2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03函数的图像与方程(高效培优专项训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练03函数的图像与方程(高效培优专项训练)(全国通用)(学生版+解析)，共37页。试卷主要包含了函数的大致图象是，函数的图象大致为，函数 的图象大致是，函数的图象的大致形状是等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc210932385" 考点01 函数图像的识别 PAGEREF _Tc210932385 \h 1
\l "_Tc210932386" 考点02 作函数图像 PAGEREF _Tc210932386 \h 4
\l "_Tc210932387" 考点03 函数图像与性质 PAGEREF _Tc210932387 \h 7
\l "_Tc210932388" 考点04 函数的零点 PAGEREF _Tc210932388 \h 9
\l "_Tc210932389" 考点05 函数零点的应用 PAGEREF _Tc210932389 \h 11
\l "_Tc210932390" 考点06 函数与方程的综合应用 PAGEREF _Tc210932390 \h 13
考点01 函数图像的识别
1．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A、B都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ）

A．3B．2C．1D．0
9．（多选）若，则函数的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）已知且，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
考点02 作函数图像
1．已知函数.
(1)求的单调区间.
(2)已知函数.
①如果的值域为，求的取值范围；
②当时，讨论的奇偶性､单调区间；并画出的大致图像.
2．已知符号表示不超过实数x的最大整数，例如，．定义函数，．
(1)写出函数的解析式，并作出函数的图象；
(2)方程恰有一个实数根，求实数k的取值范围．
3．已知函数

(1)求，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求的解集．
4．已知函数.
(1)证明：函数在区间上单调递减；
(2)在如图的坐标系中画出函数的大致图象，并求方程的所有实数根之和；
(3)求不等式的解集的区间长度之和.
附：①区间的长度为；②若关于x的方程有n个实数根为，，…，，则.
5．已知函数.
(1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；
(2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；
(3)设，记的最小值为，求的最小值.
考点03 函数图像与性质
1．若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14B．13C．12D．11
2．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16B．24C．32D．48
3．已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数则方程的解的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（多选）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
6．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
7．已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为 ．
考点04 函数的零点
1．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．9B．10C．11D．18
4．（多选）设函数，则 （ ）
A．为偶函数B．有且仅有1个零点
C．有且仅有3个极值点D．在区间内单调递增
5．（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）已知偶函数满足：当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．D．函数在区间上有零点
8．（多选）设函数，，以下说法正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．若，图象的对称轴为直线
C．若，有且仅有一个零点
D．若，则与的图象有且仅有两个交点
9．已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
10．已知函数.
(1)判断函数与的单调性（不需要写理由）；
(2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且；
(3)证明：当时，.
考点05 函数零点的应用
1．已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
3．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）已知函数，函数的一个零点为a，的一个零点为b，则以下说法正确的是（ ）
A．与的图象关于直线对称
B．的图象通过平移变换可以得到一个奇函数的图象
C．
D．
5．函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 .
6．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
7．设函数，若函数有三个零点，则 ．
8．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为 .
9．已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 .
10．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)当时，若函数在上的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)设函数，当时，的零点，求的值．
11．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若，求的值；
(3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
考点06 函数与方程的综合应用
1．已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）已知，则中元素个数的可能值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（多选）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（ ）
A．方程有两个不同的实根
B．
C．是方程的一个根
D．
6．（多选）记函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象过定点
B．存在 ，使得恰有 1 个零点
C．若 有 3 个零点，存在 ，使得成等比数列
D．若有 3 个零点，则为定值
7．已知函数，则方程的根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 （提示：函数在上单调递增）.
8．已知，设.
(1)求证：如果存在一个实数，满足，则对一切有成立；
(2)若实数满足，则称为不动点，试求出所有的不动点；
(3)是否存在区间，使得对任意，当时，都有？证明你的结论.
9．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有三个不同的解，且满足，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
10．设.已知.
(1)若，求函数的值域；
(2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围；
(3)若且函数有最小值，求的取值范围.
1.识别函数图象的常见方法:
(1)利用函数的值域和定义域判断;
(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;
(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点或者极限思想等判断
2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等
为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线的方法之外，还要做到以下两点
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如 y=的函数图象;
(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
1.函数 y-f(x)的图象关于直线x=a对称f(a十x)=f(a-x)或 f(2a+x)=f(-x).
