2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.1等差等比数列中性质的应用(培优热点专练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题6.1等差等比数列中性质的应用(培优热点专练)(学生版+解析)，共8页。

等差中项的应用
1．（2026·重庆·一模）在等差数列中，若，则（ ）
A．B．8C．16D．24
【答案】B
【分析】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果.
【详解】依题意可得，因此；
又，可得；
因为，所以.
故选：B
2．（25-26高三上·江西上饶·月考）已知等差数列满足，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可.
【详解】由等差中项的性质可得，故，解得.
故选：C．
3．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可.
【详解】设数列的公差为，又，即，
整理得，解得或，
当时，；当时，
又，
因此或.
故选：B.
4．（2025·安徽·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（ ）
A．24B．21C．18D．15
【答案】A
【分析】写出数列与的通项公式，对数列利用等差中项的性质列方程求出数列的公差，从而代入的通项公式求出.
【详解】设的公差为，的公差为，
，解得，所以，
，
因为数列也是等差数列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以，.
故选：A
5．（2025·浙江金华·一模）已知等差数列满足，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】应用等差中项的性质得，再由即可得出.
【详解】由题设，而，
所以.
故选：B
根据等差中项求和
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（ ）
A．10B．15C．30D．31
【答案】D
【分析】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为，
又是与的等差中项，所以，即，
解得或（舍去），
所以由解得，
所以该数列的前5项和，
故选：D
2．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】C
【分析】利用等差数列性质，，其中，计算即可.
【详解】由题意可知等差数列满足：，
所以得：，
所以．
故选：C．
3．（2026·重庆九龙坡·一模）已知为等差数列，其前n项和为则（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出.
【详解】将转化为：，
展开得：，
合并同类项：，
化简得：，即.
前5项和，由等差数列性质知，，
故.
故选：B
4．（2026·四川绵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，则的前项和等于 .
【答案】
【分析】直接根据等差数列的性质及等差数列的前n项和公式可得.
【详解】因为数列是等差数列，且，，
所以由等差数列的性质得，.
故答案为：.
5．（2026·贵州毕节·一模）记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】
【分析】根据条件可求得与公差，再运用等差数列的前项和公式即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，则由题可知，，
解得，故，，
故，
故答案为：.
等差数列片段和的性质
1．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】84
【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可.
【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
故答案为：84.
2．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）
A．0B．3C．6D．12
【答案】A
【分析】利用等差数列的片段和性质即可得解.
【详解】因为是等差数列，所以成等差数列，
又，所以成等差数列，
则，则.
故选：A.
3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和性质求解即可.
【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和，
所以，
，
，
.
所以.
所以.
所以成等差数列.
由，得，所以.
所以，所以是公差为的等差数列.
所以.
所以.
故选：A.
4．（25-26高二上·山西晋中·月考）等差数列中，为其前项的和．若，，则 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得.
【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列，
且公差，
∴，即，
则，则.
故答案为：72.
5．（多选）（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，则（ ）
A．若是等差数列，则，，成等差数列
B．若是等比数列，则，，成等比数列
C．若，且，则存在数列，使得
D．若，且，则存在，使得
【答案】AC
【分析】根据等差数列的定义和性质分析判断A；举例判断BC；根据数列特征及项的奇偶性判断D.
【详解】对于选项A：是等差数列，设其公差为d，
因为，，
则
所以，，，成等差数列，故A正确；
对于选项B：例如，则，
可得，，不成等比数列，故B错误；
对于选项C：例如周期数列，满足，且，
此时，故C正确；
对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，
而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，
故D错误；
故选：AC
等差数列{Snn}的性质
1．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ）
A．49B．50C．51D．52
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：C.
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案.
方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解.
【详解】方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
所以.
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，
则，得，解得.
故选：C
3．（25-26高三上·江苏·月考）已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列的性质设出，再根据已知条件求出，即可计算出的值.
【详解】因为数列为等差数列，为其前n项和，由其性质可知数列为等差数列，
又因为为等差数列的前n项和，即，
因为，所以，解得，
所以，故.
故答案为：
4．（多选）（25-26高二上·山东·月考）记为数列的前项和，已知，是公差为1的等差数列，则（ ）
A．是等差数列B．
C．D．当时，的最小值为12
【答案】ACD
【分析】等差数列的通项公式的定义求出，利用求出，从而可判断A和B; 令，分析的取值规律，即可判断C; 令，分析的取值规律，即可判断D.
