2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题06平面向量及其奔驰定理与向量四心问题(培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)专题06平面向量及其奔驰定理与向量四心问题(培优讲义)(学生版+解析)，共23页。学案主要包含了名师点睛，题型01，题型02，题型03，题型04，题型05，题型06，题型07等内容，欢迎下载使用。

◇方法技巧 01 平面向量及其应用常用方法
平面向量高考核心解题方法与技巧，聚焦数量积、三点共线、等和线、极化恒等式四大高频考点，精准适配小题秒杀与大题突破，核心如下。
1. 数量积：优先用定义（）求夹角、投影；坐标运算适用于已知坐标的场景，简化运算；垂直问题直接用快速判定。
2. 三点共线：向量式满足（），可快速判断共线，也可转化为斜率相等辅助验证。
3. 等和线：针对，作与AB平行的直线，直线到O点距离决定最值，快速求解系数范围。
4. 极化恒等式：核心公式，将数量积转化为模长，秒杀三角形、四边形中数量积最值问题。
技巧关键：数形结合，优先用几何意义简化运算，规避复杂代数推导，兼顾速度与准确率。
◇题型 01 平面向量的线性表示
典｜例｜精｜析
典例1．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
典例2．中，点在上，平分．若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝(－)＝b－a，
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，，．若点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：，
故选A．
变式2．在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
◇题型 02 平面向量的坐标应用
典｜例｜精｜析
典例1．已知平面向量，，若，则（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值.
【详解】，，则，
由得，解得.
故选：D.
典例2．已知向量，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求向量的模长及模长的平方，再根据向量垂直的条件得到数量积为零，展开数量积表达式，代入已知模长计算，最后解方程求出向量的数量积.
【详解】因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
即，
则，解得：，
又因为，
且，，，则
.
故选：B.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知向量，若，则实数的值为（ ）
A．B．2
C．1或D．2或
【答案】D
【分析】根据题意得，再根据向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，整理得，解得或
所以实数的值为2或
故选：D
变式2．已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解.
【详解】由，得，即，
将，代入上式可得：，即，
根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为，
则.
故选：B.
变式3．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．
C．1D．5
【答案】C
【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】因为，，，所以，
因为，所以，解得.
故选：C.
◇题型 03 平面向量的数量积
典｜例｜精｜析
典例1．菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得.
【详解】如图，连接，则，；
所以，
，
，
；
因为为的中点，为的中点，所以；
所以.
故选：D.
典例2．如图，为等边三角形的中线上任一点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解
【详解】方法一：
因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.
所以.
因为是边上的中点，所以有.
因此.
故选：D
方法二：
以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，.
则，，，.
所以.
又因为，，所以有
两式作差得.故.
故选：D
变｜式｜巩｜固
变式1．已知平面向量，，，满足，，，则（ ）
A．B．或
C．5D．5或
【答案】B
【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可.
【详解】由可得，则，
因为，故有，即，
又因为，两边同时平方得，
将与代入上式，
得，整理得，
解得或，
故选：B.
变式2．平行四边形中，，，，点M为边的中点，则（ ）
A．B．
C．-4D．4
【答案】D
【分析】由基底表示表示，再结合题设和数量积的运算律即可计算求解.
【详解】由题得，
所以.
故选：D
变式3．如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ）
A．为定值16
B．为定值32
C．最大值为32
D．与的位置有关
【答案】B
【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可.
【详解】如图，取的中点为，连接，
因为为等腰三角形，所以，又，
所以.
所以.
所以为定值32.
故选：.
◇题型 04 三点共线定理
典｜例｜精｜析
典例1．在中，，点E在上，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解.
【详解】因为，所以，
则
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：C
典例2．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（ ）
A．4B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】由是边上靠近的三等分点，
可得：，
又因为，所以，
又因为三点共线，所以
又因为，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为，
故选：C
变｜式｜巩｜固
变式1．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】A
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.
【详解】由，得，且，
而三点共线，则，即，
所以，
所以.
故选：A.
变式2．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值.
【详解】，即，，
，，，，
，三点共线，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：B.