函数 y=f(z)的图象关于点(a,b)对称f(2a-x)十f(x)=2b 或f(a-x)+f(a十x)=2b
3.函数 y=f(a+x)的图象与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x=一对称
4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论；
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数 y=f(x+a)的图象关于点(一a,0)对称(或关于直线 x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线 x=a 对称)
1. 判断函数零点所在区间的方法:
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
2.求解函数零点个数的基本方法有:
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
1.已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
2.函数零点的应用主要体现在三类问题:
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。
3.求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
1.函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
= 1 \* GB3 ①若（此时），则就是函数的零点；
= 2 \* GB3 ②若（此时），则令；
= 3 \* GB3 ③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
考点培优练03 函数的图像与方程
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc210932470" 考点01 函数图像的识别 PAGEREF _Tc210932470 \h 1
\l "_Tc210932471" 考点02 作函数图像 PAGEREF _Tc210932471 \h 10
\l "_Tc210932472" 考点03 函数图像与性质 PAGEREF _Tc210932472 \h 21
\l "_Tc210932473" 考点04 函数的零点 PAGEREF _Tc210932473 \h 27
\l "_Tc210932474" 考点05 函数零点的应用 PAGEREF _Tc210932474 \h 37
\l "_Tc210932475" 考点06 函数与方程的综合应用 PAGEREF _Tc210932475 \h 46
考点01 函数图像的识别
1．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，求得为奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，当时，，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项；
当时，可得，所以，此时；
当时，可得，所以，此时，
所以选项B符合函数的图象的形状.
故选：B.
2．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D.
【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立；
对于C，函数，，函数，；可能成立；
对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立．
故选：C．
3．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可.
【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A，
因为，定义域为
所以，
故为偶函数，排除C，
时，，排除D．
故选：B
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可.
【详解】由，，
则，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误；
而，
则时，；时，，故A满足题意，C错误.
故选：A.
5．函数 的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且满足，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项，
又由当时，，可得在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以D选项符合题意.
故选：D
6．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出.
【详解】由，令，则，
所以和都是奇函数，得，
即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误；
而，再由当时，，，
得，，所以A错误，B正确.
故选：B.
7．如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点O，且顶点A、B都在的图象上，顶点C在的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】连接，作、轴于点D、E，
∵关于原点成中心对称，为等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴相似于，
∵平分，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵B点在函数的图象上，
∴，
∴，
同理C点在函数的图象上，
，
∵，
∴．
故选：C．
8．已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】根据的定义域即可判断，令即可判断，利用的零点即可判断，进而求解.
【详解】由题意有：函数的定义域为，由图可知，
令有：，令 ，由图可知，，
所以，所以有2个是正数，
故选：B.
9．（多选）若，则函数的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】分、为正的奇数、为正的偶数、为负的奇数、为负的偶数等五种情况讨论，分别研究其单调性即可.
【详解】①当时，，其图象为指数函数的一部分；
②当为正的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数在处取得极小值，此时是负数；
4个选项中没有与以上两种情况对应的图象.
③当为正的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，且，故B选项正确；
④当为负的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，
时，，则，故C选项正确；
⑤当为负的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，故D选项正确.
故选：BCD
10．（多选）已知且，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案.
【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增，
令，求导可得在上恒成立，
则在上单调递增，所以，
易知，使得，则，即，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
所以，由，则，
当，即时，，故A错误，B可能正确；
当，即时，令，求导可得，
则函数在上单调递减.
由，,则存在，使得，
所以当时，此时符号不定，故CD可能正确.
故选：BCD.
考点02 作函数图像
1．已知函数.
(1)求的单调区间.
(2)已知函数.
①如果的值域为，求的取值范围；
②当时，讨论的奇偶性､单调区间；并画出的大致图像.
【答案】(1)在上单调递减，无单调递增区间
(2)①；②见解析
【分析】（1）先求定义域，进而对数的运算性质进行化简，从而利用复合函数的单调性进行求解；
（2）①要使的值域为，取遍所有正实数，结合可得实数的取值范围；②利用奇偶性的定义可判断奇偶性，利用复合函数的单调性可求单调区间，结合单调性和奇偶性可画出图象.