【详解】选项A：由题可知，则.当时，，
也满足上式，故，即得，所以是等差数列，故A正确；
选项B：由于，得，故B错误；
选项C：由于，令，即，解得，即数列的前5项为负，第6项为0，第7项起为正，
因此当时，单调递减，当时，单调递增，又，
故的最小值为（或），所以，故C正确；
选项D：由于，令，则，解得（舍去）或，又，
所以时，，所以当时，的最小值为12，故D正确.
故选: ACD
5．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（ ）
A．数列的公差小于B．
C．的最小值是D．使成立的的最小值是
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答.
【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则，
由得，故，
可得，故数列的公差大于，A错；
对于B选项，由得，
因为，故数列单调递增，所以，B对；
对于C选项，因为数列单调递增，且，
故当且时，；当且时，.
所以的最小值是，C对；
对于D选项，因为，
，
，
故成立的的最小值是，D对.
故选：BCD.
两个等差数列前n项和之比问题
1．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 .
【答案】1
【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可.
【详解】由，，
所以.
故答案为：.
2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解.
【详解】等差数列与的前项和分别为，，且，
则.
故答案为：.
3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解.
【详解】根据等差中项的性质，
可得，
再由等差数列的前n项和公式可得，
所以 ，
故选：D
4．（多选）（2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解．
【详解】设等差数列的公差分别为，
则，
所以是等差数列，A正确；
，故B错误；
设，
则，
又，
所以.
可设，
所以，
所以，故C正确；
成等差数列，
又，
所以，所以，故D错误.
故选：AC
5．（多选）（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则的值为6
D．若， 则数列的公差为
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的性质得到仍是等差数列，从而根据等差中项判断A；根据等差数列前n项和公式及等差中项，将转化为判断B；
根据等差数列前n项和公式的性质列方程求解C；根据等差数列前项和公式列方程求解D.
【详解】因为数列，均为等差数列，所以数列仍是等差数列，
所以是与的等差中项，
所以，故A正确.
因为等差数列，的前n项和分别为，，所以，
根据等差中项的性质知，即，所以，故B正确.
因为等差数列的前n项和为，所以成等差数列，
若，则成等差数列，
所以，解得，故C错误.
设的公差，因为，所以，
所以，即，则数列的公差为2，故D正确，
故选：ABD
等差数列奇数项和与偶数项和的关系
1．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（ ）
A．21B．19C．9D．11
【答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列.
奇数项和为 ①
偶数项和为 ②
因为，
所以，解得.
所以，即等差数列的项数为21.
故选：A.
2．（25-26高二上·天津·月考）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ．
【答案】10
【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可.
【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个，
设等差数列的公差为，
奇数项和①，
偶数项和②，
由①②，得，代入②式，可得，解得.
故答案为：10
3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ．
【答案】
【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解.
【详解】由题意，①，
②，
②①可得，，即，
故答案为：
4．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项，
奇数项和为①，
偶数项和为②．
因为，所以①÷②，得，则．
故选：A．
等差数列的单调性
1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，
若为单调递增的数列，则；
若，
则，，
，，
所以，，
则“为单调递增的数列”.
综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件.
故选：C
2．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案.
【详解】若递减，则
因此需要满足：且恒成立；
若，，则对所有成立，
若，，则存在使得，与矛盾
递减的充要条件是且，
即若递减，则为递增数列，充分性成立；
若为递增数列，则，
，
由于不知道的正负，故无法判断的正负，
故不能得到为递减数列，必要性不成立，
例如为以下数列：，
则为，不是递减数列，
所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件.
故选：A.
3．（多选）（25-26高二上·云南昭通·月考）已知单调递增的正项无穷等差数列满足：，则下列说法正确的有（ ）
A．B．当时，的前项和为
C．公差的取值范围是D．当为整数时，的最大值为7
【答案】AC
【分析】对于A，由等差数列的性质可求出，进而可判断；对于B，由求出公差，由等差数列的前项和公式求解即可；对于C，由为单调递增的正项无穷等差数列，列不等式组求解即可；对于D，结合及公差的范围得到的范围.
