2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02椭圆方程及其性质24大考点(学生版+解析)

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这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用考点培优练02椭圆方程及其性质24大考点(学生版+解析)，共7页。

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13063" 考点01 椭圆的定义及其应用 PAGEREF _Tc13063 \h 1
\l "_Tc2894" 考点02 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc2894 \h 2
\l "_Tc10069" 考点03 椭圆方程的充要条件 PAGEREF _Tc10069 \h 3
\l "_Tc29021" 考点04 椭圆的焦距与长轴、短轴 PAGEREF _Tc29021 \h 4
\l "_Tc21211" 考点05 椭圆的焦点三角形问题 PAGEREF _Tc21211 \h 5
\l "_Tc25038" 考点06 椭圆上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc25038 \h 7
\l "_Tc1056" 考点07 椭圆上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc1056 \h 8
\l "_Tc13139" 考点08 求椭圆的离心率 PAGEREF _Tc13139 \h 9
\l "_Tc6195" 考点09 求椭圆离心率的取值范围 PAGEREF _Tc6195 \h 11
\l "_Tc13151" 考点10 由椭圆离心率求参数 PAGEREF _Tc13151 \h 13
\l "_Tc24804" 考点11 椭圆的轨迹问题 PAGEREF _Tc24804 \h 13
\l "_Tc1508" 考点12 椭圆的实际应用问题 PAGEREF _Tc1508 \h 15
\l "_Tc20008" 考点13 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc20008 \h 17
\l "_Tc20421" 考点14 椭圆的弦长问题 PAGEREF _Tc20421 \h 18
\l "_Tc31522" 考点15 椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc31522 \h 19
\l "_Tc27166" 考点16 椭圆的面积问题 PAGEREF _Tc27166 \h 20
\l "_Tc1253" 考点17 椭圆的最值问题 PAGEREF _Tc1253 \h 23
\l "_Tc3217" 考点18 椭圆的向量问题 PAGEREF _Tc3217 \h 25
\l "_Tc32757" 考点19 椭圆的证明问题 PAGEREF _Tc32757 \h 26
\l "_Tc3899" 考点20 椭圆的探索性问题 PAGEREF _Tc3899 \h 29
\l "_Tc19208" 考点21 椭圆的定点问题 PAGEREF _Tc19208 \h 30
\l "_Tc10486" 考点22 椭圆的定值问题 PAGEREF _Tc10486 \h 32
\l "_Tc12442" 考点23 椭圆的定直线问题 PAGEREF _Tc12442 \h 33
\l "_Tc29976" 考点24 椭圆的综合问题 PAGEREF _Tc29976 \h 34
考点01 椭圆的定义及其应用
1．（25-26高二·河北保定·阶段练习）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则．
2．（25-26高二·江西·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（）
A．1B．3C．5D．13
3．（25-26高二·湖南常德·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 .
4．（2025高二·全国·专题练习）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有个．
考点02 椭圆的标准方程
5．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26高二·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（）
A．B．
C．D．
7．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（）
A．B．C．D．
8．（25-26高二·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（）
A．B．
C．D．
9．（2025高三·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
考点03 椭圆方程的充要条件
10．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．（25-26高二·重庆·阶段练习）方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．（25-26高二·安徽·阶段练习）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
13．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2025高二·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点04 椭圆的焦距与长轴、短轴
15．（25-26高二·江苏扬州·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（）
A．4B．7C．9D．12
16．（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（）
A．B．C．5D．6
17．（25-26高二·内蒙古通辽·阶段练习）已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
18．（2025高二·江西吉安·期末）椭圆的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
考点05 椭圆的焦点三角形问题
19．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（）
A．B．C．D．
20．（25-26高二·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（）
A．8B．10C．12D．14
21．（25-26高二·江苏南京·阶段练习）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（）
A．4B．8C．D．
22．（2025高二·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（）
A．B．C．D．
23．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为若 P 在第一象限，则= （）
A．B．
C．D．
24．（25-26高二·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（）
A．2B．C．D．
25．（2025高二·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（）
A．B．C．D．
26．（2025高二·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（）
A．B．C．D．4
27．（25-26高三·云南玉溪·期中）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（）
A．B．C．D．
28．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（）
A．2B．C．3D．4
考点06 椭圆上两点距离的最值问题
29．（2025高二·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（）
A．的周长为6B．面积的最大值为
C．的取值范围为D．的最小值为
30．（2025高二·重庆渝中·期末）已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（）
A．焦点在y轴上B．长轴长为2
C．离心率D．最大值为
31．（2025高二·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（）
A．B．3C．D．
32．（2025高二·吉林长春·阶段练习）椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（）
A．4B．5C．6D．8
33．（2025·河南周口·模拟预测）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
34．（2025高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（）
A．2B．C．D．
35．（2025高二·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（）
A．B．C．D．
考点07 椭圆上两线段的和差最值问题
36．（25-26高二·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（）
A．B．C．D．
37．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
38．（25-26高二·全国·课后作业）已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（）
A．B．C．4D．
39．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
40．（2025高二·湖北·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（）
A．B．3C．D．
41．（2025高二·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（）
A．B．C．3D．
考点08 求椭圆的离心率
42．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（）．
A．B．C．D．
43．（25-26高二·江苏南京·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
44．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
45．（25-26高二·上海·阶段练习）已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）
A．B．C．D．
46．（25-26高二·江苏常州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
47．（25-26高二·江苏南京·阶段练习）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）

A．B．C．D．
48．（2025·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
49．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
50．（25-26高三·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（）
A．B．
C．D．
51．（25-26高三·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
52．（25-26高三·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（）
A．B．C．D．
考点09 求椭圆离心率的取值范围
53．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
54．（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
55．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
56．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．
57．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
58．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
59．（25-26高二·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
60．（2025高二·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A．B．
C．D．
61．（2025·黑龙江·模拟预测）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
62．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
63．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
64．（2025高三·湖北·期末）已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
考点10 由椭圆离心率求参数
65．（25-26高二·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（）
A．B．C．4或D．或
66．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（）
A．12B．C．12或D．或
67．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（）
A．B．1C．2D．3
68．（2025高三·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（）
A．B．C．或4D．或4
考点11 椭圆的轨迹问题
69．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
70．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
71．（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
72．（2025·江苏·模拟预测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
73．（2025高二·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
74．（2025·新疆·模拟预测）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
75．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
76．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
考点12 椭圆的实际应用问题
77．（25-26高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（）

A．3B．4C．6D．8
78．（2025高三·全国·专题练习）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（）
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
79．（25-26高二·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（）

A．B．
C．D．
80．（2025高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
81．（2025高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（）
A．B．C．D．
考点13 直线与椭圆的位置关系
82．（2025高二·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
83．（2025高二·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
84．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（）
A．相切B．相交C．相离D．相交或相切
85．（2025高二·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对
86．（2025高二·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
87．（25-26高二·山西晋中·阶段练习）直线与椭圆交点个数为（）
A．1B．2C．1或2D．无法确定
88．（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
考点14 椭圆的弦长问题
89．（25-26高二·江苏淮安·阶段练习）已知椭圆与直线交于、两点，则（）
A．B．C．D．
90．（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（）
A．B．C．D．
91．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（）
A．B．C．3D．4
92．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
考点15 椭圆的中点弦问题
93．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A．B．
C．D．
94．（25-26高二·陕西西安·阶段练习）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（）
A．B．C．D．
95．（2025高二·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（）
A．B．C．D．
96．（2025高二·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（）
A．B．C．D．
97．（2025高二·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（）
A．B．C．D．
98．（2025高二·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（）
A．B．C．D．
考点16 椭圆的面积问题
99．（2025高三·全国·专题练习）直线与椭圆相交于两点，该椭圆上存在点，使得的面积等于1，这样的点共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
100．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（）
A．B．C．D．1
101．（2025高二·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（）
A．B．C．D．
102．（2025高三·湖南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
103．（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为．
(1)求E的方程；
(2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积．
104．（25-26高二·江苏南京·期中）已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆离心率；
(2)若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程.
105．（25-26高三·山西·阶段练习）已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
106．（25-26高二·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积．
107．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
(3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
108．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.

(1)求椭圆的离心率e；
(2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
(3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.
109．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形．
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：．求证：与面积之比为定值．
考点17 椭圆的最值问题
110．（25-26高二·河南郑州·阶段练习）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（）
A．16B．17C．19D．20
111．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
112．（2025高三·全国·专题练习）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（）
A．4B．3C．2D．1
113．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
114．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为.
①求证：为定值；
②点G为CF中点，若求实数的取值范围.
115．（25-26高三·上海·阶段练习）已知曲线C：.
(1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率；
(2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值；
(3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值．
考点18 椭圆的向量问题
116．（25-26高二·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
117．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（）
A．B．C．D．
118．（2025高二·四川·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
119．（2025高二·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（）
A．B．C．D．2
120．（2025·福建南平·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（）
A．B．
C．D．
121．（25-26高三·青海西宁·阶段练习）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值；
122．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程．
123．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
124．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为，且，求实数的值．
125．（2025高二·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知.
（ⅰ）证明：P、M、Q三点共线；
（ⅱ）求的取值范围.
126．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.
(1)求的值；
(2)直线与交于点，求证：.
考点19 椭圆的证明问题
127．（25-26高二·安徽滁州·阶段练习）如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值．
128．（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的方程：，点是椭圆的右焦点.
(1)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值；
(2)以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形.
（i）证明：四边形为菱形；
（ii）求四边形面积的最大值.
129．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．
（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．
130．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点．
（i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求；
（ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值．
131．（25-26高二·四川成都·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆.
132．（25-26高二·江西赣州·阶段练习）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点．
(1)求的方程；
(2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形．
133．（25-26高三·江西·阶段练习）设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
(1)设点，求的最小值；
(2)证明：的面积不小于；
(3)证明：．
134．（25-26高三·广东·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点.
(1)求的方程；
(2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：.
考点20 椭圆的探索性问题
135．（25-26高三·山东青岛·阶段练习）已知M，N是椭圆上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线与x轴、y轴分别交于S，T两点．
(1)若直线与斜率之积为，证明：为定值；
(2)点关于x轴的对称点为H，设的面积分别为，且．
①求直线的斜率；
②是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
136．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6.
(1)求的方程；
(2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围；
(3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值.
137．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，D为线段AB的中点，且，（O为坐标原点）.
(1)求的面积；
(2)过F的直线交C于P，Q两点，记点O，A到直线PQ的距离分别为，，则是否存在最大值？若存在，求出最大值及PQ的方程；若不存在，请说明理由.
138．（2025高二·福建泉州·期末）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF．
(1)求椭圆E和的方程；
(2)若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
考点21 椭圆的定点问题
139．（2025高二·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（）
A．B．C．D．
140．（2025高二·河北·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（）

