2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲等比数列及其前n项和(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第03讲等比数列及其前n项和(高效培优讲义)(全国通用)(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了等比数列基本量的计算，等比数列的判断与证明，等比数列的性质，奇数项与偶数项及其求和，等比数列与等差数列综合，等比数列的应用等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1689407621" PAGEREF _Tc1689407621 \h 1
\l "_Tc1992589160" PAGEREF _Tc1992589160 \h 2
\l "_Tc1586020802" PAGEREF _Tc1586020802 \h 3
\l "_Tc1684592650" 考点一 等比数列基本量的计算 PAGEREF _Tc1684592650 \h 3
\l "_Tc524266502" 考点二 等比数列的判断与证明 PAGEREF _Tc524266502 \h 4
\l "_Tc221695473" 考点三 等比数列的性质 PAGEREF _Tc221695473 \h 4
\l "_Tc151687166" 考点四 奇数项与偶数项及其求和 PAGEREF _Tc151687166 \h 5
\l "_Tc343109973" 考点五 等比数列与等差数列综合 PAGEREF _Tc343109973 \h 5
\l "_Tc655724016" 考点六 等比数列的应用 PAGEREF _Tc655724016 \h 6
\l "_Tc2014944155" PAGEREF _Tc2014944155 \h 7
\l "_Tc1496783542" PAGEREF _Tc1496783542 \h 9
\l "_Tc817549436" PAGEREF _Tc817549436 \h 10
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
【备考策略】
（1）理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）了解等比数列与指数函数的关系．
【命题预测】
一个基础题加一个解答题。
知识点一、等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
（3)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(4)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
知识点二、等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
考点一 等比数列基本量的计算
典例1．已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．4052D．
典例2．已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
跟踪训练1．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．8
跟踪训练2．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则 ．
考点二 等比数列的判断与证明
典例1．(多选)已知为等差数列的前项和，则（ ）
A．若，则
B．成等差数列
C．可能成等差数列
D．可能成等比数列
典例2．设数列前项之积为，满足.
(1)求，；
(2)证明数列为等比数列，并求通项公式；
(3)设数列的前项之和为，证明：.
跟踪训练1．（多选）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数）
C．
D．数列是公差为的等差数列
跟踪训练2．（多选）已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．
C．D．且
考点三 等比数列的性质
典例1．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（ ）
A．8B．2C．1D．
典例2．设等比数列的公比为q，若，则 ．
跟踪训练1．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
跟踪训练2．已知等比数列的公比，且，则 ．
考点四 奇数项与偶数项及其求和
典例1．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 .
典例2．设是数列的前项和，已知
(1)求，并证明：是等比数列；
(2)求满足的所有正整数.
跟踪训练1．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
跟踪训练2．已知等比数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前n项和；
(3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围.
考点五 等比数列与等差数列综合
典例1．(多选)已知数列的首项，前项和为，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．是递减数列D．
跟踪训练1．（多选）设是函数的三个零点，则（ ）
A．B．
C．若成等差数列，则成等比数列D．若成等差数列，则
跟踪训练2．设数列，满足，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前项和.
考点六 等比数列的应用
典例1．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
典例2．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．
跟踪训练1．若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为 .
跟踪训练2．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ．
一、单选题
1．已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前项和，则
5．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．取得最小值时当且仅当D．数列是等比数列
6．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．是等比数列
7．设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．
C．为等差数列D．为常数
8．记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．若，则取得最小值时
D．若，则
三、填空题
9．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 .
10．已知数列是递增的等比数列，若，则 .
11．已知为等比数列前项和，若，则 .
12．已知数列满足，则 ．
四、解答题
13．记为数列的前项和，且，.
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求.
14．已知数列是等比数列，数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
15．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
1．(多选)已知各项均为正数的数列满足，且数列的前n项积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在及正整数k，使得D．若为等比数列，则
2．(多选)若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列是等比数列
C．数列 为递增数列D．中存在三项构成等差数列
3．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则 .
4．牛顿切线法是牛顿在《流数法与无穷级数》一书中提出的一种用导数求方程近似解的方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一直继续下去，得到，，，……，.一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列.函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，.求 .