【详解】对于A，在等差数列中，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，由于，，则公差，故的前20项和为，故B错误；
对于C，由，为单调递增的正项无穷等差数列，得且，解得，即的取值范围为，故C正确；
对于D，，当为整数时，，即的最大值为9，D错误.
故选：AC.
4．（多选）（24-25高二下·河北保定·期末）已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是单调递减数列B．若，则是单调递增数列
C．是单调递增数列D．是单调递增数列
【答案】BCD
【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，，
但，，此时数列不单调，A错；
对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对；
对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对；
对于D选项，对任意的，，
因为，所以，故数列是单调递增数列，D对.
故选：BCD.
等差数列前n项和的最值
1．（多选）（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用前n项和与通项的关系，求出首项与公差的正负，结合选项逐项分析；
【详解】由于，即；
由于，即；
由于，即；
综上，，，；
对于选项A，由于，，，则A正确；
对于选项B，由于，则B错误；
对于选项C，由于，则C正确；
对于选项D，由于，则D错误；
故选：AC
2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（ ）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【分析】由及等差数列前n项和的性质判断①④；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②③..
【详解】由题意可得，所以，，故①②对；
由，可知，
所以满足成立的最小的值为18，③对；
由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④.
故选：D
3．（多选）（24-25高二下·广西南宁·期中）已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．在数列中，最大B．在数列中，最大
C．D．当时，
【答案】AD
【分析】根据数列的前项和的性质即可求解.
【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，所以，所以等差数列为递减数列，
所以在数列中，最大；当时，；
故选：AD.
4．（多选）（25-26高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【分析】对于A：分析可知与异号，结合题意可证不成立；对于B：整理可得，进而可得，即可判断；对于C：可知与异号，即可判断；对于D：根据题意可得，进而分析判断.
【详解】在等差数列中，，
对于选项A：因为，所以，
又因为，可知与异号，
假设，则，可得，，
两者相矛盾，所以，故A正确；
对于选项B：因为，则，
可得，，则，，
又因为，即，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
又因为，可知与异号，
但的正负不确定，且，
所以的符号不确定，故C错误；
对于选项D：因为，则，
所以，故D错误.
故选：AB.
5．（多选）（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．是递减数列B．
C．当时，取得最小值D．当时，取得最大值
【答案】ABD
【分析】运用等差数列下标和的性质、等差数列的前项和公式以及的符号，依次判断即可.
【详解】对于A：，.又，
，故等差数列是递减数列，故A正确；
对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，，
因此有，故，即，故B正确；
对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确.
故选：ABD.
等比中项的应用
1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，结合韦达定理构造一元二次方程求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知.
因为是递增的等比数列，所以，
又，所以，是方程的两根，解得，.
所以，所以.
故选：C.
2．（25-26高三上·河北邢台·月考）在等比数列中，，且，则（ ）
A．36B．27C．18D．9
【答案】C
【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解.
【详解】由等比数列的性质得，故，
得．
由，得，则，所以．
故选：C.
3．（25-26高二上·北京·期末）已知是等比数列，若，，则的前项和 ．
【答案】
【分析】根据所给条件列方程求解首项与公比，再由等比数列求和公式得解.
【详解】由可得，
由可得，
又，所以，即，
所以，.
故答案为：
4．（25-26高二上·天津津南·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
【答案】
【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解.
【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，，
则，，所以，，
则.
故答案为：.
等比数列子数列性质
1．（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ．
【答案】
【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
又，所以，
则.
故答案为：.
2．（25-26高三上·安徽·月考）在正项等比数列中，已知，则 ．
【答案】
【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解．
【详解】由，则，得，
由题意知，故，
所以．
故答案为：
3．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 .
【答案】
【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．
【详解】设等比数列的公比为，因为，
故，所以，所以．
故答案为：．
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知等比数列的公比，且，则 ．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】由等比数列的公比，且，
则
，
所以.
故答案为：.
5．（2025·贵州安顺·模拟预测）记为等比数列的前项和，若，，则 .
【答案】/
【分析】利用等比数列性质求出，进而可得，可得.
【详解】设等比数列的公比为，则，
所以，所以.
故答案为：
等比数列变形后的数列性质
1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·月考）设数列满足，且，则 .
【答案】4
【分析】由可知数列是正项数列，且是等比数列，由公比及等比数列的性质可得到结果.