◇题型 05 等和线
典｜例｜精｜析
典例1．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（ ）
A．3B．
C．D．2
【答案】A
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
典例2．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为．
【详解】如图，设，，
则：；
又；
；
；
的最大值为．
故选B．
【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理．
变｜式｜巩｜固
变式1．在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点在，，三种情况，求出的取值范围.
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当点在上时，设，
则，即，故，
当点在上时，设，
则，即，解得，
故，
当点在上时，设，
则，即，故
综上，的取值范围是.
故选：B
变式2．（多选）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值.
【详解】
如图示，建立平面直角坐标系.
设，可得：.
由可得：，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为，
结合选项可知，A，B，C中的数值符合，
故选：ABC
变式3．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则以及图象，即可求解.
【详解】由，设，且，
故，
由图可知，因，所以，故AC错；
当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错.
故选：B.
◇题型 06 极化恒等式
典｜例｜精｜析
典例1．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是_________________________.
【答案】
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
典例2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
变｜式｜巩｜固
变式1．已知是等腰直角三角形，，，是平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．4
C．6D．
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，数形结合，利用平面向量数量积运算即可求出最小值.
【详解】如图建立坐标系，则，设
,
最小值为-4，
故选：A.
变式2．如下图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以点为原点，以，所在的直线为和轴，建立平面直角坐标系，设，得到，即可求解.
【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，过点作轴，过点作轴，
因为且，则，
所以，
设，则，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：B.
◇题型 07 建系法坐标求解最值
典｜例｜精｜析
典例1．已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
典例2．在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】A
【分析】以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为以为圆心，半径为圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可.
【详解】
以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
所以，设，
所以，
因为，
所以，即，即，
所以为以为圆心，半径为圆上一点，
对于A，，所以，几何意义为到原点的距离，
所以的最大值为到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确；
对于B，，，几何意义为到的距离，
所以的最大值为到的距离的最大值，
最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误；
对于C，，令，即，
即，当与圆相切时有最值，即，
解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误；
对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点，
所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误，
故选：A.
变｜式｜巩｜固
变式1．已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解.
【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，
，，
则.
故选：C
变式2．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1B．2
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
考点：平面向量数量积的运算．
变式3．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解.
【详解】设共起点，由，可得，
所以与垂直，如图，
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为．
故选：A．
◇题型 08 三角形四心
典｜例｜精｜析
典例1．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ）
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
【答案】C
【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.
典例2．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量的外心性质，结合数量积的运算可判断A；结合单位向量的定义以及数量积等于0的意义可判断B；根据三角形重心的性质，结合向量的线性运算可判断C；根据三角形的垂心性质结合数量积的运算律，可判断D.
【详解】对于A，因为O为的外心，故，
所以，
同理，A正确；
对于B，向量分别为边上的单位向量，
它们的差为，当时，可得,
即O在的平分线上，同理可得O在的平分线上，
故O为的内心，与已知矛盾，故B错误；
对于C，设的中点为，因为为重心，
故，同理,
,
故，C正确；
对于D，由于垂心为，则，
同理可得，故，D正确，
故选：B
变｜式｜巩｜固
变式1．在中，有以下命题：
①；②；
③若，则为等腰三角形；
④若，则为锐角三角形.
上述命题正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②③④
【答案】C
【分析】对①，利用向量减法法则运算；对②，利用加法法则运算；对③，利用向量数量积运算得；对④，只能说明为锐角，但另外两个角不一定为锐角.
【详解】对①，，故①错误；
对②，，故②正确；
对③，，所以为等腰三角形，故③正确；
对④，，所以为锐角，但不一定为锐角，故④错误；
故选：C.
【点睛】本题考查向量加法法则、减法法则的运用、向量数量积与向量模、向量夹角等知识，考查对概念的理解和基本运算求解能力.
变式2．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（ ）
A．点是的垂心B．点是的重心
C．点是的外心D．点是的内心
【答案】B
【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.
【详解】记的中点为D，则，
所以，点P在直线上.
A选项：若点是的垂心，则，
所以，所以为等腰三角形，A正确；
B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误；
C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上，
所以，所以为等腰三角形，C正确；
D选项：若点是的内心，则为的角平分线，
所以，
又，即,
故，D正确.
故选：B
变式3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.
【详解】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
变式4．已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（ ）
①若，则为内心
②若，则为等腰三角形
③若，则为的外心
④若，则点的轨迹一定经过的重心
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④.