5．已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
6．设数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
一、单选题
1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
二、多选题
3．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
4．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
5．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
6．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
7．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
四、解答题
8．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
9．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
10．已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
25全国二卷T7，（5分）
数列基本量运算
无
25全国一卷T13，（5分）
数列基本量运算
无
25北京卷T5，（4分）
数列基本量运算
无
24全国甲卷（文）T17（1），（5分）
数列求和
无
24全国甲卷（理）T5，（5分）
数列求和
无
23全国II卷T8，（5分）
数列基本量运算
无
23全国乙卷（理）T15，（5分）
数列基本量运算
无
第03讲 等比数列及其前n项和
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc708671441" PAGEREF _Tc708671441 \h 1
\l "_Tc696602625" PAGEREF _Tc696602625 \h 2
\l "_Tc1866958578" PAGEREF _Tc1866958578 \h 3
\l "_Tc1089254129" 考点一 等比数列基本量的计算 PAGEREF _Tc1089254129 \h 3
\l "_Tc1943539075" 考点二 等比数列的判断与证明 PAGEREF _Tc1943539075 \h 5
\l "_Tc1834962655" 考点三 等比数列的性质 PAGEREF _Tc1834962655 \h 9
\l "_Tc204688018" 考点四 奇数项与偶数项及其求和 PAGEREF _Tc204688018 \h 10
\l "_Tc2070199679" 考点五 等比数列与等差数列综合 PAGEREF _Tc2070199679 \h 14
\l "_Tc315956259" 考点六 等比数列的应用 PAGEREF _Tc315956259 \h 17
\l "_Tc1697269629" PAGEREF _Tc1697269629 \h 21
\l "_Tc985371502" PAGEREF _Tc985371502 \h 30
\l "_Tc1892432097" PAGEREF _Tc1892432097 \h 35
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
【备考策略】
（1）理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）了解等比数列与指数函数的关系．
【命题预测】
一个基础题加一个解答题。
知识点一、等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
（3)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(4)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
知识点二、等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
考点一 等比数列基本量的计算
典例1．已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．4052D．
【答案】A
【分析】由等差中项的性质结合等比数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
典例2．已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果；
（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，
则，即，解得 ，
所以.
则 数列的通项公式为：
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
又因为，所以.
设数列的前项和为，
则
所以数列的前项和为
跟踪训练1．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．8
【答案】A
【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】成等差数列，成等比数列，
所以，且，则，
当且仅当时取等号，
故选：A.
跟踪训练2．已知正项等比数列的前项和为，公比为，则 ．
【答案】
【分析】将用表示，由等比数列通项公式代入化简求值.
【详解】因为，所以，即，
所以，解得或，
因为，所以，所以不满足条件，
所以.
故答案为：.
考点二 等比数列的判断与证明
典例1．(多选)已知为等差数列的前项和，则（ ）
A．若，则
B．成等差数列
C．可能成等差数列
D．可能成等比数列
【答案】BC
【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，及等差数列等比数列的定义一一分析，进行求解.
【详解】对于选项A：，当时，；
当时，，
适合，，故选项A错误；
对于选项B：为等差数列的前项和，设的公差为d，
则，
，，
，
,
，，，成等差数列，故选项B正确；
对于选项C：设等差数列的公差为，则，，，
若成等差数列，则，
即，解得，
，，，，，，成等差数列，故选项C正确；
对于选项D：设等差数列的公差为，则，，，
若成等比数列，则，即，
解得，将看成是关于的一元二次方程，，
只有当时，方程有解，
且解为，此时，则不可能成等比数列，故选项D错误.
故选：BC.
典例2．设数列前项之积为，满足.
(1)求，；
(2)证明数列为等比数列，并求通项公式；
(3)设数列的前项之和为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系，将代入即可求解；
（2）根据等比数列的定义证明为等比数列，利用等比数列的通项公式和与的关系求通项公式即可；
（3）利用（2）中结论可得，通过判断增减性和放缩证明即可.
【详解】（1）因为数列前项之积为，满足，
所以当时，，解得，
当时，，解得，
所以，.
（2）由（1）易知，
由可得当时，
又因为当时，所以，
两边同除以得，即，
又，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，解得，
当时，当时，，
经检验当时仍成立，
所以.
（3）由（2）可得，
所以，所以，
当时，，
当时，
则当时
，
即随着的增大，不断减小，所以，
又，
所以得证.
跟踪训练1．（多选）已知等差数列的公差为正数，是数列的前项和，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为的等比数列（为自然对数的底数）
C．
D．数列是公差为的等差数列
【答案】AB
【分析】由题意，根据等差数列的通项公式求出，进而求出，，即可判断AC；结合等、差比数列的定义即可判断BD.