【详解】（1）由，即，解得且，
则的定义域为.
，
因为是增函数，减函数，是减函数函数，
所以由复合函数 “同增异减” 的原则，与是减函数，
于是函数在上单调递减，无单调递增区间.
（2）①，
要使的值域为，取遍所有正实数.
又，
由，得，
​使取遍所有正实数，有，得，即.
②当时，，
其定义域为，或，
即.
的定义域关于原点对称，
又,
所以为奇函数.
因为在上单调递增，
在上单调递减，是减函数函数，
所以由复合函数 “同增异减” 的原则，
函数与，
在上单调递减；在上单调递增.
于是函数在上单调递减；在上单调递增.
大致图象如图所示：
2．已知符号表示不超过实数x的最大整数，例如，．定义函数，．
(1)写出函数的解析式，并作出函数的图象；
(2)方程恰有一个实数根，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，图象见解析，
(2)k的取值范围为
【分析】（1）结合的定义分别求，，，，时的解析式，由此可得结论，
（2）由条件可得函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，观察图象可得结论，
【详解】（1）设，
因为，，
所以，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以，
函数图象如下：
（2）因为方程恰有一个实数根，
所以方程恰有一个实数根，
所以函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，
作函数与函数的图象可得
观察图象可得，或，
k的取值范围为．
3．已知函数

(1)求，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求的解集．
【答案】(1)，
(2)或1或
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集.
【详解】（1）因为，
所以，．
（2）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或（舍去）．
综上所述，的值为或1或．
（3）作出函数的图象如图所示：

当时，恒成立；当时，恒成立；
当时，，即，得．
综上所述，的解集为．
4．已知函数.
(1)证明：函数在区间上单调递减；
(2)在如图的坐标系中画出函数的大致图象，并求方程的所有实数根之和；
(3)求不等式的解集的区间长度之和.
附：①区间的长度为；②若关于x的方程有n个实数根为，，…，，则.
【答案】(1)证明见解析；
(2)图像见解析；9；
(3)2025.
【分析】（1）由单调性定义可完成证明；
（2）分析的单调性及零点情况可画出大致图像，将分式方程通分，可得方程的根，即为的根，其中为将分式方程通分后的分子，结合附②可得答案；
（3）类比（1）（2）可得的解集为：，其中为方程的根，然后类似于（2）结合附①可得答案.
【详解】（1）取任意，，
则
，
因，，
则，
得，
则函数在区间上单调递减；
（2）由题，
其定义域为，
则在递减，
又注意到，，
，
则在上各有一个零点，据此可得大致图像如下：
，将该式通分，设分子部分为，
则，
则方程的根，即为的根.
设，则，由两部分构成，
第一部分为中的2次项系数，
为，第二部分为中的2次项系数，设为m.
令，可得方程对应3根为.
又易知该式展开式3次项系数为，3根之和为6，
则由附②可得，即.
则由附②可得的所有实数根的和为：，
即方程的所有实数根之和为.
（3）由（1）（2）类比可知，在上单调递减，
在上各有一个零点，及大致图像.
则的解集为：，
其中为方程的根，
则不等式的解集的区间长度之和为：.
，将该式通分，设分子部分为.
则
.
则方程的根，即为的根.
设，则，
由两部分构成，第一部分为中的8次项系数，
为，第二部分为中的8次项系数，设为n.
令，可得方程对应9根为
又易知该式展开式9次项系数为，9根之和为45，则由附②可得，即.
则由附②可得的所有实数根的和为：，
即方程的所有实数根之和为，则不等式的解集的区间长度之和为：
.
【点睛】关键点睛：对于陌生函数的图像，常常以单调性，零点作为突破口去研究；附②涉及内容与高次方程韦达定理有关，是韦达定理在n次方程中的推广.
5．已知函数.
(1)当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；
(2)，用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；
(3)设，记的最小值为，求的最小值.