【详解】对于①：由得为重心，故①错误；
对于②：由得，
又，所以，所以为等腰三角形，故②正确；
对于③：由得，同理得，
所以为的垂心，故③错误；
对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令，
则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确.
故选：B.
◇题型 09 奔驰定理
典｜例｜精｜析
典例1．已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ）
A．5倍B．4倍
C．3倍D．2倍
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．
【详解】设的中点为，因为，
所以，所以，
所以点是线段的五等分点，
所以,
所以的面积是的面积的5倍．
故选：A.
典例2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断.
【详解】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，
则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，
则，
设的外接圆半径为，故，
，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
变｜式｜巩｜固
变式1．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且，则以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则为的重心
C．若为的内心，则
D．若为的外心，则
【答案】BCD
【分析】对于A项，将题设和选项等式中的某个向量分别用其他两个向量表示，得出对应系数相等即得；对于B项，通过取边的中点，将向量等式化简即得；对于C项，利用三角形的内切圆半径将三个小三角形面积表示出来，代入奔驰定理化简即得；对于D项，利用两个已知内角和三角形的外心，求出三个小三角形的对应内角，表示出它们的面积，计算即得.
【详解】对于A项，由可得：，
而由可得：，
因两两互不共线，则必有，
则易得：，故A项错误；
对于B项，由可得①，
如图，不妨取的中点，连接，则有，
代入①式，化简得，
即三点共线，且点是的靠近点的三等分点，
同理可知点也是另两边上的中线的对应三等分点，
故点是的重心，故B项正确；
对于C项，不妨设的内切圆半径为，
则，代入，
可得，
整理得：，故C项正确；
对于D项，不妨设的外接圆半径为，
因为的外心，
则，，，
则.
故，故D项正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题主要考查与“奔驰定理”有关的三角形的内心，外心，重心的性质或判定，属于难题.
解决此类问题的方法主要有：
（1）与重心有关时，一般从边的中点入手，设法判断三角形顶点，对边中点和重心三点共线即得；
（2）与内心有关时，一般从三角形被内心分成的三个等高三角形的面积入手；
（3）与外心有关时，一般从三角形被外心分成的三个相等邻边的三角形面积入手，或者利用正弦定理中的外接圆半径入手.
变式2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
【答案】ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；
对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；
对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
一、单项选择题
1．在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意有，所以，
故选：A.
2．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】D
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
3．菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得.
【详解】如图，连接，则，；
所以，
，
，
；
因为为的中点，为的中点，所以；
所以.
故选：D.
4．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.假设在坐标系中的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可得.
【详解】向量，
则．
故选：．
【点睛】本题主要考查了向量模的运算和向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
5．如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
6．如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系
则，设，则，
所以，
因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立
则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.
故选：A.
7．设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1
C．D．
【答案】C
【分析】设，求出，再利用不等式即可求解.
【详解】设，
因为单位向量，，
则，
则，等号成立时方向相反，
故的最小值为.
故选：C
8．已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，进而得，计算可得，逐项计算判断即可.
【详解】由，可得，化简得，
可得，又时恒成立，
所以，
所以，所以，
所以，所以，故A错误；
，故B错误；
所以，所以，所以，故C正确；
.，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题
9．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若G是的重心，则
C．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为
D．已知，，则的最大值为10
【答案】BCD
【分析】根据向量的夹角判断一个三角形内角为锐角判断A，根据重心的性质及中线的向量表示判断B，根据向量在向量上的投影向量的计算判断C，根据数量积的定义及运算性质判断D.
【详解】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误；
对B，由G是的重心，可知，故B正确；
对C，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为
，故C正确；
对D，因为，当，即同向时等号成立，故D正确.
故选：BCD
10．在中，，，，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【答案】ACD
【分析】作出的重心，结合重心向量的表示及垂直关系的向量表示求出，再结合余弦定理及三角形面积公式求解判断各选项.
【详解】对于A，设AC，BC的中点分别为E，F，的重心为G，
由，，得，
，由，得，
则，，A正确；
对于B，由，，得，，
在中，由余弦定理得，解得，
则，因此，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，设AB的中点为M，则，
而，则，D正确.
