2026年高考数学百分练（三）考前冲刺（7+2+2+3）全国通用

这是一份2026年高考数学百分练（三）考前冲刺（7+2+2+3）全国通用，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（ ）
A．50B．100C．200D．250
【答案】B
【解析】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为个.
2. 已知i是虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. 3C. D. 9
【答案】B
【解析】因为，所以
所以.
3．设集合,,则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由.
4．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（ ）
A．0B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】由题可得，解得或（舍去），
，解得，，．
5. 已知，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
而，
所以在上的投影向量为.
6. 已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】要使有意义，则，即，解得或.
所以函数的定义域为，关于原点对称.
.
因为，所以，
即，也即，
因为，所以.
7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】由可得焦点坐标为，所以，所以代入抛物线可得，
因此的面积为.
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表：
下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（ ）
A．这组数据的众数是3
B．这组数据的60%分位数是0.5
C．这组数据的方差大于5
D．若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
【答案】ACD
【解析】将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3.
对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；
对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；
对于C，平均数，方差，故C正确；
对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确.
9．已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．在上单调递增
C．在上有极大值
D．，使得
【答案】AC
【解析】函数定义域为，，
对于A，，，
所以在点处的切线方程为，，故A正确；
对于B，当时，，，，
因此，即函数在上单调递减，故B错误；
对于C，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
故，函数取得极大值，故C正确；
对于D，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；
因此是上的极小值点，也是最小值点，，
故不存在使得，故D错误．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________.
【答案】或
【解析】渐近线变形为，若焦点在x轴，则，则离心率；
若焦点在y轴，则，则.
11. 若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，由函数在区间上有且仅有3个零点，所以，所以的最小值为.
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12. 已知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的最大值.
【解析】（1）由条件有时，，又，所以，，
则，经检验，满足，所以的通项公式.
（2）由（1）得数列
则
，
因为，所以，
又，故的最大值为.
13．如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）证明 因为内接于圆，为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以．又，平面，，
所以平面．因为平面，所以平面平面．
（2）因为平面，，平面，
所以，．
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以，则，，，，
所以，．
设平面的法向量，由得
不妨设，则，所以平面的一个法向量．
又，，
设平面的法向量，由得
不妨设，则，，
所以平面的一个法向量．
所以，
即平面与平面所成角的余弦值为．
14．已知双曲线的离心率为，且经过点.
（1）求的标准方程；
（2）若过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得，
又，所以，即.
将点代入方程，得，即，所以，.
故双曲线的标准方程为.
（2）解法一：设点、、，
若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
联立方程，代入消去，整理得.
则，
即，且，所以.
于是，中点的横坐标，则.
又点在直线上，所以，即.
因为，且，
当时，，可得，则，
当时，，可得，则，
故线段的中点的轨迹方程为或.
解法二：设点、、，
若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意，
故直线的斜率存在，
设直线的方程为，即.
联立方程代入消去，整理得.
则即，且，
由、两点在双曲线上得，作差得，①
当时，易知；
当时，①式可化为，即.
故（由题意可得且），
可得，
因为，所以.
当时，也在直线上.
又，可得，且，
当时，，可得，则，
当时，，可得，则，
综上，线段的中点的轨迹方程为或.
日期
1
2
3
4
5
6
7
预测误差
1
0
3
3