2024年高二数学暑期培优讲义 第06讲 椭圆及其性质+课后巩固练习 （2份打包，原卷版+教师版）

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知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大， SKIPIF 1 < 0 最大．
(2) SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a﹣c.
(4)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs θ.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(3)eq \f(y2,m2)＋eq \f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
教材改编题
1．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
2．若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)＋1
3．已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为eq \f(1,2)，则C的方程可以为________．
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
(2)设点P为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
延伸探究 若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
教师备选
1．△ABC的两个顶点为A(﹣3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
2．若F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.eq \f(7,4) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 C.eq \f(x2,48)﹣eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)设椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为( )
A．4＋eq \r(5) B．6 C．2eq \r(5)＋2 D．8
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(﹣eq \r(3)，﹣eq \r(2))，则该椭圆的方程为________．
教师备选
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
2．设椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为eq \f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为________．
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
跟踪训练2 (1)已知椭圆的两个焦点为F1(﹣eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1 C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
(2)已知F1(﹣1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 (1)已知F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为eq \f(3,4)的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
(2)已知F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例5 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
【备选题】若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.eq \r(2)﹣1 B.eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)＋1
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq \f(a2,c)上存在一点P满足(eq \(FP,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
课时精练
1．已知动点M到两个定点A(﹣2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1 C.eq \f(y2,9)＋x2＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
2．若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)
3．椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))的取值范围是( )
A．[﹣1,1] B．[﹣1,0] C．[0,1] D．[﹣1,2]
4．设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3))) C．(0,3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)
5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1 B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3) D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
6．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a﹣1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为（0，eq \f(\r(5)－1,2)）
D．若eq \(PF1,\s\up6(—→))＝eq \(F1Q,\s\up6(—→))，则椭圆C的长轴长为eq \r(5)＋eq \r(17)
7．如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．
8．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(﹣3,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，求椭圆C的方程．
11．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝4
B．存在点P满足∠F1PF2＝90°
C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣eq \f(9,16)
D．若△F1PF2的面积为2eq \r(7)，则点P的横坐标为±eq \f(4\r(5),3)
12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是( )
A．飞船向径的取值范围是[a﹣c，a＋c]
B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
13．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝eq \f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)(c>0)．若过F1的直线和圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
15．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为eq \f(2－\r(3),2)，若点P为椭圆上的任意一点，则eq \f(1,|PF1|)＋eq \f(1,|PF2|)的取值范围是________．
16．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
直线与椭圆
考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．
知识梳理
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.
常用结论
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为eq \f(2b2,a).
(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a﹣e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则 SKIPIF 1 < 0 .
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝﹣eq \f(b2,a2).
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝﹣eq \f(b2,a2).
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
(2)直线y＝x与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1一定相交．( )
(3)直线y＝x﹣1被椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1截得的弦长为eq \r(2).( )
(4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).( )
教材改编题
1．直线y＝x＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．已知斜率为1的直线l过椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(6,5) C.eq \f(8,5) D.eq \f(13,5)
3．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
教师备选
(多选)直线y＝kx﹣eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．有3个公共点
思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
跟踪训练1 已知动点M到两定点F1(﹣m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
题型二 弦长及中点弦问题
命题点1 弦长问题
例2 在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝eq \r(5)，求直线l的方程．
命题点2 中点弦问题
例3 已知P(1,1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为__________．
教师备选
已知直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求△OAB的面积．
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
跟踪训练2 (1)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．3x﹣2y﹣2＝0 B．3x＋2y﹣4＝0
C．3x＋4y﹣5＝0 D．3x﹣4y﹣1＝0
(2)已知椭圆E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝________.
题型三 直线与椭圆的综合问题
例4 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为eq \f(3,5)(O为坐标原点)，求直线l的方程．
教师备选
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，﹣3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
跟踪训练3 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.
(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且eq \(F1P,\s\up6(－→))⊥eq \(F1Q,\s\up6(－→))，求直线l的方程．
课时精练
1．直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
2．已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
3．(多选)已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(4\r(2),3)，则实数m的值为( )
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．已知直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1截得的最大弦长是( )
A．2 B.eq \f(4\r(3),3) C．4 D．不能确定
5．(多选)设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y﹣3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
6．(多选)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有( )
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)
C．若eq \(AF1,\s\up6(－→))·eq \(AF2,\s\up6(－→))＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(1,2)))
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝eq \f(1,3)
7．已知直线l：y＝k(x﹣1)与椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1交于不同的两点A，B，AB中点的横坐标为eq \f(1,2)，则k＝________.
8．与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x﹣y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．
9．已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，椭圆M的离心率为eq \f(1,2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点N(1,1)的直线与该椭圆M交于P，Q两点，且线段PQ的中点恰为点N，求直线PQ的方程．
10．设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq \f(\r(3),2).F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.
(1)求椭圆E和⊙F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x﹣eq \r(3))(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
11．过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,16)＝1中，过点M(4eq \r(3)，0)的所有“好弦”的长度之和为( )
A．120 B．130 C．240 D．260
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．3
13．已知P(2，﹣2)是离心率为eq \f(1,2)的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)外一点，经过点P的光线被y轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是( )
A．﹣eq \f(1,8) B．﹣eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(1,8)
14．(多选)已知O为坐标原点，椭圆T：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点，则下列结论正确的是( )
A．|AB|的最小值为eq \f(3,2)
B．若M(异于点F)为线段AB的中点，则直线AB与OM的斜率之积为﹣eq \f(3,4)
C．若eq \(AF,\s\up6(→))＝﹣2eq \(BF,\s\up6(→))，则直线AB的斜率为±eq \f(\r(5),2)
D．△AOB面积的最大值为3
15．(多选)已知F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M，N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，若eq \(AF1,\s\up6(―→))·eq \(BF1,\s\up6(―→))＝0,3eq \(AF2,\s\up6(―→))＝2eq \(F2B,\s\up6(―→))，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和直线BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是( )
A．e＝eq \f(\r(5),5) B．k＝±eq \f(1,2) C．k1·k2＝﹣eq \f(4,5) D．k3·k4＝eq \f(4,5)
16．已知直线l经过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
范围
﹣a≤x≤a且﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b且﹣a≤y≤a
顶点
A1(﹣a，0)，A2(a，0)
B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，
A2(0，a)
B1(﹣b，0)，
B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(﹣c，0)，F2(c，0)
F1(0，﹣c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)(0a，b，c的关系
a2＝b2＋c2