故选：ACD
11．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值是
【答案】ABD
【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
因此，B正确；
对于C，由选项A知，，而，，
则，而共线，因此，即，C错误；
对于D，由选项C知，，
，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．已知向量，满足，，且，则__________________.
【答案】
【分析】先根据题意求，再求.
【详解】由，，得，.
由，
所以，
所以.
故答案为：
13．如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示；若，则的最小值为_________________.
【答案】
【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用和表示，若且，，由已知得，，应用向量数量积的定义求值.
【详解】由，，则，，
由，
若且，，则，
所以，，
所以
，而，，
所以的最小值为.
故答案为：；
14．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为_________________．
【答案】3
【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得.
【详解】如图1，过点作，交的延长线于点，
由，则，
由共线得，可得．
当最大时，取到最大值，此时，
如图2．作，又，则，即，
由，即，则四边形为平行四边形，故，
易知，可得，，
而，，得，
所以，
因此的最大值为3．
故答案为：3
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】平面向量的线性表示
【题型02】平面向量的坐标应用
【题型03】平面向量的数量积
【题型04】三点共线定理
【题型05】等和线
【题型06】计划恒等式
【题型07】建系法坐标求解最值
【题型08】三角形四心
【题型09】奔驰定理
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
平面向量是高考数学中档题核心模块，考向聚焦基础运算、几何意义及实际应用，侧重数形结合与转化思想，覆盖选择、填空、解答题，分值8-12分。核心考向包括三点：一是基础运算，考查向量的加减、数乘、数量积的定义与坐标运算，以及模长、夹角、垂直的判定，是高频基础考点。二是核心技巧，极化恒等式、等和线、向量共线与共面定理，多用于快速求解数量积最值、系数范围等小题，简化运算流程。三是实际应用，结合三角函数、解三角形、立体几何、解析几何，考查向量的工具性，如用向量表示位置关系、求解夹角与长度，解答题中常作为辅助工具突破难点。命题趋势注重基础
关键能力
一是运算求解能力，熟练掌握向量加减、数乘、数量积的定义与坐标运算，快速求解模长、夹角，判断垂直关系，这是解题基础。二是转化化归能力，灵活运用极化恒等式、等和线等技巧，将复杂向量问题转化为几何图形或简单代数运算，简化解题流程。三是综合应用能力，能将向量与解三角形、解析几何等模块衔接，发挥其工具性作用。解题需紧扣公式、立足几何意义，规避运算失误，灵活运用数学思想，才能高效突破该模块，稳定得分。
备考策略
平面向量及其应用高考备考，需立足基础、聚焦重难点，兼顾效率与实效，核心策略如下。首先，夯实基础，熟练掌握向量运算公式、几何意义及垂直、共线判定方法，杜绝基础运算失误。其次，突破核心技巧，针对性练习极化恒等式、等和线的应用，总结小题秒杀模板，提升解题速度。再者，强化综合应用，结合解三角形、解析几何等模块，练习综合题型，掌握向量工具性用法。最后，整理易错点与典型例题，定期复盘，规避夹角求解、坐标运算等常见误区，合理分配备考时间，做到基础不丢分、难点有突破，高效备战高考。
平面向量线性表示核心易错点的，多集中在概念混淆与运算失误，精准规避可减少失分。易错点主要有：忽略基底的“不共线”条件，误用共线向量作为基底表示其他向量；混淆线性表示系数的几何意义，误判中的取值范围；运算时漏看向量方向，导致系数符号错误；三点共线时，忘记线性表示系数满足的隐含条件。备考需牢记基底性质，紧扣公式，兼顾向量方向与隐含条件，避免基础失误。