【详解】A：依题意，设公差为d，则，
由，，
解得，，故A正确；
B：由，得，所以，
由，即数列是以为公比的等比数列，故B正确；
C：，故C错误；
D：由，得，
所以，不恒为常数，
所以不是等差数列，故D错误.
故选：AB
跟踪训练2．（多选）已知数列的前项和为，下列各条件能推出数列一定为等比数列的是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】ACD
【分析】A由等比数列定义可判断选项正误；B通过举反例可判断选项正误；C、D由前n项和与数列通项关系可判断选项正误.
【详解】对于A，由等比数列的定义，知是等比数列；
对于满足，但不是等比数列；
对于C，可得，则是1为首项和公比的的等比数列；
对于D，由且，，
可得
，因，则是以为首项，公比为的等比数列.
故选：ACD
考点三 等比数列的性质
典例1．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（ ）
A．8B．2C．1D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】，故，
所以，
，
故选：A
典例2．设等比数列的公比为q，若，则 ．
【答案】2
【分析】由等比数列的性质有，结合已知求公比.
【详解】因为，所以．
故答案为：2
跟踪训练1．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可.
【详解】因为是方程的两个根，所以，
在正项等比数列中，有，，
又，所以，所以.
故选：B
跟踪训练2．已知等比数列的公比，且，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】由等比数列的公比，且，
则
，
所以.
故答案为：.
考点四 奇数项与偶数项及其求和
典例1．已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比 .
【答案】
【分析】利用以及已知条件可求得的值.
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
典例2．设是数列的前项和，已知
(1)求，并证明：是等比数列；
(2)求满足的所有正整数.
【答案】(1)，证明见解析
(2)1，2
【分析】（1）利用代入计算即可求得，由等比数列定义可求得，即可得出证明；
（2）利用数列分组求和可得出，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果.
【详解】（1）由可得，
所以，
可得；
由已知得，
所以，
其中，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以
，
由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减，
其中，
所以满足的所有正整数为1，2.
跟踪训练1．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15B．30
C．45D．60
【答案】D
【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系.
【详解】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
跟踪训练2．已知等比数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前n项和；
(3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式；
（2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求；
（3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，则，
由，解得，
所以.
（2）由（1），得，则，
当n为偶数时，令，则，
当n为奇数时，.
所以.
（3）由（1），知，
存在正整数n，使得成立.
当n为偶数时，，，
由，得.
因为单调递增，所以的最小值为，
因为单调递减，所以的最大值为，
所以.
当n为奇数时，，，
由，得.
因为单调递减，所以的最大值为，
因为单调递增，所以的最小值为，
所以.
综上，m的取值范围是.
考点五 等比数列与等差数列综合
典例1．(多选)已知数列的首项，前项和为，且，则（ ）
A．B．是等差数列
C．是递减数列D．
【答案】ACD
【分析】首先代入递推公式求，判断A，利用构造法，判断B，再求数列的通项公式判断C，再利用放缩法求和，判断D.
【详解】A.，故A正确；
B.由可知，，则，
而，故
即，且，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B错误；
C.由B可知，，则，数列是正项单调递增数列，
所以数列是递减数列，故C正确；
D.当时，，
所以时，，即，
所以，
，
所以，故D正确.
故选：ACD
跟踪训练1．（多选）设是函数的三个零点，则（ ）
A．B．
C．若成等差数列，则成等比数列D．若成等差数列，则
【答案】ABC
【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D.
【详解】对A、B：令，则，设，
则，故当时，，
当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，时，，
且，故，且，故A、B正确；
对C、D：由题意可得，所以，
由于成等差数列，则，故，
则，所以，故成等比数列，故C正确；
则，化简有，则，
解得或，
又，则，故，则，
又，故舍去，
故，又，
所以，故D错误.
故选：ABC．
跟踪训练2．设数列，满足，，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）确定是等差数列，进而可求解；
（2）由等比数列的定义即可求证；
（3）由（2）求得，再由错位相减法及等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以是等差数列，
设的公差为，由，，，得，
所以.
（2）证明：因为，，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知，
所以，
，
令，
则，
两式相减得
，
所以，
又因为，
所以.
考点六 等比数列的应用
典例1．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得
【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列，
从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，
则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有，
故数列是首项，公比为的等比数列，则，故.
故选：B.
典例2．张明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：张明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)若都是离散型随机变量，则，记张明前天晨跑的天数为，求．
【答案】(1)；
(2)（或）；
(3)
【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值；
（2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式；
（3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出.
【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故，
第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，
第3天晨跑的情况分两种：
第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为，
第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，
故.