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次函数的图象性质作出的图象，从而得解；
（2）利用（1）中的图象，结合函数新定义即可得解；
（3）先得到的解析式，再分类讨论与两种情况，结合二次函数的性质得到的最小值情况，再分类讨论的取值情况即可得解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
又，所以的图象大致如图，
（2）因为，，
结合（1）中图象，可知当时，，
当或时，，
所以，即.
（3）因为，
所以，
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
当时，，
则的图象开口向上，对称轴为，
若，则在处取得最小值，
若，则在处取得最小值；
综上，当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
当时，，此时在时取得最小值；
当时，，
又，所以，
此时在时取得最小值；
综上，的最小值为.
考点03 函数图像与性质
1．若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【答案】D
【分析】判断函数的周期，作出函数和的图象，数形结合，观察图象的交点个数，即可确定答案.
【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数，
结合当时，，可作出的图象；
又函数，在同一坐标系中可作出其图象：

由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点，
则此时有5个零点；
当时，的图象和的图象有6个交点，
则此时有6个零点；
故在区间内的零点个数为，
故选：D
2．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【分析】由题可得对称性，周期性，然后在同一坐标系中画出函数与图象，据此可得答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，则.
由于为偶函数，则.
从而.
所以是一个周期为4的周期函数．
令，得，
函数的图象关于点对称，的图象也关于点对称，
画出函数和的图象如图所示，
由图可知，两个函数图象在上有6个交点，且交点关于对称，
所以所有零点和为．
故选：B
3．已知函数 为偶函数，且 ，若方程 有六个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，则，再作出函数图象，数形结合即可得到范围.
【详解】当时，；当时，,
则当时，，
令，则，方程有6个不同实根，
即直线与函数的图象有6个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：A
4．已知函数则方程的解的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】作出函数的图象，设，首先得到与有三个交点，横坐标分别为，其中，，，然后将方程解的个数问题转化为方程，，解的个数之和即可得出答案.
【详解】函数的图象如图所示：
设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，
横坐标分别为，其中，，，
方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，
由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，
与没有交点，
所以方程解的个数为.
故选：B
5．（多选）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A选项，举出例子，画出的图象，得到其不关于直线对称；BD选项，为奇函数，得到，BD正确；C选项，二次求导，结合三次函数图象特征得到，则，又，故
【详解】A选项，令，则，满足为偶函数，
但的图象如下，不关于直线对称，A错误；
BD选项，为偶函数，故为奇函数，
即，即，
故，故点为曲线的对称中心，
故，则，故B，D正确；
C选项，由题意得，令，则，
由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知，
，则，又，故，故C正确.
故选：BCD.
6．已知函数若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图像，令得解得或，利用数形结合即可求解.
【详解】由题意作出函数的图像，
由，令，有，
即，化简得，
解得或，若方程有且仅有5个不同实数根，
所以或，解得或，
即，所以，
故答案为：.
7．已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性作出函数图象，结合函数图象进行求解即可.
【详解】由得，当时，，
故当时，，
当时，，
当时，，依次类推，
又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为
因为，，
所以，，
所以由，可得，
当时，由的，
所以对任意，都有，
得实数的取值范围为，则实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦函数的图象与性质及恒成立的应用，解答本题的关键是利用法则画出函数图象，正确理解函数法则是解决本题的关键.
考点04 函数的零点
1．定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得.
【详解】令且定义域为R，则，
所以为偶函数，在上，
所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增，
由，则，且，则，
由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，

其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增，
显然时，
在上单调递增，则时恒成立，
在上单调递减，且，
所以使，
综上，与的交点横坐标有，即有3个零点.
故选：D
2．已知函数的定义域为，且在上是单调函数，若，则的零点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由可得，由求零点.
【详解】因为在上单调，令，则且，
从而，解得（负根已舍去），所以，
由解得，所以的零点为1.
故选：B
3．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．9B．10C．11D．18
【答案】B
【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数.
【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示：
显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点，
由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点．
故选：B
4．（多选）设函数，则 （ ）
A．为偶函数B．有且仅有1个零点
C．有且仅有3个极值点D．在区间内单调递增
【答案】ACD
【分析】由奇偶性定义，函数零点定义，应用导数研究函数的极值点、复合函数单调性判断各个选项.