A．B．C．D．
141．（2025高二·江苏·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（）
A．B．C．D．
142．（2024高二·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点）.直线过定点（）
A．B．C．D．
143．（2025·广东清远·模拟预测）已知椭圆过点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为．
①证明：直线过定点；
②求四边形面积的最小值．
144．（25-26高三·上海虹口·阶段练习）已知椭圆，点P为C的上顶点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值；
(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．
145．（25-26高二·四川内江·阶段练习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点.
①求动点的轨迹；
②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
146．（2025高二·广西梧州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点；
①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；
②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.
147．（25-26高三·浙江·开学考试）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N.
①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）；
②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
考点22 椭圆的定值问题
148．（25-26高三·贵州·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，是线段的中点，是坐标原点，记直线的斜率为．
(1)证明为定值，并求出该定值
(2)若，求的面积．
149．（25-26高三·广东·阶段练习）如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：是定值；
(3)求三角形的周长．
150．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为6，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
151．（25-26高三·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程.
(2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值.
152．（25-26高三·天津南开·开学考试）已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值.
考点23 椭圆的定直线问题
153．（25-26高三·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为．
(1)设点的轨迹为，求曲线的方程；
(2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．
154．（2025高二·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求直线l的方程；
(3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．
155．（2025高三·北京海淀·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程及长轴长；
(2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：．
考点24 椭圆的综合问题
156．（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；
(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.
（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；
（ii）令数列，求证.
157．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过的直线 (不与轴重合) 与交于两点，过分别作平行于轴的直线与直线分别交于两点，直线与轴的交点为，设直线与直线的交点为．记的面积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
158．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称为格点，若曲线上存在3个格点构成三角形，则称为“3格曲线”.
(1)若椭圆为“3格曲线”，求的离心率；
(2)若椭圆上存在个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为的左顶点的概率为，求；
(3)若直线上存在2个格点，使得，其中为曲线：与轴正半轴的交点，求的值.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x2a2＋m＋y2b2＋m＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(a>b>0，λ>0).
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|＋PF2|22＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
用两点间距离公式结合椭圆方程消元转化为二次函数求解；
用参数方程设椭圆上点坐标，结合两点间距离公式构建函数，利用三角函数有界性求解.
和、差最值用定义转化，椭圆上点到两焦点距离和为2a，搭配三角形三边关系，将线段转化为共线情况求最值。
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝1-b2a2求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
先明确椭圆焦点位置（x轴或y轴），确定a²、b²对应表达式。根据离心率及，建立参数方程，代入已知e值求解；注意参数范围限制，排除不合题意的解。
先判断轨迹类型，再选方法：
（1）定义法直接结合椭圆定义（到两定点距离和为定值）；
（2）相关点法（代入法）利用已知点轨迹，转化未知点坐标关系；
（3）直译法直接翻译题干条件，整理成标准方程。
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式
若直线与椭圆交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与椭圆交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
将向量条件转化为坐标关系，设椭圆上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合椭圆方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
椭圆中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
先假设直线方程（斜率存在或不存在分类），与椭圆方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干条件（如定点、定值）化简，消去参数得到直线方程，验证特殊情况是否满足。
先识别融合版块（函数、向量、解析几何、三角函数等），拆分核心考点。以椭圆方程为基础，用参数法或直角坐标设点，搭建各版块知识的桥梁。联立方程后优先用韦达定理处理根与系数关系，结合题干条件化简运算。
考点培优练02 椭圆方程及其性质24大考点
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13063" 考点01 椭圆的定义及其应用 PAGEREF _Tc13063 \h 1
\l "_Tc2894" 考点02 椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc2894 \h 3
\l "_Tc10069" 考点03 椭圆方程的充要条件 PAGEREF _Tc10069 \h 6
\l "_Tc29021" 考点04 椭圆的焦距与长轴、短轴 PAGEREF _Tc29021 \h 8
\l "_Tc21211" 考点05 椭圆的焦点三角形问题 PAGEREF _Tc21211 \h 9
\l "_Tc25038" 考点06 椭圆上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc25038 \h 17
\l "_Tc1056" 考点07 椭圆上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc1056 \h 21
\l "_Tc13139" 考点08 求椭圆的离心率 PAGEREF _Tc13139 \h 25
\l "_Tc6195" 考点09 求椭圆离心率的取值范围 PAGEREF _Tc6195 \h 34
\l "_Tc13151" 考点10 由椭圆离心率求参数 PAGEREF _Tc13151 \h 43
\l "_Tc24804" 考点11 椭圆的轨迹问题 PAGEREF _Tc24804 \h 45
\l "_Tc1508" 考点12 椭圆的实际应用问题 PAGEREF _Tc1508 \h 49
\l "_Tc20008" 考点13 直线与椭圆的位置关系 PAGEREF _Tc20008 \h 54
\l "_Tc20421" 考点14 椭圆的弦长问题 PAGEREF _Tc20421 \h 57
\l "_Tc31522" 考点15 椭圆的中点弦问题 PAGEREF _Tc31522 \h 60
\l "_Tc27166" 考点16 椭圆的面积问题 PAGEREF _Tc27166 \h 64
\l "_Tc1253" 考点17 椭圆的最值问题 PAGEREF _Tc1253 \h 77
\l "_Tc3217" 考点18 椭圆的向量问题 PAGEREF _Tc3217 \h 87
\l "_Tc32757" 考点19 椭圆的证明问题 PAGEREF _Tc32757 \h 98
\l "_Tc3899" 考点20 椭圆的探索性问题 PAGEREF _Tc3899 \h 113
\l "_Tc19208" 考点21 椭圆的定点问题 PAGEREF _Tc19208 \h 120
\l "_Tc10486" 考点22 椭圆的定值问题 PAGEREF _Tc10486 \h 135
\l "_Tc12442" 考点23 椭圆的定直线问题 PAGEREF _Tc12442 \h 142
\l "_Tc29976" 考点24 椭圆的综合问题 PAGEREF _Tc29976 \h 149
考点01 椭圆的定义及其应用
1．（25-26高二·河北保定·阶段练习）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则．
【答案】
【分析】借助椭圆定义计算即可得结论.
【详解】由是的中点，则，
由椭圆定义可得，
则.
故答案为：.
2．（25-26高二·江西·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（）
A．1B．3C．5D．13
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义直接得出结果.
【详解】由题知，所以点到另一个焦点的距离为.
故选：C.
3．（25-26高二·湖南常德·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可.
【详解】由题意，圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
因为，所以圆和圆为内含关系.
设动圆的圆心，半径为，则，即，
所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则，
故其轨迹方程为.
故答案为：.
4．（2025高二·全国·专题练习）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则这样的点P有个．
【答案】
【分析】先求出椭圆的长轴长，再利用椭圆定义直接分析作答.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义，若点到椭圆的一个焦点的距离为6，
则它到椭圆的另一个焦点的距离为，
因为，所以椭圆上点到椭圆的一个焦点的距离为6等价于椭圆上点到椭圆的两个焦点的距离分别为和6，
根据椭圆的对称性，所以这样的点共有4个.
故答案为：.
考点02 椭圆的标准方程
5．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解．
【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a，
已知该和为，故，得，
椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得，
由椭圆中，可得，
所以椭圆的标准方程为．
故选：C．
6．（25-26高二·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程.
【详解】由题意可得，即，
又，即，
联立并代入可得，
解得
所以椭圆方程为.
故选：B
7．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解.
【详解】由题设，
可得，又为上顶点，则，
故，
所以，则，故标准方程为.
故选：A.
8．（25-26高二·全国·课后作业）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可设椭圆方程为，且，利用椭圆定义及两点间的距离公式求得，结合隐含条件求得，则可求出椭圆方程．
【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为．
根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为．
故选：B.
另解由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为．
直接代入
因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为．
故选：
9．（2025高三·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据离心率公式以及椭圆经过的点，结合椭圆中的关系即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故椭圆方程为，
故选：A
考点03 椭圆方程的充要条件
10．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得.
【详解】依题意,可得时，解得.
故选：A.
11．（25-26高二·重庆·阶段练习）方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解.
【详解】由方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得，
所以k 的取值范围为.
故选：C
12．（25-26高二·安徽·阶段练习）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解.
【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：B.
13．（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆，
所以，解得：且，
所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
14．（2025高二·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可.
【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且，
所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B．
考点04 椭圆的焦距与长轴、短轴
15．（25-26高二·江苏扬州·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（）
A．4B．7C．9D．12
【答案】B
【分析】根据条件，得，即可求解.
【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得，
故选：B.
16．（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（）
A．B．C．5D．6
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可.
【详解】由题意可知，又，所以.
故选：A
17．（25-26高二·内蒙古通辽·阶段练习）已知椭圆，则该椭圆的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程确定焦点坐标即可.
【详解】由椭圆方程知，，且焦点在轴上，则，故焦点坐标为.
故选：C
18．（2025高二·江西吉安·期末）椭圆的焦点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标.
【详解】由题设，故椭圆的焦点在轴上，且，
所以焦点坐标为.
故选：B
考点05 椭圆的焦点三角形问题
19．（25-26高二·河北衡水·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解.
【详解】由椭圆,可得，，所以，
如图所示，则的周长为.
故选:A.