平面向量坐标表示及应用是高考基础易错模块，核心易错点集中在坐标运算、概念辨析和应用衔接上。易错点主要有：混淆向量坐标与点的坐标，误将向量终点坐标当作向量坐标；坐标运算时，数乘、数量积公式混用，忽略数量积运算结果为实数而非向量；求解向量平行、垂直时，记错坐标满足的条件，漏判特殊情况；用坐标求夹角时，忽略夹角范围（0≤θ≤π），导致符号错误。备考需牢记坐标运算公式，区分向量与点的坐标差异，标注易错公式，结合简单例题强化记忆，规避基础失误。
平面向量在几何图形中的数量积，是高考高频易错点，核心失误集中在几何意义误用与运算细节。主要易错点：忽略向量夹角定义，误将几何图形中线段夹角当作向量夹角，忽略向量方向导致夹角判断错误；误用极化恒等式，未确认图形中中线、边长关系，盲目套用公式；忽略图形特殊性质（如矩形、菱形的垂直关系），未利用几何特征简化运算，增加解题难度；求最值时，未结合图形范围，误判向量模长或夹角的取值边界。备考需紧扣定义，结合图形分析向量方向与关系，牢记公式适用条件，规避基础失误。
平面向量中三点共线是高考基础易错点，核心失误集中在概念理解和公式应用细节，需重点规避。主要易错点：混淆向量共线与三点共线的关系，误将两向量共线直接判定三点共线，忽略向量有公共起点/终点的前提；记错三点共线的向量表示条件，误用，忽略的隐含条件，或符号判断错误；复杂图形中，未正确分解向量，导致无法利用共线条件求解；忽略特殊情况，如三点重合时的向量关系，引发失误。备考需牢记共线判定条件，紧扣向量方向与隐含条件，结合图形精准分析，避免基础失分。
平面向量等和线是高考小题高频技巧，核心易错点集中在概念理解与公式应用细节，极易失分。主要易错点：混淆等和线适用前提，未确认中，O点与A、B、P三点的位置关系，盲目套用结论；误判等和线与基底所在直线的平行关系，导致最值求解错误；忽略系数x、y的符号限制，未结合图形判断P点所在区域，得出错误范围；记错等和线斜率规律，混淆距离与系数和的正负关联。备考需牢记适用条件，结合图形精准分析线线关系，标注符号易错点，避免技巧用错导致失分。
平面向量极化恒等式是数量积最值的常用技巧，核心易错点集中在公式记忆与适用场景，是高考高频失分点。主要易错点：记错核心公式，混淆的符号与系数，导致运算失误；忽略适用前提，未确认向量有公共起点，盲目套用公式；几何图形中，误将非中线线段当作“极化中线”，误用图形边长与中线关系；求最值时，未结合图形范围，忽略模长的取值边界，得出错误结果。备考需牢记公式、明确适用条件，结合图形精准找中线与边长关系，规避基础失误。
建坐标系法是求解向量最值的常用方法，核心易错点集中在坐标系建立、坐标运算及最值判断，是高考基础失分点。主要易错点：坐标系建立不合理，未利用图形对称、垂直关系简化坐标，导致运算繁琐且易出错；误写点的坐标，忽略图形边长、角度关系，引发后续全流程失误；向量坐标运算失误，数乘、数量积公式混用，或漏看向量方向导致符号错误；求最值时，未结合图形范围确定变量取值边界，误将代数最值当作向量实际最值。备考需优先合理建系，核对坐标准确性，牢记运算公式，结合图形验证结果，规避基础失误。
平面向量表示三角形四心（重心、垂心、外心、内心）是高考难点易错点，核心失误集中在公式记忆与适用条件混淆。主要易错点：混淆四心的向量表达式，记错重心、外心等核心结论；忽略表达式适用前提，未确认O为四心时的隐含条件，盲目套用公式；向量系数符号判断错误，尤其垂心、内心的向量关系中，误判系数正负；未结合三角形形状（锐角、直角、钝角），忽略特殊三角形四心的位置差异，导致结论错误。备考需牢记四心向量公式，区分适用场景，结合图形验证，规避记忆与应用失误。
平面向量奔驰定理是三角形面积与向量结合的高频考点，核心易错点集中在公式记忆、适用条件及符号判断，极易失分。主要易错点：记错定理核心公式，混淆三角形面积比与向量系数的对应关系，颠倒系数顺序；忽略适用前提，未确认点P在三角形内部（或外部），盲目套用公式，导致符号错误；误将定理应用于非三角形图形，或点P与三角形顶点重合的特殊情况，引发失误；计算面积比时，未结合图形边长、角度关系，得出错误系数。备考需牢记定理公式及符号规律，明确适用场景，结合图形精准判断点的位置，规避记忆与应用失误。