【详解】对于A，易知定义域为，且，所以为偶函数，A正确；
对于B，由，即，有，解得，因此有2个零点，B错误；
对于C，易知定义域为，令，则，根据绝对值性质对分段，
当时，，此时，求导，
令，解得（不在此区间，舍去）；
当时，，此时，求导，令，解得.
再考虑函数在处的情况，
在左侧（且趋近于2）时导数为负，右侧（且趋近于2）时导数为正；
在左侧（且趋近于）时导数为负，右侧（且趋近于）时导数为正；
在处的导数为0，所以有且仅有3个极值点，C正确.
对于D，当时，，令，在区间内单调递增，
又为增函数，根据复合函数“同增异减”原则，
在区间内单调递增，D正确；
故选：ACD.
5．（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】通过零点的几何意义，从函数图象的特征入手，注意到交点的对称性，进而对选项进行判断.
【详解】设，，.
因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标.
因为是的零点，所以是函数和的图象的交点的横坐标.
函数，故将函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
可得的函数图象，且由于图像的特点可知，的两条渐近线为和，
且关于直线对称，而与的图象也关于直线对称.
因此与图象的交点和与图象的交点关于对称.
画出，，的草图，如图：
由图知，故选项A错误.
交点与关于直线对称，所以，故选项B正确.
，所以，化简得，故选项C错误.
交点与同样关于直线对称，同理.
因此，故选项D正确.
故选：BD
6．（多选）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用导数探讨函数单调性，再利用零点存在性定理判断即得.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
因此函数的零点所在的区间是和.
故选：AD
7．（多选）已知偶函数满足：当时，，则（ ）
A．B．当时，
C．D．函数在区间上有零点
【答案】ACD
【分析】利用偶函数的定义、性质判断ABC；利用零点存在性定理判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，，则，B错误；
对于C，当时，，当且仅当时取等号，则，
当时，，因此，C正确；
对于D，，，即，
因此在区间上有零点，D正确.
故选：ACD
8．（多选）设函数，，以下说法正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．若，图象的对称轴为直线
C．若，有且仅有一个零点
D．若，则与的图象有且仅有两个交点
【答案】ABD
【分析】令，判断可得为奇函数，根据图象变换计算判断A；由可判断B；根据零点存在性定理可判断C；令，计算可判断D.
【详解】对A，令，即，
因为，
所以为奇函数，即函数对称中心为，
而的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，
因此可知图象的对称中心为，故A正确；
对B，当时，，
因为，，
即．可知的图象以直线为对称轴，故B正确；
对C，当时，，，，，
所以存在，，使，则有两个零点，故C不正确；
对D，当时，令，令，解得或，故D正确．
故选：ABD
9．已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设函数
（i） 证明:有两个零点，且. ；
（ii）若关于x的方程 的解集中只含有一个元素，求a的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用换元法结合复合函数性质求解单调区间即可.
（i）利用对勾函数的性质结合零点存在性定理证明零点存在，再证明，进而得到定值即可.
（ii）利用对给定式子合理变形，结合函数的单调性得到，再将方程有根问题转化为函数交点问题，求解参数范围即可.
【详解】（1）由对数函数性质得的定义域为，
因为，所以，
则，令，
即可化为，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
由对数函数性质得在上单调递增，
令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减，
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）（i）因为，所以，
则令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
而，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
故一定存在两个零点，，得到，
而，
，
，
，得到，
故，结合，得到，
而，则，结合，
故和都在同一单调区间内，即，解得；
（ii）若，则，
由已知得，故，
则使即可，而，
由基本不等式得，
当且仅当时取等，此时，则
而，故在同一单调区间内，
得到，即，
由题意得，我们开始讨论的取值范围，
当时，方程变为，解得，
此时的解集中只含有一个元素，符合题意，
当时，得到，
即，若解集中只含有一个元素，
则和在上只有一个交点，
而，
，
令，则，代入原函数中，
原函数可化为，
，
化简得，当时，此时符合题意，
当时，，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
结合函数的性质得在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
而，且当时，，
当时，，
且当时，，即当时，满足题意，
则，综上，.
10．已知函数.
