=p(an+A)的形式，使得{an+A}为公比为p的等比数列（其中的A满足pA−A = q⟹A=qp−1）
an+1=pan+kn+b(p≠1,p≠0,k≠0)
目标把an+1=pan+kn+b拆分成(an+1+A(n+1)+B)=p(an+An+B)的形式，使得{an+An+B}为公比为p的等比数列（其中的A、B满足p(An+B)−(A(n+1)+B) =kn+b
解｜题｜策｜略
an+1=pan+qn(p≠1,0,q≠0,1)
两边同时除以qn+1，得an+1qn+1=pqanqn +1q，然后按照an+1=pan+q的方法去求通项。
通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。
验证首项是否满足通项公式。
解｜题｜策｜略
根据连续两项和an+an+1 =fn的递推式来求通项公式
构造an+1+an+2 =fn+1，然后将两式相减得an+2 −an=fn+1−fn，再根据累加法可以得到数列隔项的通项公式。
解｜题｜策｜略
根据连续两项和anan+1 =fn的递推式来求通项公式
构造an+1an+2 =fn+1，然后将两式相除得an+2 an=fn+1fn，再根据累乘法可以得到数列隔项的通项公式。
解｜题｜策｜略
根据给出的递推关系式an+2=Aan+1+Ban,使用待定系数法构造an+2+Can+1=A(an+1+Can)，构造新数列。
解｜题｜策｜略
an−1−an=pan−1an(p≠0)型
化成1an−1an−1=p形式，得{1an}为等差数列
解｜题｜策｜略
同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。
an+1 =Aan+BCan+D 型(C≠0) 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。
an+1+an=k或an+2+an+1+an=k或an+2−an+1+an=k(k是常数) (k是常数)
an+1∙an=k 或an+2∙an+1∙an=k或an+2∙an∙an+1 =k
分段式数列
注意：
以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。