【详解】因为数列满足，
所以数列是正项数列，且，
所以，所以数列是公比的等比数列.
又，
所以.
故答案为：4.
2．（多选）（24-25高二下·广东·期中）下列说法正确的有（ ）
A．若、、成等差数列，则、、成等差数列
B．若、、成等差数列，则、、成等比数列
C．若、、成等比数列，则、、成等差数列
D．若、、成等比数列，则、、成等比数列
【答案】ABD
【分析】利用等差中项法可判断A选项；利用等比中项法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项.
【详解】对于A选项，若、、成等差数列，则，
所以，，
所以，、、成等差数列，A对；
对于B选项， 若、、成等差数列，则，
所以，、、均为正数，且，
所以，、、成等比数列，B对；
对于C选项，若、、成等比数列，如取，
则、、均无意义，C错；
对于D选项，若、、成等比数列，则、、均不为零，且，
所以，，即、、成等比数列，D对.
故选：ABD.
3．（多选）（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知数列、都是正项等比数列，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】BC
【分析】利用特例法可判断AD选项；利用等比数列的定义可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项.
【详解】因为数列、都是正项等比数列，
所以设数列，的公比分别为、，且，，
且对任意的正整数有，成立,
对于A选项，不妨设，，满足、都是正项等比数列，
此时，
因为，，
所以，此时数列不是等比数列，故A不正确；
对于B选项，因为，所以数列是等比数列，故B正确；
对于C选项，因为为常数，
所以数列是等差数列 ，故C正确；
对于D，设，，满足、都是正项等比数列，此时，
，，
所以，，所以，所以数列不是等比数列，故D不正确.
故选：BC.
4．（多选）（2025高三上·广东肇庆·专题练习）已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是递增数列
C．数列是等差数列D．，，成等比数列
【答案】AC
【分析】首先根据等比数列的定义求出数列的通项公式，进而可得到前n项和的表达式，根据数列的相关知识逐一分析．
【详解】因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，．
对于A，因为，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，故A正确；
对于B，数列的通项公式为，因为函数是减函数，所以数列是递减数列，故B错误；
对于C，数列的通项公式为，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列，故C正确；
对于D，因为，，，所以，，显然，所以，，不成等比数列，故D错误.
故选：AC.
5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．是等比数列D．是等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D.
【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即．
因为，所以是等比数列，所以A选项正确；
因为，所以是等比数列，所以C选项正确；
当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；
不妨设等比数列为，当时，不存在，
所以不是等差数列，所以D选项错误.
故选：AC
等比数列片段和性质
1．（25-26高二上·天津津南·月考）已知为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则
，与题意矛盾，
因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列，
所以，
又因为，，则，整理可得，
解得或（舍去），
故选：A.
2．（2025高三·全国·专题练习）设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】解法一：由题意判断，利用等比数列前n项和结合求出，即可求得答案；解法二：利用等比数列前n项和的性质：，，成等比数列，求出，即可求得答案.
【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，
则公比，否则，不符题意；
所以，解得，
所以．
解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，
则，即，
求得，故，
故选：C．
3．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等比数列的前项和为，若，且，则 .
【答案】17
【分析】根据等比数列的前n项和性质得，从而利用求解即可.
【详解】设的公比为，则，解得，
所以.
故答案为：17
4．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ．
【答案】9
【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可.
【详解】由已知，显然公比，
所以成等比数列，
所以，即，解得或者，
因为，所以舍去，
故答案为：9
5．（25-26高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 .
【答案】64
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】由等比数列的性质得.
故答案为：64.
等比数列奇数项和与偶数项和
1．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（ ）
A．150B．200C．250D．300
【答案】B
【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解.
【详解】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故选：B
2．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2B．-2C．-1D．2或-2
【答案】D
【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可.
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（ ）
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以．
故选：D.
4．（25-26高二上·重庆·月考）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 .
【答案】
【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比.
【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，
设公比为，得到奇数项和为，
偶数项和为，
所以，
即，
可得：，解得．
故答案为：
5．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【答案】2
【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项.
【详解】由题设，可得，
若的公比为，则，
所以，则.
故答案为：2
等比数列的单调性
1．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等比数列定义、数列单调性意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有；
取，数列的公比，而数列是递减数列，
所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的定义得到结论.