(1)判断函数与的单调性（不需要写理由）；
(2)证明：函数有唯一零点，有唯一零点，且；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)为减函数，为增函数
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对数的运算性质化简，再利用复合函数的单调性求解即可；
（2）先根据零点存在性定理可知函数有唯一零点，有唯一零点，再由可得，构造，根据零点存在性定理可得存在唯一，使得，即；
（3）由（2）可知，故只需证明不等式：①，②，根据对数的运算性质可得，再化为和分别讨论证明即可.
【详解】（1）由题意可得，
，
由对数函数和复合函数单调性可知为减函数，为增函数.
（2）对于函数，
由（1）知为减函数，所以在存在唯一零点，
对于函数，
又，
故，又，
由（1）知为增函数，所以在存在唯一零点，
下面证明：
由，可知；
由，可知，即，
构造函数，因为为减函数，且，
所以存在唯一，使得，即；
综上所述，函数在存在唯一且相等的零点.
（3）由（2）可知，
故只需证明下面两个不等式：①；②
因为，
故，得，
即③，
此时③可化为，
由，可得，
由（2）可知当时，，
故此时，从而，故①成立；
③也可化为，
当时，，
因为，所以，即，
所以，故可知故②成立，
综上所述对于任意的，都有.
考点05 函数零点的应用
1．已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象特点，结合零点存在性定理，列式求解.
【详解】，，
由条件可知，，解得：，
所以选项中满足条件的只有.
故选：B
2．已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将问题化为，在上有交点，结合函数单调性列不等式求参数范围.
【详解】设，，
由题意得，在上有交点，
又，易知，在上分别单调递增、单调递减，
所以，只需，即，可得的范围为.
故选：B
3．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析并作出与满足条件的图象，结合图象求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，
则当时，，函数，
又由对任意，都有，
则，即的一个周期为2，
又由函数在区间内恰有5个不同的零点，
即函数与的图象在区间上有5个不同的交点，
如图，
则满足且，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
4．（多选）已知函数，函数的一个零点为a，的一个零点为b，则以下说法正确的是（ ）
A．与的图象关于直线对称
B．的图象通过平移变换可以得到一个奇函数的图象
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A，说明与是否互为反函数即可；对于B，通过分离常数即可判断；对于CD，由函数单调性以及零点的定义即可判断求解.
【详解】对于A，由，得，即是函数的反函数，
所以与的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，若将函数的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位即可得反比例函数的图象，
而函数是奇函数，满足题意，故B正确；
对于C，，由复合函数单调性可知单调递增，
又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增，
但时，，且，故的零点不在区间内，故C错误；
对于D，，由复合函数单调性可知单调递增，
又指数函数也单调递增，所以在定义域内单调递增，
因为，所以，，所以，
由C选项分析可知，所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是结合函数单调性以及零点的定义，由此即可顺利得解.
5．函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】由题意有：当时，，令得满足题意，
当时，解得，当 时，令得满足题意，
当时，得，只需即可，则，解得，
当时，解得，所以，令得，满足题意，
当时，解得，所以，令解得，满足题意，
综上所述有：.
故答案为：.
6．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数有零点转化成函数与在区间上有交点，结合图象，易得不等式组，解之即得.
【详解】由可得，
则函数在区间上有零点等价于函数与在区间上有交点，
因在区间上为减函数，在区间上为增函数，如图所示.
由图知，需使，即，解得.
故答案为：.
7．设函数，若函数有三个零点，则 ．
【答案】2
【分析】分析函数零点与方程的关系，再根据分段函数的性质确定方程的解，最后代入计算求解．
【详解】函数的零点即方程的解，设，则方程转化为．
由题知，当时，，当时，，
若，则的解为和的根，解得，或，共3个解；
若，则，即，解得，共2个解．
因为有3个零点，所以方程的解对应的的解总数为3，
由上述讨论可知时有3个解，时有2个解，若二次方程有两个不相等的根，
则和的解的总数为5或4，故二次方程只能有一个重根，此时的3个解为．
令，则．
故答案为：2．
8．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，根据图象先确定，再由函数确定出的取值范围，再由确定出，即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即，
得，则.
由，即，得，求得，
，
故答案为：.