20．（25-26高二·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（）
A．8B．10C．12D．14
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】椭圆方程，得：，则.
由椭圆的定义得，，
所以的周长为.
故选：A.
21．（25-26高二·江苏南京·阶段练习）若，分别为椭圆：的左、右焦点，，为上两动点，且，，三点共线，则的周长为（）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【分析】先根据椭圆的方程得出的值，再根据椭圆的定义结合已知条件求出的周长．
【详解】
椭圆方程为，
，
为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点，
，
又，，三点共线，
的周长为：，
故选：D．
22．（2025高二·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆定义以及离心率和焦点坐标计算可得，可求出结果.
【详解】易知的周长为.
因为所以，
故的周长为.
故选：A
23．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为若 P 在第一象限，则= （）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果.
【详解】根据题意知，.
因为的内切圆半径为，
所以.
设，所以，
所以，解得.
因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足，
解得，所以.
所以，所以.
故选：A.

24．（25-26高二·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解.
【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得，
所以，所以．
设的内切圆半径为，
因为，
所以，得．
故选：C.
25．（2025高二·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，，，可得的面积.
【详解】在椭圆中，，，，
则，
点在上，，所以，
则.
故选：A
26．（2025高二·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解.
【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以，
所以点的纵坐标为，所以.
故选：C.
27．（25-26高三·云南玉溪·期中）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义和焦点三角形的余弦定理建立方程组，然后再根据，两边平方即可求解.
【详解】因为①，
，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即.
故选：B
28．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的焦距为，上一点P满足，为坐标原点，且，则（）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【分析】由椭圆定义可得，，由焦距为，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，根据，解得，从而得，在中，由余弦定理求得，即可得答案.
【详解】由椭圆定义得，
又，
则，，
又因为焦距为，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，
同理在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
又，
则，
即
解得，
又因为，
即，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以．
故选：C.
考点06 椭圆上两点距离的最值问题
29．（2025高二·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（）
A．的周长为6B．面积的最大值为
C．的取值范围为D．的最小值为
【答案】D
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可.
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D
30．（2025高二·重庆渝中·期末）已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（）
A．焦点在y轴上B．长轴长为2
C．离心率D．最大值为
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程及其性质判断各项的正误.
【详解】由椭圆标准方程为，则，
所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为.
故选：D
31．（2025高二·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到.
【详解】椭圆中，.

如图，由得，
∴，
∴当取最小值时，最小.
由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，
∴.
故选：C.
32．（2025高二·吉林长春·阶段练习）椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】利用椭圆的性质计算即可.
【详解】由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，
设，
则，时取得等号.
故选：B.
33．（2025·河南周口·模拟预测）已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
又因为，设点，则，
所以，
当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以，
故当时，取得最小值，最小值为51，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C.

34．（2025高二·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【详解】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
35．（2025高二·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，
又由点，
可得，
因为，所以，所以.
故选：A.
考点07 椭圆上两线段的和差最值问题
36．（25-26高二·江苏南通·阶段练习）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果.
【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径，
那么，所以.
所以.
所以要求的最大值，即求的最大值.
因为，所以当三点共线时，的最大值为.
而，所以的最大值为.
故选：B.
37．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值
【详解】设半焦距为，因为，故.
又过点，故.
由椭圆得，代入解得，.即，.
所以的方程为.

设的左焦点为，故.
根据椭圆的几何性质可知，
由于两点之间线段最短，所以.
因此.
当且仅当，，在一条直线上时，等号成立.
故选：
38．（25-26高二·全国·课后作业）已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解．
【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则，
所以焦点坐标分别为，．
连接，由椭圆定义得．
由于，所以点在椭圆内．
如图所示，，

将代换为来求的最小值，也就是求的最大值，
当三点共线时，的最大值为，
所以的最小值为．
故选：D
39．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可.
【详解】

如图，为椭圆上任意一点，则，
所以，
因为为圆上任意一点，则，
所以，
当且仅当共线且在和之间时，等号成立．
由题意知，，则，
所以的最小值为．
故选：B．
40．（2025高二·湖北·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】，
设为该椭圆的左焦点，，
所以，
于是，
显然当三点共线，且与垂直时，
有最小值，最小值为，
故选：A
41．（2025高二·陕西西安·阶段练习）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用定点到圆上点距离的最值，结合椭圆的定义与三角形边长的关系即可得解.
【详解】因为曲线：可化为，为椭圆，
则，故椭圆左焦点，右焦点，
又圆：的圆心恰好是，则，

又在椭圆中，有，，
所以，
当且仅当点在线段与椭圆的交点处，点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立.
故选：D.
考点08 求椭圆的离心率
42．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可.
【详解】
由可得，由图知，，
则的面积为，
解得，则椭圆的离心率为.
故选：C.
43．（25-26高二·江苏南京·期中）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率.
【详解】设椭圆左焦点为，连接、，
由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形，
又，故，即平行四边形为矩形，
因此，，
在中，，设，则，，
由椭圆的定义，，
又，故，即，
将代入，得，
故离心率.
故选：B
44．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可.
【详解】连接，设，，则，
因为，所以，
在中，，所以，
化简得，则，，
在中，，
所以，即，所以离心率.
45．（25-26高二·上海·阶段练习）已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴，分别求得和的方程，联立方程组求得，得到，结合，求得，即可求得椭圆的离心率.
【详解】由椭圆，可得，
过点作轴，垂足为，
因为点在过且斜率为的直线上，可得直线的方程为，
又因为，可得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为,
联立方程组，解得，所以，
因为，所以，
又因为为等腰三角形，且，所以，
即，可得，所以椭圆的离心率为.
故选：D.
46．（25-26高二·江苏常州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得．
【详解】因为为的中点，而是中点，所以，
所以的周长是周长的一半，
又的周长为6，所以周长是12，
即，得，
又，所以，．
故选：B．
47．（25-26高二·江苏南京·阶段练习）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆：，由双曲线方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率．
【详解】设椭圆：，
双曲线：，可得，所以，
解得，所以，
，，
，，
因为四边形为矩形，所以在中，，
，即，
，，即的离心率是.
故选：C.
48．（2025·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案.
【详解】
设，因为，所以，
由椭圆的定义可得，，
因为，在中由勾股定理得，解得
所以，，
在中由勾股定理得，从而可得.
故选：A
49．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得，
因为是直角，所以在中，由勾股定理，得，
即，所以椭圆的离心率.
故选：B
50．（25-26高三·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，结合等腰三角形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可.
【详解】因为点在椭圆上，
所以，又因为，
所以，
在等腰三角形中，，底边，
过作，垂足为，
由已知可知点到直线的距离为．所以有，
由勾股定理可知：，
而，化简得：
（舍去），或，
即，
故选：A
51．（25-26高三·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，设，
由，得，于是，，
而，则，由三点共线，得，
于是，解得，此时或符合题意，
所以椭圆的离心率为.
故选：B

52．（25-26高三·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率.
【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以，
当且仅当时取等号，又
所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为.
故选：C.
考点09 求椭圆离心率的取值范围
53．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，在中，通过椭圆的定义，余弦定理以及，得到关于，，，的等式，再通过基本不等式进行求解即可.
【详解】在中，设，，则，如图：

根据余弦定理，得，配方得：，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，即，故，解得.
故选：D
54．（2025高三·全国·专题练习）已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题可设，直线的参数方程为得到，再根据，可得即可得到离心率范围.
【详解】设，直线的参数方程为（为参数），
代入圆，
化简得，
，
，，
存在点，使得，
，即，则，即，
故选：B.
55．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算.
【详解】设双曲线的焦距为．
则依题意得，，，，．
由得于是，．
又，则．
设，由，．
由在区间上为减函数，得的值域为．
所以的取值范围为，
故选B．
56．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围．
【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以，
由焦半径的范围可知，即，
则且，解得.
故选：B．
57．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解.
【详解】设，
的中点为，由，
得，
而，
故，
即，
整理得，
因为的任意性，此不等式恒成立，
故，即，
解得.
故椭圆的离心率的取值范围为.
故选：C.
58．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的渐近线斜率小于，可得，再结合椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，
所以，即，
设椭圆的焦距为，离心率为，
则，
可得.
故选：B.
59．（25-26高二·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围；
解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围.
【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等，
而，于是，即，
结合得又，故．
解法二：设点，则有，即，解得，
又因为，所以有，两边同时除以，可以解得．
故选：D.
60．（2025高二·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程，在时有实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围．
【详解】由已知，点，，，，，
则线段的方程为，则，
在线段上取一点，
，，
所以
，
由，得，
因为，所以，
从而，整理得，即，
即，即，
结合，解得．
故选：B．
61．（2025·黑龙江·模拟预测）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解.
【详解】由对称性可知，，
因为，，
所以当点位于长轴端点时最小，
由题可知，在椭圆上存在一点，使得，
只需当点位于长轴端点时，，即，故，
又，所以椭圆离心率的取值范围为.
故选：B

