2024-2025学年浙江省杭州市西湖区名校七年级下学期期末考数学试卷（解析版）

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.计算：等于（ ）
A.B.C.D.2
【答案】C
【解析】，
故选：C．
2.要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】分式有意义的条件是分母，
因此当时，分母不为零，分式有意义．
故选：B．
3.要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（ ）
A.抽取某一片区的七年级学生进行调查
B.抽取三个片区的九年级学生进行调查
C.抽取某所学校的所有学生进行调查
D.按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查
【答案】D
【解析】A．仅抽取某一片区的七年级学生，样本范围过窄，无法代表三个片区所有年级的情况．
B．抽取三个片区的九年级学生，虽覆盖三个片区，但仅针对单一年级，样本缺乏年级多样性．
C．仅抽取某所学校的所有学生，样本局限于单一学校，无法反映三个片区的整体情况．
D．按片区各抽取3所学校（共9所），覆盖所有片区，且调查所有学生，样本具有广泛性和代表性．
选项D能有效减少偏差，提高调查结果的准确性．
故选：D．
4.如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，故A不符合题意；
B．与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，故B不符合题意；
C．与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，故C不符合题意；
D．，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D符合题意
故选：D．
5.下列各式中，运算结果为的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】选项A：，符合要求．
选项B：，不符合要求．
选项C：，不符合要求．
选项D：，不符合要求．
综上，只有选项A的运算结果为．
故选：A．
6.若，，则的值为（ ）
A.B.C.12D.6
【答案】C
【解析】
代入已知条件 和 ，得：
，
故选：C．
7.《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长x尺，木头长y尺，可列出方程组（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设绳子长x尺，木头长y尺，依题意得：
故选：A．
8.如图，直线，与直线分别交于点，，的平分线交于点，于点H．若，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∵平分
∴
∴
又∵，
∴，
∴，故B符合题意；
A、C、D均没有条件可证明，不符合题意．
故选：B．
9.近年来，我国新能源汽车产业实现高质量发展．上图是2018−2023年我国汽车销量和新能源汽车销量折线统计图，则（ ）
A.2018−2023年新能源汽车销量一直保持增长
B.2020−2023年新能源汽车销量的年增长率持续增大
C.2020−2021年新能源汽车销量的年增长率最大
D.2022年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例最大
【答案】C
【解析】A．2018−2019年新能源汽车销量下降，A错误；
B．年增长率反映在折线统计图中就是图形的陡峭程度，线条越陡，增长率越大，反之越小．图中可以看出2020−2021年的增长率比2021−2022年的增长率大，所以2020−2023年的增长率并没有持续增大，B错误；
C．由图可以看出2020−2021年新能源汽车的年增长率最大，C正确；
D．每一年新能源汽车销量占当年汽车销量的比例计算方法是用这一年的新能源汽车销量除以两种汽车销量之和，经过计算可知，D错误．
故选：C．
10.如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（ ）
A.21B.24C.34D.42
【答案】A
【解析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则．
∵
∴
∴，即
∴
∴长方形的面积为
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分
11.分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【解析】x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
12.如图，将长方形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到长方形，若，，则重合部分的面积为______．
【答案】
【解析】如图,
由平移可得，，，
∴重合部分矩形的面积为，
故答案为：．
13.如图，是某市今年连续30天中晴天、阴天、雨天天数的扇形统计图，则晴天有____天．
【答案】14
【解析】（天）
故答案为：14 ．
14.已知，则分式的值为_________．
【答案】
【解析】∵，
∴
故答案为： ．
15.一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可）
【答案】①.3（答案不唯一） ②.2（答案不唯一）
【解析】设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y，
依题意可列方程组
解得
另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21，
则依题意有
这个二元一次方程的整数解有，，，
故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ．
16.如图，将长方形纸片沿折叠得到图1，再沿PM折叠得到图2，已知，．
①如图1，若，则的度数为_________；
②如图2，若，则的度数为_________（用含k的代数式表示）．
【答案】① ②
【解析】①∵
∴
由折叠的性质可知
②∵
∴
∵
∴
设，则，，
由折叠的性质可知
∴
解得
∴
故答案为：①25；②．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.解方程或方程组．
（1）
（2）
解：（1）
①+②，得：，
解得，
将代入①得，，
∴原方程组的解为．
（2）去分母得
移项、合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是方程的解．
18.（1）计算：．
（2）当时，求代数式的值．
解：（1）原式
（2）原式
当时，原式．
19.为了解某校七年级男生的耐力情况，某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的跑成绩，将所得数据进行整理，分成，，，，五组，并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
抽取的男生跑成绩频数表
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）填空：=_____，=_____，=_____．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若该校七年级有800名男生，请根据样本估计跑成绩在（不含）内的男生人数．
解：（1）样本容量，
则，
，
，
故答案为：0.05；24；0.4；
（2）补全图形如下：
​​
（3）（人）
答：在内的男生人数有280人．
20.如图，已知直线l与直线分别交于点E，F，于点G，与互余．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
解：（1）；
理由如下：
∵，
∴，
∵ 与 互余，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21.定义关于*的一种运算：是整数），例如：．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
解：（1）根据题意得：
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22.综合与实践
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理．最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的．
【数学探究】
如图，入射光线经过两次反射后，得到光线，已知，．
（1）如图1，是两个互相垂直的平面镜，，
①若，求的度数．
②试判断入射光线和反射光线是否平行，并说明理由．
（2）如图2，改变镜子位置，设平面镜的夹角，，，求的值（用含有或的代数式表示）．
解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②；
理由如下：∵，
，
∴，
∵
∴
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴


∴
23.为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍．已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元．
（1）求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价．
（2）甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下：
设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个，
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）．
②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系．
解：（1）设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个，
由题意得：，
解得：，
答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个；
（2）①甲：元，
乙：
元，
答：甲商场付款金额为元，乙商场付款金额为元；
②由题意得：，
整理得：．
24.将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为．
（1）若，，，直接写出的值．
（2）若，，求的值．
（3）已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值．
解：（1）作辅助线如图所示
∵
∴，
∴；
（2）作辅助线如下图
设，
∴，，
∴，
由题意得：，，
∴
（3）设，且（）
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（2）得．组别
频数
频率
A
3
a
B
6
0.1
C
12
0.2
D
b
c
E
15
0.25