9．已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】当时，，令得，符合题意；
当时，是二次函数，对于方程，
只需，即，解得，且，
当时，，此时，得或，符合题意，
当时，，此时，得或，符合题意，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查函数零点分布. 讨论和两种情况，当时，可判断判别式大于零，结合零点存在性定理运算求解.
10．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)当时，若函数在上的最大值与最小值的差为，求的值；
(3)设函数，当时，的零点，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入结合对数的定义运算求解即可；
（2）注意到，，结合题意可知，结合单调性列式求解即可；
（3）分析可知在内单调递减，结合零点存在性定理运算求解.
【详解】（1）因为，可得，
且，所以.
（2）因为，当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，，
若函数在上的最大值与最小值的差为，可得，即，
可知在上单调递减，则，解得，
所以的值为.
（3）因为，且，
又因为在内单调递减，
可知在内单调递减，
且，
可得，
则的唯一零点，所以.
11．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的值域；
(2)若，求的值；
(3)令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域；
（2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值；
（3）令，由结合参数分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）
，
当时，函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，
所以函数的值域为.
（2），则，
，
所以
设，
则，
两式相加得，则，
故
（3），设，
当时，，则函数等价于，
若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点，
即在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，，
设，则，则，
因为函数在区间上单调递增，且，
当时，，所以，
所以，实数的取值范围是.
考点06 函数与方程的综合应用
1．已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围.
【详解】令，有，即，
解得或，
作出的图象，如图，
方程有且仅有5个不同实数根，
则由图得或，
解得或，
即或无解，
所以
故选：D
2．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意的零点，即函数与函数的交点，作图可初步判断，根据函数值可进一步判断，得到，再对通过判断的符号，得到即可.
【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图，
由图可得
，，
，，
，
，
综上，.
故选：B.
3．关于的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得.
【详解】由题意知，所以
，令，则得，
从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”.
而，当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
又∵，；当时，，
需使，即，
从而实数的取值范围为.
故选：D.
4．（多选）已知，则中元素个数的可能值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BCD
【分析】分，，，，，，，，，，由幂函数方程求解.
【详解】当时，，
由，得，即，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，即，解得，
所以，元素个数为3；
当时，，
由，得，平方得，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，即，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，平方得，
即，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，即，
即，解得，
所以，元素个数为1；
当时，，
由，得，即，
即，
由 ，
解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，即，解得，
所以，元素个数为2；
当时，，
由，得，即，解得，
所以，元素个数为1；
综上：中元素个数的可能值为1，2，3
故选：BCD
5．（多选）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（ ）
A．方程有两个不同的实根
B．
C．是方程的一个根
D．
【答案】ACD
【分析】画出函数的图象，结合图像可得有两个不同的解且，，从而可判断A的正误，同样结合图形求出的范围后可判断B的正误，将代入计算后可判断C的正误，根据方程的解的传递性可用表示后根据单调性可求范围，从而可判断D的正误.
【详解】令，考虑的解.
的图象如图所示：
对于A，因为有3个不同的解，故有两个不同的解，
且，，故A正确.
对于B，由A的分析可得，故B错误.
对于C，由A的分析结合图象可得：有两个不同的解，
故且，故，
故是方程的一个根，故C正确.
对于D，由A的分析可得有两个不同的解，不妨设为，
有唯一解，不妨设为，
则，，故，
故，
而即，
所以，
记，则，
故在上单调递增，故，D正确.
故选：ACD.
6．（多选）记函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象过定点
B．存在 ，使得恰有 1 个零点
C．若 有 3 个零点，存在 ，使得成等比数列
D．若有 3 个零点，则为定值
【答案】ACD
【分析】令前面的系数为0，解出即可判断A；求导得，利用判别式法判断其根的个数，再结合A选项即可得到其零点个数；设，展开后对比系数即可判断C；对求导，再分别代入，最后通分计算即可判断D.
【详解】对A．由，令，解得，或，
故，则过定点，故A正确；
对B．，其，
故存在两解，且当时，；
且当时，；当时，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由和，
且由，可知恰有3个零点，故B错误；
对C．记，
又由，
对比系数可知，，
若为等比数列，则，则，，
代入另外两式有：，，故，解得，故C正确；
对D．由，则，
则，
从而
，故D正确，
故选：ACD．
7．已知函数，则方程的根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 （提示：函数在上单调递增）.