62．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围.
【详解】设，由，得，化简得，
即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点，
由消去得，即，
显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解，
则，解得，所以椭圆C的离心率.
故选：C
【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键.
63．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围.
【详解】由题可得圆半径为，因恒成立，
则.由椭圆定义，可得，
如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P，
当三点共线时最大，又，则，
即，取最值时，四点共线.
则，即，所以，即.
故选：C

64．（2025高三·湖北·期末）已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设AB中点为，则，，得到AB中垂线方程：，得出，进而可得结果.
【详解】设AB中点为且，则，，
由题意，点在线段AB中垂线上，
坐标代入椭圆方程得，所以，
所以AB中垂线方程：，
令，则，显然，故，
所以，，
故选:
考点10 由椭圆离心率求参数
65．（25-26高二·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（）
A．B．C．4或D．或
【答案】D
【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解.
【详解】当的焦点在轴上时，，
易知，则，解得；
当的焦点在轴上时，，
易知，则，解得，
所以的值为或.
故选：D
66．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（）
A．12B．C．12或D．或
【答案】C
【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解.
【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时，
此时，，解得，符合题意；
②当时，即椭圆的焦点在轴上时，
此时，，解得，符合题意；
综上，的值为或12.
故选：C
67．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】首先判断焦点在轴上，根据离心率求出，即可得解.
【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上，
因此，所以，故的短轴长为.
故选：B．
68．（2025高三·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（）
A．B．C．或4D．或4
【答案】D
【分析】根据题意，求出椭圆离心率，分焦点在轴或轴上讨论列出方程，即可求解.
【详解】易知椭圆的离心率为，
对于椭圆，
当焦点在轴上时离心率为，解得；
当焦点在轴上时离心率为，解得，
所以或.
故选：D．
考点11 椭圆的轨迹问题
69．（25-26高二·河南南阳·阶段练习）已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两圆内切半径关系可得：，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，则，，， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴点轨迹方程为.
故选：C.
70．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，得，设，结合，，得到，代入得到点的轨迹方程．
【详解】设，由已知得，，则，即，
所以，
设，因为，，
所以，，
所以，
所以，
所以，因此，即，
所以点的轨迹方程为．
故选：A.
71．（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹.
【详解】设，，由，可得①．
设，由于点在线段上，且，即，
所以，可得，即，
代入①式，可得，整理得.
故选：A
72．（2025·江苏·模拟预测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
73．（2025高二·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可.
【详解】设，因为，所以，
整理得，因为点是的中点，所以，
则，又，得到，
整理得，则点的轨迹方程为，故C正确.
故选：C.
74．（2025·新疆·模拟预测）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解.
【详解】设依题意有，即，
所以，即，所以，
故选：D.
75．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可.
【详解】设点，由轴于点，且，得，则，
又点是曲线上的任意一点，因此，
所以点的轨迹方程为.
故选：A
76．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简.
【详解】设，则由已知得，
化简得.
故选：C．
考点12 椭圆的实际应用问题
77．（25-26高二·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（）

A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长.
【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．
延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，
则OH是的中位线，于是，
而点在圆上，则的周长等于．

故选：D.
78．（2025高三·全国·专题练习）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（）
A．B．
C．D．和的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果；
【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线，
为弦的中点，连接，，
则水滴角，所以，由题知，，
所以，解得，所以．
将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系，
设椭圆方程为，则切点为，
易知椭圆在点处的切线方程为，
则此直线的斜率即水滴角的正切值，即．
因为点在切线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，因为，
所以.
故选：A．
79．（25-26高二·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程.
【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.
设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
由题可知，，即．
因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米，
所以，可得，
因此，结合选项可知A满足．
故选：A.
80．（2025高二·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（）
A．椭圆轨道的离心率为
B．圆形轨道的周长为
C．火星半径为
D．近火星点与远火星点的距离为
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项.
【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴，
以的方向为轴正方向建立直角坐标系，
则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，
则由已知，，
所以，，故离心率为，故A正确；
以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，
所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，
故B正确，C错误，
因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确.
故选：C．
81．（2025高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，

则椭圆方程为，
则，且，解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为，
又，所以.
故选：A.
考点13 直线与椭圆的位置关系
82．（2025高二·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.
【详解】因为直线过点，
而为椭圆的右端点和上端点，
故直线与椭圆相交.
故选：C.
83．（2025高二·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（）
A．相离B．相交C．相切D．不能确定
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.
【详解】，即，令，解得，
则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，
则直线与椭圆的位置关系为相交.
故选：B.
84．（2025高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（）
A．相切B．相交C．相离D．相交或相切
【答案】D
【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.
【详解】直线：，
令，解得：，，
所以直线恒过定点，
，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.
故选：D
85．（2025高二·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（）
A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.
【详解】由消去y并整理得：，显然，
因此方程组有两个不同的解，
所以与相交.
故选：A
86．（2025高二·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.
【详解】将直线l：变形为l：，
由得，于是直线l过定点，
而，于是点在椭圆C：内部，
因此直线l：与椭圆C：相交．
故选：A．

87．（25-26高二·山西晋中·阶段练习）直线与椭圆交点个数为（）
A．1B．2C．1或2D．无法确定
【答案】C
【分析】由直线过定点结合点与椭圆的位置关系判定选项.
【详解】由直线，得，即直线过定点.
又因为，所以此定点在椭圆上.即直线与椭圆有1个或2个交点.
故选：C.
88．（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，则直线的斜率
将与联立，利用韦达定理即可求解.
【详解】不妨设，，
则直线的斜率
将与联立，得，即，
由韦达定理得，所以，又，
所以，
故选：D.
考点14 椭圆的弦长问题
89．（25-26高二·江苏淮安·阶段练习）已知椭圆与直线交于、两点，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将直线的方程与椭圆方程联立，求出两个交点的横坐标，结合弦长公式可求得的值.
【详解】设点、，直线的方程可化为，
联立可得，解得，，
由弦长公式可得.
故选：C.
90．（2025·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把代入椭圆方程，即可得解.
【详解】不妨设为右焦点，则，
联立，解得，故．
故选：B．
91．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，为上关于原点对称的两点，若，则直线截的弦长为（）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】根据题意，设直线交于点，不妨设在第一象限，则，，求得直线方程与椭圆联立得，根据韦达定理解得，最后根据弦长公式计算弦长．
【详解】易知，设直线交于点，
因为，为上关于原点对称的两点，且，令，得，
如图，不妨设在第一象限，则，，则，
所以直线：，联立，得，
则，解得，
所以根据弦长公式可得．
故选：A.
92．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解.
【详解】设直线的方程为，由，得，
由，得，
则，
所以，
当时取到最大值，此时直线的方程为．
故选：B．
考点15 椭圆的中点弦问题
93．（25-26高二·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【详解】设弦的两个端点分别为，，
则，，
两式相减可得，
所以，
所以弦所在的直线方程为，即.
故选：B.
94．（25-26高二·陕西西安·阶段练习）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案.
【详解】设和为直线与椭圆的交点，且为中点，因此：
，
点和满足椭圆方程：
，
将方程 (1) 减去 (2)：，
因式分解：，
代入中点坐标：，
得：，
整理得：，
因此，斜率 .
故选：B
95．（2025高二·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可.
【详解】设，
因为为线段的中点，所以，
由，两式相减可得：，
整理得，即，
所以，则，即椭圆的焦点在轴上，
即，则，
所以.
故选：B.
96．（2025高二·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程.
【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设，
则，两式相减得，
而，因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：A
97．（2025高二·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得.
【详解】设，则，
两式相减得：（*），
设弦的中点坐标为，则，
因直线的斜率为1，即，
分别代入上式（*），整理得：.
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.
故选：A.
98．（2025高二·云南玉溪·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的中点坐标利用点差法求得，再由计算可得答案.
【详解】设椭圆方程为，
易知直线的斜率为；
设，则，所以，；
易知，两式相减可得；
即，可得，
又，可得，所以；
即椭圆的方程为.
故选：A
考点16 椭圆的面积问题
99．（2025高三·全国·专题练习）直线与椭圆相交于两点，该椭圆上存在点，使得的面积等于1，这样的点共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】设与原直线平行且过点的直线．，由条件结合三角形面积公式，平行直线距离公式可求，求直线与椭圆的交点可得结论.
【详解】设与原直线平行且过点的直线．
原直线和椭圆都过点
，，到的距离，
按照平行直线间的距离公式可得，
所以或，
联立可得或，
直线与的交点有2个，
联立可得，
因为，所以方程组的解集为空集，
所以直线与的交点不存在，
所以满足条件的点共两个，
故选：B．
100．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆：的焦点为，，椭圆上有一点处于第一象限，且，则的面积为（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】设，根据向量加法的平行四边形法则得到，再根据其模长可得关于的等式，联立椭圆方程即可求出的值，再利用纵坐标的绝对值求三角形面积即可.
【详解】
设，为坐标原点，由，
，与，，
.
故选：C.
101．（2025高二·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知面积关系可得，即可求解.
【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则，
由题设知，且，故，
所以.
故选：D
102．（2025高三·湖南·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，关于原点对称的点在上，若，则四边形的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由对称性，且，四边形是矩形，则结合定义求即可.
【详解】由已知，，，
则，
由已知，关于原点对称，且，则四边形是矩形，
则，，
联立解方程，可得.
故选：B.
103．（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为．
(1)求E的方程；
(2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程；
（2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积.
【详解】（1）不妨记E的半焦距为c，则，解得，
故E的方程为．
（2）当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去；
当直线AB的斜率不为0时，记，联立，
消去可得，显然，设，，
则，，
于是，
，
即，可得（舍）或，故，
故：，故O到的距离，
故的面积．