（2）由题意得，张明第天晨跑后，下一次晨跑在第天的概率为，
张明第天晨跑后，再在第天晨跑的概率为，
所以，
即，则，
所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
由（1）得，，，所以，
所以，
则，
所以，
所以．（或）
（3）记他前天中，第天晨跑的次数为．
由题意得，服从两点分布，且，
因为，且对于离散型随机变量，都有，
所以
，
所以，
所以
所以.
（或
跟踪训练1．若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为 .
【答案】
【分析】先分析小球运动规律，记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据运动规律建立递推关系，由递推关系得出数列通项公式，再根据无穷递缩等比数列的相关说明求得"运动停止前，小球位于球的概率"，进而得到"当运动停止时，小球位于出口外的概率".
【详解】记小球从一个球形容器运动到其相邻的球形容器为一次运动．记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．
根据马尔可夫链，可知：当时，,
化简，整理得：当时，.
特别地，可分析知，小球到达球需奇数次运动，偶数次运动后不能到达球,
所以认为当为偶数时，.
当为奇数时，因为小球的起始位置在球内，所以，所以.
因为小球到达球需偶数次运动，奇数次运动后不能到达球,
所以认为当为奇数时，.
当为偶数时，为奇数，所以
记数列的前项和为,则,其中为偶数.
由题意知，为无穷递缩等比数列,当时，.
即当运动停止前，小球位于球的概率约为.
所以当运动停止时，小球位于出口外的概率约为.
故答案为：
跟踪训练2．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ．
【答案】23
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），
则，即，
解得，.
故斗量器的高为.
故答案为：23
一、单选题
1．已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可.
【详解】由成等比数列，则，又，
则，解得.
故选：B．
2．已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用等比数列的性质，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由等比数列单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为，则，
若，根据等比数列的性质，可得，解得，
又由且，因为且，所以，
此时与无法比较，所以不能推出有唯一的最大值，所以充分性不成立；
反之：若有唯一的最大值，可得，
因为，所以，
根据等比数列的性质，知，所以成立，即必要性成立，
综上可得，是有唯一的最大值的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知数列{an}满足数列的前n项和，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知得出是等比数列，可得其通项公式，由，可得，计算可得.
【详解】因为，
所以，
又，则，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列.
于是，
因为，
所以，
又，
所以，
故选：A
二、多选题
4．已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前项和，则
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.
【详解】令等比数列的公比为，则，
，且，则是等比数列，故A正确；
由，，得，即，所以，故B错误；
由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确；
显然，则，而，因此，，，故D正确.
故选：ACD.
5．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．取得最小值时当且仅当D．数列是等比数列
【答案】AD
【分析】设等差数列的公差为，结合已知可求得，，可求得数列的通项公式，前项和公式，以及前项和的最小值可判断ABC；利用等比数列的定义可判断是等比数列判断D.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，
所以，，
当或时，有最小值，最小值为，故A正确，B，C错误；
因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确.
故选：AD.
6．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．是等比数列
【答案】ACD
【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案.
【详解】设的公比为，则由递增，得，
因为，所以，
解得或（舍去），
对于A，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，
又，
所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD.
7．设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．
C．为等差数列D．为常数
【答案】ACD
【分析】设等比数列的公比为，由题干所给条件求出，，求出，逐个选项判断即可.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，则，
又因为，则，，
.
，故A选项正确；
，故B选项错误；
，所以为等差数列，故C选项正确；
，故D选项正确；
故选：ACD.
8．记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列为递增数列
C．若，则取得最小值时
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据已知条件求得等比数列的首项和公比，得到其通项公式、前项和与前项积，然后逐项判断即可.
【详解】设等比数列的公比为.
由题可知：，
化简得：，解得或.
所以或.
选项A：，所以选项A正确；
选项B：当时，数列为递减数列；
当时，数列为递增数列，所以选项B错误；
选项C：若，则，所以，
所以，.
所以.
当或时，取得最小值，最小值为.所以选项C错误；
选项D：若，则，所以，
所以，.
所以.
因为，所以，所以，所以选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 .
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，利用等比中项的性质及等差数列基本量运算求得，即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，则，，
由，且，，成等比数列，知，化简得，
所以或（舍去），则.
故答案为：
10．已知数列是递增的等比数列，若，则 .
【答案】512
【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由可得，把代入方程整理得
或(舍去).
所以.
故答案为：512
11．已知为等比数列前项和，若，则 .
【答案】91
【分析】利用等比数列的定义与性质计算即可.