【详解】取，，则，满足，
此时，所以数列不为递增数列，
故充分性不成立；
当数列为递增数列时，则，故必要性成立.
∴“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（25-26高三上·河北衡水·期中）已知为等比数列，为其公比，设甲：；乙：为递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【分析】应用等比数列定义结合充分条件和必要条件的定义举反例，判断即可.
【详解】根据题意，为等比数列，
当，时，，此时为递减数列，故充分性不成立；
同理可知，此时为递增数列，但，故必要性不成立．
故选：D．
4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】是等比数列，则，
，
，等价于，
当时，，数列为递增数列；
当时，，则数列不一定递增，如时，，
不能推出为单调递增数列，不满足充分性；
若为单调递增数列，则对于任意，有，
令，则，
为单调递增数列能推出，满足必要性，
“”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确．
故选：A．
5．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（ ）
A．若，则数列是递增数列B．若，则数列是递减数列
C．若，则数列是递增数列D．若，则数列是递增数列
【答案】D
【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可.
【详解】由等比数列，则公比，
对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误.
对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误.
对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误.
对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确.
故选：D.
等比数列的前n项积的性质
1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ）
A．
B．
C．存在，使得
D．当时，最小
【答案】D
【分析】对于A，由定义结合题设可判断选项正误；对于B，注意到，则，据此可判断选项正误；对于C，注意到数列是单调递增数列，结合B分析可判断选项正误；对于D，注意到，结合B分析，可得，结合数列是单调递增数列可判断选项正误．
【详解】因为，所以．
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，则，故B错误
对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误.
对于D，注意到，则，
从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确；
故选：D
2．（25-26高二上·河北邢台·月考）已知等比数列的前项积为，，，且，则的最小值为（ ）
A．16B．15C．14D．13
【答案】C
【分析】由题意可得是递增数列且，由递增数列性质结合等比数列性质可判断最值.
【详解】设的公比为．由，，得，则．
由，得，所以是递增数列．
当时，；
当时，；
当时，．
故的最小值为14．
故选：C.
3．（25-26高三上·贵州·月考）已知公比不为1的等比数列的前项和为，为的前项积，若数列是首项为2的等差数列，则的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得，化简整理求得，进而求出通项，
进而求出，结合指数函数的单调性得解.
【详解】设等比数列的公比为，且，由题知，又，得，
所以，，，，
数列是首项为2的等差数列，可得，得，
解得，所以，则，
又，因为，所以当时，取到最小值，
所以.
故选：B.
4．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ）
A．2025B．2026C．4050D．4051
【答案】C
【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得.
【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1.
若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以；
若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾；
所以，，等比数列是单调递减数列，且，.
所以当时，，当时，.
由等比数列性质，，
所以，.
当时，，单调递增且；
当时，，,单调递减且；
当时，，即，所以时，单调递减,
又.
所以，即时，单调递减且小于1.
所以最大的自然数为.
故选：C.
5．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入，求出和，再证明数列是等比数列，进而求出其通项公式，从而得到的表达式，再通过求二次函数的最值，即可得到的最大值.
【详解】因为，①，所以可得.
令，可得，解得（舍去负值），所以.
在①中，用代换，可得②.
②除以①可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
所以，
令，
可知当或11时，取得最大值55，
又由，可得的最大值．
故选：D
（建议用时：30分钟）
1．（2025·广东·模拟预测）设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（ ）
A．4.5B．3C．3.5D．4
【答案】A
【分析】利用等差中项的性质得到，结合题意得到，利用等比中项的性质求出，结合和求解即可.
【详解】由题意可得成等差数列，成等比数列，
得到，，故，
若，则，解得，
可得，即，故A正确.
故选：A．
2．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知等差数列前n项和为，若，则（ ）
A．9B．5C．1D．10
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和公式与等差中项的性质计算即可.
【详解】因为等差数列前n项和为，，
所以.
故选：A.
3．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】依题意得.
故选：A
4．（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．常数列是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若是等差数列，则数列为等差数列
D．若是等差数列，，则
【答案】ACD
【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项.
【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确；
B.，，，，所以不是等差数列，故B错误；
C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确；
D. 若是等差数列，，则，故D正确.
故选：ACD
5．（多选）（25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则的值为0
D．已知，公差，则的最大值为32
【答案】BC
【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项.