104．（25-26高二·江苏南京·期中）已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆离心率；
(2)若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标、将代入方程可得椭圆的标准方程，再关系及离心率公式求解即可.
（2）利用斜截式方程求出直线的方程，设过点且与平行的直线为，与直线距离为，则，求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，可求出的坐标，再利用直线的两点式方程即可求解.
【详解】（1）由题意，，
将代入椭圆方程，得，即，
故椭圆方程为：，
所以离心率.
（2）直线斜率，其方程为，即，
设点到直线的距离为，而，
由，解得，则，
整理得或，
由，解得或，而无解，
当时，此时方程为：，即，
当时，此时方程为：，即.
105．（25-26高三·山西·阶段练习）已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；
（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）由题意得：，即则，
所以的标准方程为：.
（2）由题意设，
联立，消去得：，
则，
则，
可得，
设直线与轴的交点为，且，则，
故，解得.
106．（25-26高二·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可；
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．
【详解】（1）因为点是椭圆的右顶点，所以.
又，所以.
又，所以
所以椭圆的方程为.
（2）由题意得直线l的方程为：，
设，
联立，消y，得，
，
，
到直线的距离，
.
107．（25-26高二·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
(3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）根据题意求出即可得解；
（2）求出与直线平行且与椭圆相切直线方程，则切线与的距离即为最值；
（3）设直线的方程为，则直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式求出，利用两平行直线间的距离公式求出间的距离，从而可得出四边形的面积的表达式，进而可得出答案.
【详解】（1）由题意得，
因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设与直线平行且与椭圆相切直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
平行直线与的距离，
所以，
所以点到直线距离的最大值为，最小值为；
（3）由题意可得直线的斜率不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消得，
设，
则，
则，
直线之间的距离，
则四边形的面积，
令，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，所以，
由椭圆的对称性可得四边形的面积，
所以四边形的面积的取值范围为.
108．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.

(1)求椭圆的离心率e；
(2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
(3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为；
(3)，此时三角形面积的最大值为1.
【分析】（1）根据椭圆方程确定椭圆参数，应用直接法求离心率即可；
（2）联立与得到一元二次方程，由已知向量的线性关系及其坐标表示得，结合韦达定理求出答案；
（3）先联立椭圆与直线，应用韦达定理表示出，结合为定值得，并求出，和点到直线的距离，利用基本不等式得.
【详解】（1）由，则，故，所以离心率；
（2）由题设，联立与得，，

设，则，
因为，所以
；
（3）由题设，联立，消元得，设，
当，即时，则，
，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.
109．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形．
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：．求证：与面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程；
（2）依题求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，即可求得以为直径的圆的方程；
（3）设直线的斜率分别为，写出直线的方程并与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可推得，由，写出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证.
【详解】（1）因是边长为4的等边三角形，则得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）因，直线的斜率为，则直线的方程为
联立，解得和，即，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
所以所求圆的方程为：.
（3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由，直线的方程为．
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以．则，
所以．
由，所以直线的方程为．
由，解得．
所以，
即与面积之比为定值．

考点17 椭圆的最值问题
110．（25-26高二·河南郑州·阶段练习）已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（）
A．16B．17C．19D．20
【答案】C
【分析】由为圆N：的任一直径，得到，且，求出，设，代入椭圆方程得到，又，求出，根据，解出，结合二次函数的图像求出最大值.
【详解】为圆N：的任一直径，，且，，设，则有，解得，又，，，，当时，取得最大值20，此时，的最大值为19.
故选：C.
111．（2025高三·全国·专题练习）过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件得到点的轨迹是直线，再转化为点到直线上一点距离的最小值问题.
【详解】设，，
因为，，
化简可得，，
于是，，
整理得，
因为点、在椭圆上，则，
所以，
即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，
所以，
故选：D.
112．（2025高三·全国·专题练习）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点.若是弦的中点，则的最小值为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】设直线的参数方程为（为参数），与椭圆方程联立，由韦达定理得，进而得，进而求解.
【详解】根据题意，设直线的参数方程为（为参数），
联立代入，得且．
设点对应的参数分别为，则有，
则，
所以，当时取得等号，
故选：C．
113．（25-26高三·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据离心率，以及点在椭圆上，即可代入椭圆方程中，联立求解；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，根据面积公式，结合基本不等式即可求解；
（3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得两个点的坐标，根据斜率公式，代入韦达定理化简可得，即可根据直线的斜率范围求解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为
（2）,
设直线,
联立可得，
故，
当且仅当，即时取到等号，
故的面积的最大值为.
（3）设直线
联立可得，
则，又，
所以，，
同理可得，
故
,
由于位于第一象限，故，
因此
114．（25-26高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为.
①求证：为定值；
②点G为CF中点，若求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可.
（2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可.
【详解】（1）由题意知，
因为，所以，所以.
所以，解得，则.
所以椭圆的标准方程为.
（2）①，直线的方程为.
联立该直线与椭圆方程得，化简得.
由，解得.
设，（），
由韦达定理可得.
所以
，
所以为定值，定值为.
②设直线的方程为，即.
令，则，所以.
设直线的方程为，同理可得.
则由①知，所以，
所以；
.
又，所以.
由方程（），
可得
所以，
令，
则
所以的范围是.

115．（25-26高三·上海·阶段练习）已知曲线C：.
(1)若曲线C为双曲线，且渐近线方程为，求曲线C的离心率；
(2)若，过点的直线与直线交于点M，与椭圆交于B，点B关于原点的对称点为C，直线AC交直线于点N，求线段MN的长的最小值；
(3)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且在曲线C上．点A、B在曲线C上（P、A、B互不重合），若直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，求线段AB的长的最大值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出离心率；
（2）依题求出椭圆方程，设直线的方程，联立方程求得点，，由对称性得到点，即得直线的方程，令，求出点的坐标，得到的表达式，再根据基本不等式进行求解即可；
（3）依题求出椭圆方程，设直线的方程，联立方程求得点，同理求得点，利用两点间的距离公式表示出线段AB的长，结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为曲线：为双曲线，
若焦点在轴上，则，且，解得，
又渐近线方程为，则，即，解得或（舍去），
此时曲线的离心率；
若焦点在轴上，则，且，解得，
又渐近线方程为，
则，即，解得（舍去）或，
此时曲线的离心率，
综上可得曲线的离心率为或.
（2）当时曲线：，
依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），可设其方程为，
联立，消去并整理得，
解得，则，即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，故直线的方程为，
当时，解得，即，又易得，则，
则，因为，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为，故的最小值为．
（3）依题意，解得或，
当时曲线：，为焦点在x轴上的椭圆，符合题意；
当时曲线：，为焦点在y轴上的椭圆，不符合题意；
依题意，可设直线的方程为，
联立得，
可得，
，则，解得，
因直线PA与PB的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，同理可得，
则，，
则，
当且仅当，即时等号成立，经检验符合，
所以线段AB的长的最大值为.
考点18 椭圆的向量问题
116．（25-26高二·安徽阜阳·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在直线上，，为坐标原点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设出坐标，根据垂直关系得到坐标关系，然后将坐标关系代入数量积得到结果.
【详解】设，则，
因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
117．（25-26高一·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】对于椭圆，
则，，，
所以、，
设点，其中，且，故，
所以，，
故，
故当时，取最小值.
故选：A.
118．（2025高二·四川·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率.
【详解】
由题意得，，
∴椭圆的离心率为.
设直线的倾斜角为，根据焦比定理得，
由得，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，即直线的斜率为.
故选：D.
119．（2025高二·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可.
【详解】椭圆的右顶点，上顶点，
设，则，
由可得，解得，即，
又由，则，
将代入椭圆方程，得，
即，解得或（舍），所以.
故选：A.
120．（2025·福建南平·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案.
【详解】因为椭圆的焦点为，，
所以设椭圆的方程为：,
设，，，
则，因为，
所以，所以，
所以，又因为，
所以，所以，
所以，所以或，
因为在上，所以，即，
解得：或，因为椭圆的焦点在轴上，
所以.故的方程为.
故选：D.

121．（25-26高三·青海西宁·阶段练习）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算求，再利用离心率即可得解；
（2）利用韦达定理，结合斜率公式计算即可得；
【详解】（1）由题意知，则，
所以，即，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为；

（2）直线，，
由，得，
则，所以，
因为椭圆的左，右顶点分别为，所以，
所以.
122．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出的方程，求解即可；
（2）设出直线l方程与椭圆联立，利用坐标表示出向量关系，结合韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意得解得
所以．所以C的方程为．
（2）依题意可设直线l的方程为（k存在，且），
联立消去y得，
设，，则，且，
因为，，所以，，
由，可得，所以，
由，解得，
所以直线l的方程为．
123．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）求出椭圆和双曲线的离心率，即可得出的值；
（2）求出椭圆方程并设出两点的坐标，利用对称求出直线方程，让直线与椭圆联立，并利用韦达定理求出，设直线中点的坐标并用参数表达，得出与的表达式，利用求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意，
在椭圆：中，离心率为，
在双曲线C：中，离心率为，
∵，
∴，解得．
（2）由题意及（1）得，
因为，所以：，
对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，
设，，
∴直线方程为，
联立消去y得，
由，解得，
故，
∴，
，
设直线AB中点为，
则，，
又点P在直线l上，所以，则，
又因为，，
所以，
∵，
∴，解得且，
∴．

124．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为，且，求实数的值．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）设直线，，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，分和两种情况，得到或，从而利用得到答案.
【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C：；
（2）由题知直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，故，
且，，

