2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点10数列构造与递推分析法(培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点10数列构造与递推分析法(培优专项训练)(学生版+解析)，共12页。试卷主要包含了项.等内容，欢迎下载使用。

考向01 递推基础1：累加法
1．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知各项均不为零的数列满足，对于任意的正整数，，则的个位数字为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A．6B．7C．8D．9
4．（25-26·山东·月考）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考向02 递推基础2：累积法
5．（25-26·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．（-1,1）C．D．
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（ ）
A．2026B．2025C．0D．1013
7．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，是数列的前项积，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
考向03 递推基础3：再写一个作差
9．（24-25全国模拟预测）已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
10．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0B．40C．80D．120
11．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
考向04 递推基础4：消an留sn
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024B．2025C．D．
15．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A．B．C．49D．149
考向05 递推构造1：构造二阶等比型
1．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
2．（24-25全国模拟预测）数列的首项，，令，则 ．
3．（24-25高三上·重庆·月考）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 .
4．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ．
考向06 递推构造2：构造二阶线性型
5．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
6．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
8．（23-24全国模拟预测）已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 .
考向07 递推构造3：构造二阶幂指型
9．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，且，则数列的通项公式为 ．
10．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
11．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
12．（25-26高三全国专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
考向08 递推构造4：构造分式型
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，若，则数列的通项公式 ；若，则数列的通项公式 ．
14．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ．
15．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ．
考向09 递推进阶构造1：特征方程三阶型
1．（2021·四川绵阳·三模）已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0B．8C．10D．19
4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
考向10 递推进阶构造2：特征方程分式型
5．（多选）（2025·山东潍坊·一模）设函数，数列满足，，则（ ）
A．B．为定值
C．数列为等比数列D．
6．（专题12用“不动点法”求数列的通项公式）已知数列满足，，则 .
7．（24-25高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
8．（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
考向11 递推进阶构造3：三阶递推周期型
9．（24-25高三上·浙江·月考）数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
10．（24-25高二下·四川成都·期中）数列满足：，若，，则（ ）
A．1B．－1C．5D．－5
11．（24-25高三全国专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2
C．D．
12．（2025·全国·模拟预测）若数列满足，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
考向12 递推进阶构造4：三阶构造等差型
13．（25-26高三全国专题练习）设数列满足，且.若表示不超过的最大整数，则
A．B．C．D．
14．（25-26高二上·福建厦门·期末）设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（）
A．B．C．D．
15．（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，，（且），则数列的最大项是（ ）
A．B．C．D．
16．（25-26高三上·云南德宏·期末）已知函数的定义域为，，且，则 .
考向13 分析构造法1：线性“和”型
1．（24-25高三上·河南南阳·月考）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高二下·江西上饶·期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
4．（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A．510B．508C．1013D．1011
考向14 分析构造法2：正负“调和”构造
5．（25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ）
A．1325B．1300C．1350D．1375
6．（25-26高三上·河南周口·期中）已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．若，则
7．（22-23高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240B．1830C．2520D．2760
8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则 ．
考向15 分析构造法3：分段“跳项”
9．（23-24全国模拟预测）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ）
A．69B．88C．89D．96
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A．15B．30C．60D．120
11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3B．C．D．－2
3．（25-26河北模拟预测）记数列的前项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26全国专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26全国模拟预测）已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26贵州模拟预测）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．（-1,1）C．D．
8．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（25-26福建模拟预测）记为数列的前项和，且，，则（ ）
A．B．为等比数列
C．数列单调递减D．
10．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
11．（湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为常数列
B．数列为等比数列
C．记数列的前项和为，则
D．记数列的前项和为，则的最小值为
三、填空题
12．（25-26全国 模拟预测）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为 .
13．（25-26高三上·山东东营·期末）记数列的前项和为，已知，（），则 .
14．（25-26广东模拟预测）设数列的前n项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于 ．
结束
内容导航
速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：高考数学对数列通项公式与递推公式的考查，以等差数列与等比数列定义概念为基础 保持稳定且灵活应用的特点，，既是基础考点也是拉分考点，常与数列求和、不等式恒成立、函数单调性等结合考查综合能力。 重基础、强变形、考综合、避偏难。 对于大部分同学要求基础考点不丢分，而通过核心变形拉开差距。如累加法、累乘法、an​与Sn​的关系为必拿分考点，而构造法为拉分考点，要求学生具有“观察递推式特征→选择合适变形方法” 的逻辑思维，而非死记公式。
预测2026年：结合近 3 年考查规律, 2026 年高考, 选择题 、填空题多为单一考点的直接应用型考察，如考察累加法、累乘法等求通项，稍微难点的会考察构造简单等比 、等差数列，或周期数列的通项与项的求解，难度中等，主要考查公式记忆与基础变形能力。基础解答题，核心考点不变，累加法、累乘法、an​与Sn​的关系、构造等比、等差数列仍为必考，占比较高。 如果位于压轴题位置，则高考对数列通项与递推公式的考查重基础、强变形、考综合，只要掌握核心变形方法并注重细节，就能轻松突破这一考点。
。
累加法：
型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项；
利用累加法求通项：
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
累乘法：
形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
数列前n项和：
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
求通项时，要注意检验n=1时是否成立
利用，可以把式子中的an转化为sn形式，然后研究关于sn形式的递推公式
构造法：根据已知构造等差等比数列求通项.
形容 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p，
，变形为，也可以变形为.
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列。
2.形如，变形为，新数列累加法即可
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除
.形如，变形为，新数列累加法即可
形如，可以取倒数变形为
三阶数列特征方程型：
形如，可以通过凑配系数构等比数列。
也可以通过特征方程求解
特征方程构造型：
形如的递推数列，方程的根，可以分两种情况：
（1）、若其中有一个不动点x0，则是等差数列
（2）、若其中有两个不动点m，n，则是等比数列
周期数列
1.若数列{an}满足
2.若数列{an}满足
3.若数列{an}满足
4.若数列{an}满足
5.若数列{an}满足
6.
形如求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多为等差等比）求通项公式
1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：，
则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
满足，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
分段型递推公式，主要是讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。