【详解】设该数列公比为，由可知，
所以，可得，
而.
故答案为：91
12．已知数列满足，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由数列满足，
则
.
故答案为：.
四、解答题
13．记为数列的前项和，且，.
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，结合和的关系求解即可；
（2）根据和的关系结合题设证即可；
（3）方法一：由（2）可得，进而结合分组求和法求和即可；
方法二：先由，得，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，进而求得.
【详解】（1）令，得，而，
则，得.
（2）由，
当时，，
两式相减，可得，即，
而，则，满足上式，
故是首项为，公比为的等比数列.
（3）方法一：由（2）可得，故，
故.
方法二：由，得，
而，故数列是首项为1，公比为的等比数列，
故，故.
14．已知数列是等比数列，数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由递推关系求出，结合等比数列的通项公式即可求解.
（2）由递推关系求出，利用等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）由，，得，所以，
又是等比数列，所以公比，所以的通项公式为.
（2）由及（1）得，
所以，
由得是等差数列，
所以的前项和为.
15．设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式；
（2）根据（1）中与的通项公式，结合等差、等比数列前项和公式计算得出数列的前n项和；
【详解】（1）设公差为，公比为，则，
由可得（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
则．
1．(多选)已知各项均为正数的数列满足，且数列的前n项积为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．存在及正整数k，使得D．若为等比数列，则
【答案】ABD
【分析】对于A，由已知可得，进而计算即可判断；对于B，，进而计算即可判断；对于C，由已知可得，进而可得，可判断；对于D，若为等比数列，设其公比为，进而计算即可判断.
【详解】对于A，若，则，
∴，故A正确；
对于B，若，则，所以，
两式相除得，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为数列各项均为正数，所以，即，
故不存在及正整数k，使得，故C错误；
对于D，若为等比数列，设其公比为，
则，所以，则，故D正确．
故选：ABD.
2．(多选)若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列是等比数列
C．数列 为递增数列D．中存在三项构成等差数列
【答案】AC
【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列，表示出和，再分别判断各选项即可．
【详解】由得，，，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，即，
当时，，
所以，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于C，因为，当时，，
所以，数列 为递增数列，故C正确；
对于D，取，且，
假设存在能构成等差数列，则，
则有，即，所以，
因为，所以，与矛盾；
假设存在能构成等差数列，则，即，
则，即，显然当时无解，
所以中任意三项不能构成等差数列，故D错误；
故选：AC．
3．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则 .
【答案】
【分析】应用n次独立事件概率及独立事件概率乘积公式结合等比数列求和公式计算求解.
【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中，
则.
所以，
故.
故答案为：.
4．牛顿切线法是牛顿在《流数法与无穷级数》一书中提出的一种用导数求方程近似解的方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一直继续下去，得到，，，……，.一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列.函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，.求 .
【答案】
【分析】求出过点的切线方程，令，得，变形得到，故数列为等比数列，故，利用等比数列求和公式得到答案.
【详解】因为，则，
可得，，
过点作曲线的切线，
令，得，
则，
又因为，是函数的两个零点，则，
且，则，
可得，
故数列为等比数列，又，故，
所以.
故答案为：
5．已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式；
（2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立；
【详解】（1）因为，进而，两式作差可得：
，即，
所以为常数列，
又，则，故数列的通项公式为．
（2）由（1），则，其中，8，…，，
结合等比数列求和公式，有：
，
当时，，
综上所述，.
6．设数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用之间的关系式可得递推公式，再根据等比数列定义证明即可得出结论；
（2）求出数列的通项公式，由裂项相消可得，求和即可得出.
【详解】（1）易知当时，，因此数列各项均不为零，
根据题意由可知，
两式相减即可得，即；
所以为定值，
即可得数列是以为首项，公比为的等比数列；
（2）由（1）可得，即，
因此；
因此数列的前项和.
一、单选题
1．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
二、多选题
3．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.
【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
三、填空题
4．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
【答案】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
5．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
6．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
7．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，
取 ，则,故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
四、解答题
8．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
9．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
10．已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
25全国二卷T7，（5分）
数列基本量运算
无
25全国一卷T13，（5分）
数列基本量运算
无
25北京卷T5，（4分）
数列基本量运算
无
24全国甲卷（文）T17（1），（5分）
数列求和
无
24全国甲卷（理）T5，（5分）
数列求和
无
23全国II卷T8，（5分）
数列基本量运算
无
23全国乙卷（理）T15，（5分）
数列基本量运算
无