故，
解得，所以，
若，则，，解得或，
因为，所以，
若，则，若，则，
若，同理可得或，
综上，或.
125．（2025高二·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知.
（ⅰ）证明：P、M、Q三点共线；
（ⅱ）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线；
（ⅱ）计算出，得到的取值范围为.
【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆，
其中，解得，，故C的方程为；
（2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，.
联立得，
由韦达定理得，，
则直线PM的方程为，
即，
其中
，
则直线PM的方程为，
故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线；
（ⅱ），
，
因为，所以，，
所以的取值范围为.
126．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.
(1)求的值；
(2)直线与交于点，求证：.
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【分析】（1）法一：设，求出直线的方程并与椭圆方程联立，求得点的坐标，利用向量的坐标计算化简即得；法二：设，写出直线的方程，将代入求得点的坐标，利用和的坐标计算即得；
（2）将待证等式等价转换为证明.对应（1）中的法一与法二：利用向量坐标的数量积运算得到即可.
【详解】（1）
法一：设，则直线，
与椭圆方程联立，得，
则由，
且，故，则.
所以.
法二：设，则
则直线的方程为：，令，代入即得.
所以.
（2）因为，
所以，要证，只需证，即证.
对应（1）中的法一：因为，，，，
所以
，
于是.
或者：因直线，直线，即，
联立，解得.
因为
，所以.
对应（1）的法二：因为，
所以，要证，只需证，即证.
因为，，，，
所以，
于是.
考点19 椭圆的证明问题
127．（25-26高二·安徽滁州·阶段练习）如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆方程，表示出点的坐标，利用得，结合和关系得到椭圆的方程；
（2）先求出的坐标，设出的坐标，分别求出直线与轴交点的横坐标表达式，再计算它们的乘积，结合椭圆方程证明其为定值.
【详解】（1）由题意可知，，，，，
，
，
即，
，
，
，
，
又，
，，，
椭圆方程为；
（2）由（1）得，则，
设，则有，
直线的方程为，
令，整理得，
同理可得点的横坐标，
所以点，的横坐标之积，
因为，所以．
故点，的横坐标之积为定值．
128．（25-26高二·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的方程：，点是椭圆的右焦点.
(1)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点.求的最小值；
(2)以坐标原点为圆心，以为半径的圆记为圆.平行四边形的四个顶点均在椭圆上，圆内切于此平行四边形.
（i）证明：四边形为菱形；
（ii）求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；
（2）（i）当直线的斜率不存在，或为零时，四边形为正方形，符合题意；当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，与椭圆方程联立韦达定理，根据圆内切于四边形求得，结合韦达定理，利用数量积坐标运算得，则，此时平行四边形为菱形，即可证明.
（ii）当四边形为正方形时，；当四边形不为正方形，而为菱形时，先求出，再代入面积公式得，令，根据二次函数性质求得的最大值，对比即可求解菱形的面积最大值.
【详解】（1）因为切线交轴于点，所以，则，
因为点在椭圆上，所以，即，
又，
由于，所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；
（2）（i）当直线的斜率不存在，或为零时，圆内切于正方形，
四个顶点为，显然满足椭圆的方程，符合题意，
此时四边形为菱形；
当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，，，
由得，
则，
，，
所以，
因为圆内切于平行四边形，所以到直线的距离为，
则，整理得，
所以，
则，此时平行四边形为菱形.
综上可知，四边形为菱形.
（ii）由（i）知，当四边形为正方形时，；
当四边形不为正方形，而为菱形时，
因为，
所以的面积为，
令，则，，
所以，
当，即时，取得最大值.
因为菱形的面积等于，所以菱形的面积的最大值为，
因为，所以菱形的面积最大为.
129．（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，为上位于第一象限的一点，当轴时，．
(1)求的方程；
(2)设为上不与重合的两动点，且直线的斜率之和为0．
（ⅰ）设的纵坐标为，求直线的斜率；
（ⅱ）设外接圆的圆心为，圆在点处的切线为，证明：与有且仅有一个公共点．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到，将将点代入抛物线的方程，求得，即可抛物线的方程；
（2）（i）设，则，不妨设在的左侧，根据斜率公式，分别求得，结合，得到，进而求得直线的斜率；
（ii）设为抛物线在点处的切线，转化为证明与圆相切，利用导数的几何意义，求得，取上点左侧一点，结合圆的性质，即证，利用两角差的正切公式，化简，即可得证，得到答案.
【详解】（1）解：由抛物线，可得焦点，
因为为上位于第一象限的一点，且，所以，
将点代入抛物线的方程，可得，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）解：（i）设，则，不妨设在的左侧，
根据题意，可得，同理可得，
因为直线的斜率之和为，所以，
即，整理得，
所以.
（ii）设为抛物线在点处的切线，要证明即为，即与圆相切，
由函数，可得，所以，
要证与圆相切，取上点左侧一点，
结合圆的弦切角定理的逆定理，即证，只需证，
即证，即证，
即证，
由（i）知，即证，
即证，即，成立，
所以即为圆的切线，所以直线与圆有且只有一个公共点.
130．（25-26高三·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)过不与坐标轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点．
（i）若M为AB的中点，O为坐标原点，设AB，OM的斜率分别为，，求；
（ⅱ）过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，证明：直线AQ与BP的交点的横坐标为定值．
【答案】(1)
(2)（i）（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出椭圆标准方程即可；
（2）根据椭圆和直线的位置关系，以及韦达定理，设出点的坐标，写出斜率的代数式和中点坐标，求出斜率的积，再根据直线的性质，求出直线方程，证明其交点的横坐标为定值即可.
【详解】（1）因为，所以，因为离心率为，所以，则，
所以椭圆标准方程为.
（2）（i）

如图所示，由（1）可知，，则过不与坐标轴垂直的直线设为，
联立方程组得，消去得，
化简得，易知，
设，根据韦达定理可知，
则，
可知中点，则，
所以.
（ⅱ）

如图所示，设，则直线方程为，
直线方程为，
联立方程得，消去得，
解得，因为，
代入得，
由韦达定理得，代入得，
所以直线AQ与BP的交点的横坐标为定值4.
131．（25-26高二·四川成都·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为､，右顶点为，过左焦点的直线交椭圆于､两点，的周长为8，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)直线､分别交轴于､两点，证明：､､､四点共圆.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意求出进而求解；
（2）设直线单调方程为：，与椭圆方程联立得，设，进而得，即，得，令，利用导数得的单调性，利用单调性求最小值即可求解；
（3）由，所以直线的方程为：，进而得的坐标，同理得坐标，即可计算，进而得，，利用圆的性质即可得证.
【详解】（1）由题意有：，又，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）有，设直线方程为：，
所以，所以，
设，
所以，
所以
，
令
在单调递增，
当时，面积的最大值为.
（3）由，所以直线的方程为：，
令，，所以，
同理，
所以，
所以
，
，
所以，
同理，
所以四点共圆.
132．（25-26高二·江西赣州·阶段练习）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点．
(1)求的方程；
(2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）数形结合可得出的值，即可求出方程；
（2）分点是矩形的顶点、点不是矩形的顶点两种情况讨论，若点不是矩形的顶点，设，分别与椭圆方程联立，得出是一元二次方程的根，利用韦达定理即可求证.
【详解】（1）依题意，，，则，，半焦距，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，以为直径的圆的方程为，
当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时；
当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线，
由消去得：，
由，
化简得，
设直线的方程为，同理得：，
于是是关于的一元二次方程的两根，
则，，
又，因此，则，即，
所以是直角三角形.

133．（25-26高三·江西·阶段练习）设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
(1)设点，求的最小值；
(2)证明：的面积不小于；
(3)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【分析】（1）设点，根据两点距离公式，可得，结合二次函数的图像性质即可求得其最小值；
（2）设切线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，根据三角形面积公式结合不等式即可求得面积的最小值；
（3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，可得，故要证，只要证明即可．根据椭圆的定义和直线的斜率公式，分别计算直线、和的斜率，即可证明.
【详解】（1）设点，，，
则，
又为椭圆上一点，所以，整理得，
代入得，
故当时，取得最小值．
（2）设过点的切线方程为，
联立，得，
故，即，
解得，
故，即，
将其代入直线方程中得，故，
则直线方程为，易得，
故的面积．
又，即，当且仅当时取等号，
故，即原命题得证．
（3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，则，
根据椭圆方程，得，，，