【详解】数列、为等差数列，则是等差数列.
选项A： ，，因2、5、8成等差数列，
故是与的等差中项，得，A错误.
选项B： 等差数列前项和满足，
故，，则.
代入，得，B正确.
选项C： 设数列的公差为，由，
得，解得，
所以，C正确.
选项D： 由，，得.
令，解得，故的最大值为，D错误.
故选：BC
6．（多选）（25-26高三上·重庆·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，且，则
B．若数列的前项和为，且，则是等差数列.
C．若数列为等比数列，为前项和，，，则
D．若数列为等比数列，且，则
【答案】AC
【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D.
【详解】对于A，由，正确；
对于B，数列的前项和，当时，，
当时，，
当时，，错误；
对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列，
因为，，所以，所以，
所以，正确；
对于D，由，，则，所以，
若时，由，可得，
所以，与已知条件矛盾，所以，错误.
故选：AC
7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）在等比数列中，若，则（ ）
A．6B．9C．15D．81
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式和题设条件，求得数列的公比，代入即可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
.
故选：B.
即 ，解得：，
所以当时，最大.
故选：C.
8．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解.
【详解】若有数列为递增数列，则，
当时，如：，满足，
但数列不是递增数列，
所以是数列为递增数列的必要不充分条件，
故选：B.
9．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以，当时，最大，
10．（多选）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．数列中的最大项为
D．
【答案】AC
【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可.
【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，
因为，
所以，即或，
当时，由于，故，即；
当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾，
所以，，，故A选项正确；
对于B，由得，即得，故B选项错误；
对于C，由于，，，
所以，，
所以数列中的最大项为，故C选项正确；
对于D，，故D选项错误.
故选：AC
近三年：
小题考“活”：在选择题和填空题中，直接套用公式的“送分题”已非常少见，转而倾向于考查性质的灵活组合与快速识别。例如，利用等差数列下标和性质、等比数列片段和的性质简化计算。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。
情境考“用”：命题注重将数列模型嵌入现实生活（如分期付款、人口增长）或科学文化背景（如《九章算术》中的古典数学问题）中，以考查学生的数学建模能力。这要求学生能剥离情境外衣，精准抽象出等差数列或等比数列模型。
预测2026年：
基于以上分析，函数与方程思想在2026年高考的数列板块预计将继续占据主导地位，而“结构的识别与构造”能力将是在“去套路化”命题下拉开差距的关键。等差等比数列的核心价值在于它们是离散的数学函数模型，直接锻炼了从复杂条件中抽象数学关系并代数化求解的能力。
解｜题｜策｜略
在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质：
当m+n=p+q时，am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N∗)．
特别地，若m+n=2t，则am+an=2at(m，n，t∈N∗)．at是am,an的等差中项。
解｜题｜策｜略
等差数列前n项和
Sn=na1+nn−12d=a1+ann2(n∈N∗) 若知道a1+an的值或者知道其中项，则可以用此来求等差数列的和。
解｜题｜策｜略
Sn为等差数列前n项和，则Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,……是等差数列，公差为n2d
解｜题｜策｜略
{an}数列的前n项和为Sn ,则an为等差数列⇔{Snn}是等差数列
解｜题｜策｜略
若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和为Sn与Tn，则anbn=S2n−1T2n−1．
解｜题｜策｜略
若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶=anan+1．
若项数为奇数2n−1，则S2n－1=(2n−1)an；S奇－S偶=an；S奇S偶=nn−1．
弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。
解｜题｜策｜略
根据等差数列的通项an=a1+n−1d有an是关于n的一次函数，an的单调性与d的正负有关。
解｜题｜策｜略
根据等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论Sn的单调性、最值。由通项公式an=a1+n−1d，求和公式Sn=d2n2+(a1−d2)n，可得以下性质
公差d>0⇔{an}为递增等差数列，Sn有最小值；
公差d0,c≠1)为等差数列．
若{an}，{bn}是等比数列，则{an⋅bn}，{anbn}仍是等比数列．
解｜题｜策｜略
公比不为－1的等比数列{an}的前项和为Sn，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n仍成等比数列，其公比为qn．
解｜题｜策｜略
等比数列中同等项数的奇数项与偶数项的和S偶=S奇q
解｜题｜策｜略
1、当&a1>0&q>1或&a1