【答案】 2
【分析】令，则，由得，进而得，作出的图像，利用数形结合即可求解；由得，即，进而得，令，则，利用单调性得的范围，进而求解.
【详解】令，则，所以，由，
因为，所以，作出的图像：

由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2；
由有，
所以，
所以，
令，则，
由函数在上单调递增，
所以，即，
又在单调递增，所以，
所以，所以，
故答案为：.
8．已知，设.
(1)求证：如果存在一个实数，满足，则对一切有成立；
(2)若实数满足，则称为不动点，试求出所有的不动点；
(3)是否存在区间，使得对任意，当时，都有？证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)存在，证明见解析
【分析】（1）运用数学归纳法证明易得；
（2）根据不动点的定义，由解方程即得；
（3）先解，得或，由知，可得或，由题设条件只需或，解不等式，即得所求区间.
【详解】（1）用数学归纳法证明.
当时，显然成立；
假设当时，成立，
则当时，也成立.命题得证.
（2）由（1）可知当且仅当，即时，为不动点.
由，解得或.
（3）即，解得或，
由知，可得或，
因此要使对一切都有成立，只需或，
而由，可得或，
由，即，解得，
所以，取区间，或，或即可满足题意.
9．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若关于的方程有三个不同的解，且满足，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】(1)递减区间为，递增区间为；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）分段去绝对值符号，进而求出单调区间.
（2）作出函数图象，确定得，，（ⅰ）利用单调性，结合分析法证明，再构造函数和基本不等式推理证明；（ⅱ）由建立方程组，分析证明，再构造函数利用基本不等式推理得理论上.
【详解】（1）当时，，
函数在上都单调递减，则在上单调递减；
当且时，，
函数在上都递增，则在上递增，
所以函数的递减区间为，递增区间为.
（2）（ⅰ）作出函数的图象，方程有三个不同的解，
即直线与函数图象的三个交点横坐标，
观察图象，得，，
要证，即证，而函数在上单调递减，
只需证，又，即证，
令函数，
，因此当时，，
从而，所以.
（ⅱ）由（ⅰ）得，即，
相加得，要证，即证，
即证，就证，而，函数在上单调递增，
只需证，又，所以等价于证明当时，.
令函数，，则
，因此，
所以.
10．设.已知.
(1)若，求函数的值域；
(2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围；
(3)若且函数有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）带入参数，求出函数解析式，根据函数单调性，求出函数值域.
（2）构造函数，求出函数单调性和极值，找出方程有三个解的范围，求得参数范围.
（3）根据函数求出导数，对参数进行分类讨论，求出函数单调区间，根据单调区间确定函数是否有最小值，确定参数范围.
【详解】（1）若，，则
所以在单调递减，，
.
（2）关于的方程有且仅有三个实数解
，化简得，
设
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减；
所以在处取得极小值为，在处取得极大值为
当时，，所以.
（3）
，
令，
则，可知，
因为，可得，
当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意；
当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有.
又当时，，
先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件.
综上所述：.
1.识别函数图象的常见方法:
(1)利用函数的值域和定义域判断;
(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;
(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点或者极限思想等判断
2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等
为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线的方法之外，还要做到以下两点
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如 y=的函数图象;
(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
1.函数 y-f(x)的图象关于直线x=a对称f(a十x)=f(a-x)或 f(2a+x)=f(-x).
函数 y=f(z)的图象关于点(a,b)对称f(2a-x)十f(x)=2b 或f(a-x)+f(a十x)=2b
3.函数 y=f(a+x)的图象与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x=一对称
4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论；
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数 y=f(x+a)的图象关于点(一a,0)对称(或关于直线 x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线 x=a 对称)
1. 判断函数零点所在区间的方法:
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
2.求解函数零点个数的基本方法有:
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
1.已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
2.函数零点的应用主要体现在三类问题:
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。
3.求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
1.函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2.给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
= 1 \* GB3 ①若（此时），则就是函数的零点；
= 2 \* GB3 ②若（此时），则令；
= 3 \* GB3 ③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；