因为，
所以，
故要证，只要证明即可．
①当时，得，则，，，
所以，而，
易知，，所以，故.
②当时，，
又，，
则，
因，则，
由，
可得，
易知，，所以，故.
134．（25-26高三·广东·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点.
(1)求的方程；
(2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线过点求出的值，再结合渐近线方程求出的值，即可得到双曲线的方程.
（2）先求出双曲线的上焦点坐标，设出直线的方程，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点横坐标的和与积，再计算直线和直线的斜率之积为，即可得证.
【详解】（1）由已知得，，故，C的方程为.
（2）证明：由（1）得双曲线的上焦点为，设直线，，，根据题意作图如下.
联立，得，，
所以，，
所以直线和直线的斜率之积为
，
因此.
考点20 椭圆的探索性问题
135．（25-26高三·山东青岛·阶段练习）已知M，N是椭圆上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线与x轴、y轴分别交于S，T两点．
(1)若直线与斜率之积为，证明：为定值；
(2)点关于x轴的对称点为H，设的面积分别为，且．
①求直线的斜率；
②是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②存在；或
【分析】（1）设,由题意得，又M，N在椭圆上，得进行求解；
（2）①因为，得．所以与关于直线对称，所以，由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆联立进行求解；
②由①知直线的方程为，由，进行求解．
【详解】（1）证明：设，
由题意得，所以，
又M，N在椭圆上，所以，，
得，代入得，
所以.
（2）解：①因为，
得，即．
所以AM与AN关于直线x＝1对称，所以，
整理得，
由题意得直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，
与椭圆联立得，
所以，，，
代入得
，
整理得，解得或（MN不过点A，舍去），
得直线的斜率为．
②由①知直线MN的方程为，
联立与椭圆得，
，，且应满足，
，得，过M，N两点分别向x轴作垂线，垂足分别为，
则，
得，解得（舍）或，
所以存在直线MN，其方程为或．
136．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6.
(1)求的方程；
(2)已知是上一动点，，当为的右顶点时，取得最小值，求的取值范围；
(3)若动直线与交于点，点是轴正半轴上异于点的一定点，若直线的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值.
【答案】(1)
(2)
(3)，.
【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，再利用椭圆的定义可得，即可得椭圆方程；
（2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解；
（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解.
【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得，
又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
，
因为当为的右顶点时，取得最小值，
即时，取得最小值，
所以，即，
所以的取值范围是.
（3）设，（且），，，
将与联立得，
则，，
又分别为直线的倾斜角，
因为，
所以为定值，
又
，
又为定值，则，所以，
当时，，为定值，
，
所以，.
137．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，D为线段AB的中点，且，（O为坐标原点）.
(1)求的面积；
(2)过F的直线交C于P，Q两点，记点O，A到直线PQ的距离分别为，，则是否存在最大值？若存在，求出最大值及PQ的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，最大值为，的方程为
【分析】（1）根据题意得，，，结合，，解得即可得到的面积；
（2）由（1）得椭圆C：，设PQ的方程为，，，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式得，由，得，得，求得取最大值时的的值即可得解.
【详解】（1）因为，所以，①
因为为右顶点，为上顶点，
所以，，.
因为为线段的中点，所以，.
又，所以.②
联立①②并结合，解得，，，
故.
（2）存在最大值.
由（1）得椭圆C：.
易知直线PQ斜率不为0，（当直线PQ斜率为0时，点O，A到PQ的距离均为0，此时无意义）
设PQ的方程为，，，
联立
消去得，
则，，
故，
由（1）得，，
所以，即，（分别过点O，A作PQ的垂线，垂足为M，N，则，故由弦长的数量关系得，间的数量关系）
所以，
当且仅当时等号成立，
所以存在最大值，最大值为，此时的方程为.
138．（2025高二·福建泉州·期末）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为．F为E的右焦点，P为E上一点，轴，的半径为PF．
(1)求椭圆E和的方程；
(2)若直线l：与交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)椭圆的方程为，的方程为；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出得椭圆的方程，再求出的方程.
（2）设出、的坐标，求出、，根据条件得到，利用韦达定理代入即可得到结论．
【详解】（1）设椭圆的方程为，由离心率，得，
由以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，得，
解得，椭圆的方程为：，，
由轴，得，所以的方程为：.
（2）由在圆上得，设，，
则，同理，
若，则，即，
因此，
由得，
因为，
所以，
于是，即，无解，
所以不存在k使.

考点21 椭圆的定点问题
139．（2025高二·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点.
【详解】因为，所以，
①假设过点的直线过原点，则，代入，
可得，，代入方程，可得
，由得到.求得FN方程：
，过点.
②分析知过点的直线斜率一定存在，设.
联立得，
可得，则
因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为，
又，则，根据中点坐标公式计算得，
直线的斜率，直线的方程为，
假设直线经过定点，代入为验证，
即验证，
即验证，
即验证，
将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立.
所以直线过点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用特殊情况探讨出定点，再就一般情况验证是求解问题的关键.
140．（2025高二·河北·期末）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点.
【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为，
∴解得，∴椭圆C的方程为．
设切线方程为，则，即，
设两切线AB，AD的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：，
∵由，消掉y得，
设，∴，
同理可得，
∴，
∴直线BD方程为．
令，得
∴故直线BD过定点．
故选：A
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
141．（2025高二·江苏·阶段练习）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解.
【详解】因为，在椭圆上，
且，当时，由，
得，
设线段PQ的中点为，所以，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，
即，该直线恒过定点
当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，
故线段PQ的垂直平分线恒过定点
故选：A．
142．（2024高二·江苏·专题练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点）.直线过定点（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件列方程求，由此可得椭圆方程，两切线的斜率分别为，由切线性质可求，求直线方程，确定其过定点.
【详解】椭圆的上顶点为，离心率为
解得
椭圆的方程为.
设切线方程为，则
即
设两切线的斜率分别为，
则是上述方程的两根，根据韦达定理可得:
由，
消掉得
设

同理可得
直线方程为
令，得，
故直线过定点.
故选：A.
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
143．（2025·广东清远·模拟预测）已知椭圆过点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为．
①证明：直线过定点；
②求四边形面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)①过定点，证明见解析；②.
【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程；
（2）①根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点.
②由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值.
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且.
所以，，即，得，
代入，得，即，所以.
故椭圆的标准方程为.
（2）①当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为.
因为右焦点，直线的方程为，设.
由，消去得，.
，，.
所以线段的中点M的坐标，，即.
同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成），
所以线段的中点N的坐标，，即.
所以的斜率，其中，直线的方程为
，化简，即
所以当，直线：过定点.如图：

当时，，此时直线与轴垂直且过定点；
当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点；
当直线的斜率不存在时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知，
此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点；
当直线的斜率为0时，与与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知，
此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点；
综上可知，直线过定点.
②当直线的斜率存在且不等于零时，
由①可知，
同理可得（只需将换成），因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值.
当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换，
此时，，或者，
所以，显然.
综上可知，所以四边形面积有最小值.
144．（25-26高三·上海虹口·阶段练习）已知椭圆，点P为C的上顶点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值；
(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)过定点，
【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值.
（2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值.
（3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点.
【详解】（1）由题，，．
所以离心率．
（2）由题可知，设，
则，．
由于，
所以当时，PT取到最大值为．
（3）如图：

设，，．
因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以.
所以，故，则，
，
即．
故，所以或（因为，故舍去）．
当，，过定点.
因此直线过定点．
145．（25-26高二·四川内江·阶段练习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点.
①求动点的轨迹；
②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①（）；②存在，.
【分析】（1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可；
（2）①利用相关点代入法求轨迹方程即可；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解.
【详解】（1）由题意，，所以，
而，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）①设，，由题意得，
直线的方程为：，
直线的方程为：，
所以，
因为在椭圆上，所以，
可得，所以，
所以，即，
因为不与重合，所以，
所以的轨迹为（）.
②设过点的直线方程为，，
，可得，
所以，，
设，
因为，
所以，
则，
即，
，
即，即，
所以，
因为不恒为0，所以，所以，
所以在轴上存在定点，使得，此时.

146．（2025高二·广西梧州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点；
①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；
②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）根据题意，求出得解；
（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围.
【详解】（1）由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则，
所以由，即椭圆C的标准方程为.
（2）①直线过椭圆右焦点可得：，即，
所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：
，
设两交点，则有，
所以，
又椭圆左焦点到直线的距离为，
所以，
解得：或（舍去），即；
②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点，且，可知直线方程为，
与椭圆联立方程组，消去得：，
由，且，解得，
设两交点，中点，则有，且，
所以，
即，整理得，
又因为，所以，当且仅当，即，
所以，则.

147．（25-26高三·浙江·开学考试）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N.
①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）；
②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①；②存在，
【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解；
（2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可；
②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可.
【详解】（1）由题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）①设直线的方程为，
且，，即，
联立，得，
则，即，
且，
则
，
即点横坐标为.
由①知，，，
则，即，
设，与①同理可得，
则
，
则，
设直线，
则，
则，
又，则，
则直线，
所以直线过定点，
则为中点时，则，
，则，
因此，存在定点，使得为定值.
考点22 椭圆的定值问题
148．（25-26高三·贵州·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，是线段的中点，是坐标原点，记直线的斜率为．
(1)证明为定值，并求出该定值
(2)若，求的面积．
【答案】(1)证明见解析，该定值为
(2)
【分析】（1）先根据椭圆方程求出焦点坐标，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理求出中点坐标，进而求出直线的斜率，即可证明为定值并得到该定值．
（2）利用（1）中的结论求出直线的斜率，进而得到直线的方程，再结合韦达定理求出弦长，求出点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：由已知椭圆，则，，
所以，即得点，点.
设直线，点，点，点.
联立，消去得，整理得，
依题意有，所以，，
又是线段的中点，所以，，
因此，所以.
综上，为定值，且该定值为.
（2）根据已知作图如下.
由（1）可知，直线，
又，所以，则直线，即.
又由（1）可知，，则，，
所以，
而点到直线的距离，所以.
综上，的面积为.
149．（25-26高三·广东·阶段练习）如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：是定值；
(3)求三角形的周长．
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据焦点坐标可求，故可求椭圆方程；
（2）如图，延长交椭圆于，利用对称性结合弦长公式、韦达定理可求的值;
（3）利用椭圆定义结合三角形相似可求，故可求三角形的周长．
【详解】（1）由题设，椭圆的半焦距为且焦点在轴上，故且，
故，故椭圆方程为.
（2）

如图，延长交椭圆于，由对称性可得.
因为直线与直线平行，故直线的斜率不为零，
设，直线，则，
则.
由可得，
故，，，
故，
故.
（3）因为，所以，
即，即．
所以．
由点在椭圆上知，，所以．
同理可得，．
所以
．
而，故三角形的周长为.
150．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的周长为6，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)为定值，理由见解析.
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
（2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得，同理得，再计算即可.
【详解】（1）由题意，可得，又，
所以椭圆C的方程为；
（2）
由题，得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得，，
设，则，，
又，则，
由得，所以，同理得，
所以
所以为定值.
151．（25-26高三·山东聊城·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，记动点P的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程.
(2)已知，点A，B在轨迹C上，且在x轴的同侧，，交于点G，证明：为定值.
【答案】(1)+=1
(2)证明见解析
【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意写出等式，进而化简可得结果；
（2）设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，由题意，可求，进而结合，把用的来表示，从而化简可得证明.
【详解】（1）设动点P的坐标为，
因为动点P到点的距离与到定直线的距离之比为，
所以，
两边同时平方可得，
，
，即.
所以轨迹C的方程为.
（2）证明：设直线的倾斜角为θ，过点A作直线l的垂线，垂足为H，如下图：

由题知，，
因为，
所以，即，
利用对称性，同理可得，
于是.
因为，所以，
所以===，
所以，
同理可得，
所以
（定值）.
152．（25-26高三·天津南开·开学考试）已知的左焦点为上一动点，射线与交于点，点在的切线与点在的切线交于点，求证：点的横坐标为定值.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将直线的方程表示出来，联立直线方程组即可求出点的横坐标为0.
方法二：设，根据已知条件列出等式，然后求得直线的方程，最后联立方程组即可得到结果.
【详解】法一：设，令
则，，联立方程解得
因有①，
将代入①得（因）代入（）得
法二：设，令
则①代入得
又，则，代入①得②
，将②代入得，整理得
③，又④，联立③④得
因，故
考点23 椭圆的定直线问题
153．（25-26高三·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为．
(1)设点的轨迹为，求曲线的方程；
(2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程；
（2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上.
【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得，
，整理得：，
由于直线与两直线的斜率一定存在，则，
所以点的轨迹为的方程为：.
（2）

设斜率为的直线与曲线相交于两个交点，
则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得：
，
由韦达定理可得：，
而，
设中点，则，
从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上.
154．（2025高二·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，求直线l的方程；
(3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)椭圆C的标准方程为；
(2)直线l的方程为；
(3)点N不在定直线上
【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程.
（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解.
（3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上.
【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距），
且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为．
由离心率，可得，
因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即，
将代入，可得，解得，那么，
根据，可得．
所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，，因为直线l过，
当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足，
所以直线l斜率存在，设直线l的方程为．
联立直线与椭圆方程，消去y可得：
，
由韦达定理得，．
因为，所以，
即，也就是．
将代入，可得，即，．
再代入，可得，
解得，
所以直线l的方程为．
（3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在，
设直线AB方程，令，得，所以．
由过点，且，则是PQ中点；
当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点，
此时不妨取，
则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有，
由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意，
故，
结合椭圆对称性可知，设，，
则，．
由，两式相减得：
将，代入上式，可得，
因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为．
联立，可得，，，
不妨设，,其中，
由（2）知，设，，不妨设，
由，．
故当时，则，又由，
可解得，
则，且，
此时交点；
故当时，则，又由，
可解得，
，
且，
此时交点；
当时，，则，，
，，
此时交点；
，，
因为，
所以不共线，故动点不在定直线上；
同理由对称性可知，当时，也不在定直线上，
综上可得，动点不在定直线上.
155．（2025高三·北京海淀·阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程及长轴长；
(2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：．
【答案】(1)椭圆的方程为，椭圆的长轴长为
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据题意列方程组求出即可求解；
（2）欲证，只需证明，由题意知斜率存在，设，联立椭圆方程，结合韦达定理得的坐标，求得方程，联立，可得，由题意得，求得方程，联立得，对比，即可得证.
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为；
（2）
由题意知斜率存在，设，
联立与得，，化简得，
由韦达定理得，，
所以，
而直线，从而，
因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称，
根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称，
所以，而，
所以，显然，所以，
所以直线的方程为，
联立与，得，
即，
化简得，即，
因为，所以，
所以.
考点24 椭圆的综合问题
156．（2025·广东广州·模拟预测）已知曲线，（，），当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“2~1椭圆群”.

(1)若“2~1椭圆群”中的两个椭圆、，对应的分别为、（），如图所示，若直线能与椭圆、依次交于，，，四点，证明：；
(2)当（）时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设.
（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；
（ii）令数列，求证.
【答案】(1)证明见解析
(2)（1）证明见解析，；（2）证明见解析
【分析】（1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论；
（2）（i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结论并得到通项公式；（ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出新数列的不等式，利用裂项相消法求前项和即可证得结论.
【详解】（1）由题意，联立方程可得，
时，由图可知，椭圆与直线的交点为点、，
设，，则，
同理，将与直线联立可得：，
时可得，
则线段的中点与线段中点重合，设为点，
即有，，所以，即.
（2）（i）由题意，联立方程可得，即.
因为交点在第一象限内，所以点的横坐标，
同理可得点的横坐标，
则.
由于，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为；
（ii）由（i）可知，，则.
设，设，，
由时，，可得，
，
所以，由.
，
.
即得证.
157．（25-26高三·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过的直线 (不与轴重合) 与交于两点，过分别作平行于轴的直线与直线分别交于两点，直线与轴的交点为，设直线与直线的交点为．记的面积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率公式得，再设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，再求证得直线恒过点．从而有，最后结合等比数列通项公式即可得到答案；
（2）由对称性分析得直线也恒过定点，计算出的表达式，再利用三角形面积公式得到面积表达式，最后结合换元法和基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）因为，
所以，椭圆，焦点．
设直线的方程为，代入椭圆，
可得：．
设点，
由韦达定理，可得．
直线的斜率，其方程为，
令，可得
，
所以直线恒过点．
又直线与轴的交点为，所以，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
（2）由对称性可知，直线也恒过定点，
故两直线与的交点为．
所以
，
所以，而，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
且为单调递减数列，所以的所有项的最大值为．
令，则，
故，
当且仅当，即时，取最大值，
所以数列的所有项的最大值的最大值为．
158．（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称为格点，若曲线上存在3个格点构成三角形，则称为“3格曲线”.
(1)若椭圆为“3格曲线”，求的离心率；
(2)若椭圆上存在个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为的左顶点的概率为，求；
(3)若直线上存在2个格点，使得，其中为曲线：与轴正半轴的交点，求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)或1或3或.
【分析】（1）根据“3格曲线”定义，建立不等式求解得，代入计算得，计算即可求解；
（2）分,,三种情况，计算即可求解；
（3）根据，结合题意得，设，计算可得，结合，分类讨论求解即可.
【详解】（1）由题可知，的左顶点，右顶点是两个格点.
因为，所以的上，下顶点不为格点.又为“3格曲线”，所以上至少存在一个异于椭圆顶点的格点，则，则，
由，可得，解得，
则的离心率；
（2）由（1）可知，当时，是上的格点，且，
此时上有，共6个格点，
则
当时，易知上有，共4个格点，则，
当时，易知上有，共2个格点，不符合题意，
故；
（3）因为是直线上的两个格点，所以，
显然，则，即.
又，所以，不妨设.
当，时，，且.
则，得,
当时，
若，则，解得,
若，则，解得,
当时，,
若，则，解得,
若，则，解得,
综上所述，的值可能为或1或3或.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x2a2＋m＋y2b2＋m＝1(a>b>0，m>－b2)；
与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(a>b>0，λ>0).
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|＋PF2|22＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
用两点间距离公式结合椭圆方程消元转化为二次函数求解；
用参数方程设椭圆上点坐标，结合两点间距离公式构建函数，利用三角函数有界性求解.
和、差最值用定义转化，椭圆上点到两焦点距离和为2a，搭配三角形三边关系，将线段转化为共线情况求最值。
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝1-b2a2求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．
先明确椭圆焦点位置（x轴或y轴），确定a²、b²对应表达式。根据离心率及，建立参数方程，代入已知e值求解；注意参数范围限制，排除不合题意的解。
先判断轨迹类型，再选方法：
（1）定义法直接结合椭圆定义（到两定点距离和为定值）；
（2）相关点法（代入法）利用已知点轨迹，转化未知点坐标关系；
（3）直译法直接翻译题干条件，整理成标准方程。
椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。
直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
直线与椭圆的相交弦
设直线交椭圆于点两点，则
==
同理可得
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式
若直线与椭圆交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与椭圆交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
将向量条件转化为坐标关系，设椭圆上点坐标（参数式或直角坐标），代入向量垂直、平行、数量积等条件，建立方程。结合椭圆方程消元，求解参数或证明结论，注意向量运算与代数运算的转化。
圆锥曲线中的证明问题，是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等)．
椭圆中的探索问题,有探索点、直线、曲线、参数等是否存在的,也有探索命题是否成立的.解决此类问题,通常采用“肯定顺推法”.假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,用待定系数法设出,列关于待定系数的方程组.若方程组有实数解,则元素存在；否则不存在.反证法与验证法也是求解探索问题常用的方法.
求解直线或曲线过定点问题的常用方法
（1）“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
（2）“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
（3）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y−y0=k(x−x0) ，则直线必过定点(x0,y0) ；若得到了直线方程的斜截式y=kx+m ，则直线必过定点(0,m) .
定值问题的两种求解方法
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
先假设直线方程（斜率存在或不存在分类），与椭圆方程联立，利用韦达定理表示根与系数关系。结合题干条件（如定点、定值）化简，消去参数得到直线方程，验证特殊情况是否满足。
先识别融合版块（函数、向量、解析几何、三角函数等），拆分核心考点。以椭圆方程为基础，用参数法或直角坐标设点，搭建各版块知识的桥梁。联立方程后优先用韦达定理处理根与系数关系，结合题干条件化简运算。