2024-2025学年浙江省杭州市上城区名校七年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有D选项中的图案可以由平移得到；
故选：D．
2.下列数据收集过程中，适合用普查的是（ ）
A.五一期间来杭游客最喜爱的景点调查B.神舟二十号发射前火箭零部件检查
C.全市学生对学校食堂满意度调查D.某农场小麦种子单穗颗粒数调查
【答案】B
【解析】A．调查五一期间游客最喜爱的景点，游客数量多且流动性大，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．检查火箭零部件，因涉及重大安全，必须逐一检查，故本选项符合题意；
C．全市学生满意度调查，总体数量大，通常采用抽样，故本选项不符合题意；
D．小麦单穗颗粒数，总体数量极大，适合抽样，故本选项不符合题意；
故选：B．
3.下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A．，可整理为，不符合平方差公式的结构，故本选项不符合题意；
B．，两平方项相加，符号相同，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意；
C．，直接符合的形式，可用平方差公式分解为，故本选项符合题意；
D．，为完全平方式，需用完全平方公式分解，而非平方差公式，故本选项不符合题意．
故选：C．
4.如图所示，下列说法不正确的是
A.线段BD是点B到AD的垂线段B.线段AD是点D到BC的垂线段
C.点C到AB的垂线段是线段ACD.点B到AC的垂线段是线段AB
【答案】B
【解析】A．线段BD是点B到AD的垂线段，故A正确；
B．线段AD是点A到BC垂线段，故B错误；
C．点C到AB的垂线段是线段AC，故C正确；
D．点B到AC的垂线段是线段AB，故D正确；
故选：B．
5.下列运算中，结果正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．，本选项错误；
B．，
当n是偶数时，；当n是奇数时，，本选项错误；
C．，本选项错误；
D．，本选项正确；
故选：D．
6.如图，下列说法正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
【答案】B
【解析】A．若，不是同位角、内错角等特殊位置关系的角，不能判定，故该选项错误，不符合题意；
B．若，则，故该选项正确，符合题意．
C．若，则，故该选项错误，不符合题意；
D．若，则，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
7.下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A选项：不等于．
例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误．
B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质．
例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误．
C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确．
D选项：变形为 时，分子符号错误．
例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误．
故选：C．
8.2025杭州钱塘女子半程马拉松在钱塘区6号大街鸣枪开跑．小江、小周参加千米的迷你马拉松比赛，两人约定从A地沿相同路线跑向距A地千米的B地．已知小江跑步的速度是小周的倍．若两人同时从A地出发，结果小江到达B地分钟后小周才到达．设小周跑步的速度为每小时x千米，则可列方程（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设小周的速度为每小时千米，则小江的速度为千米/时．
小周跑完全程的时间为小时，小江跑完全程的时间为小时．
根据题意，小周的时间比小江多分钟，即小时，
因此方程可列为：．
故选：B．
9.如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若为整数，则
【答案】D
【解析】∵长方形周长为60，，，
∴
整理得
小长方形面积，
A．若，
则，，
所以，该选项不符合题意；
B．若，
则，，
所以，故该选项不符合题意；
C．若，代入：
小长方形面积，故该选项不符合题意；
D．由，得，
因为，需是的倍数，
当时，，满足，此时；
当时，，不满足，舍去．
故当、为整数时，，故该选项不符合题意；
故选：D．
10.已知，，，下列计算结果正确是（ ）
①；②；③；④
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】A
【解析】∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故①正确；
∴
，故②正确；
∴，故③正确；
∴
∴
∴当时，；
当时，，故④错误．
综上所述，计算结果正确的是①②③．
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11.写一个解为的二元一次方程________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，满足题意的二元一次方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12.分解因式：________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
13.2025年春节期间，杭州科技领域引发热议，其中人工智能“”火爆全网，在“”中字母“E”的出现频率是________．
【答案】
【解析】在“”中，共有8个字母，其中字母“E”出现4次，
∴字母“E”出现的频率是，
故答案为：．
14.如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为________．
【答案】12
【解析】由题意，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
15.在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________．
【答案】
【解析】由得：，
∴，
∴．
故答案为：．
16.四张正方形纸片如图放置，使得三点共线．设正方形，正方形的面积分别为．
（1）若，则阴影部分的面积________．
（2）若阴影部分的面积与的面积差为5，则________．
【答案】①. ②.20
【解析】（1）
故答案为：；
（2）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则正方形的边长为，
∴，
∴
，
，
∵阴影部分的面积与的面积差为5，
∴，
整理得：，
∴
故答案为：20．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18.为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“学伴”计划．为了解学生对不同智能大模型的使用情况，在七、八、九三个年级随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱使用的一种人工智能软件（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据统计后，绘制出两幅不完整的统计图，其中深度求索，通义千问，豆包，讯飞星火，其他．根据图1，图2中的信息，解答下列问题：
（1）这次调查中接受问卷调查的同学共有________名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据统计结果，若该校有200名学生选择B类，请估计该校选择C类学生人数．
解：（1）这次调查中接受问卷调查的同学共有：（名，
故答案为：500；
（2）的人数为：（名，则的人数为：（名，
补全条形统计图如下：
（3）（名，
答：估计该校选择类学生人数为500名．
19.解方程（组）
（1）
（2）
解：（1），
将①代入②，得，
解得，
将代入①，得，
∴方程组的解为；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
检验：当时，，
∴是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
20.先化简再求值：，其中．
解：
，
当时，
原式．
21.已知：如图，在中，，点分别在上，且平分，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
解：（1），理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22.对于关于x的四个多项式（是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量．
例如：对于多项式，
因为
所以这种组合为消元组合，其消元余量为．
因为，结果不是常数；
所以这种组合不是消元组合．
（1）若多项式，判断是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由．
（2）若多项式存在消元组合，则p值为________．
（3）若多项式存在消元组合，求a与b的关系式．
解：（1）由题意，
，
结果是常数，
∴这种组合为消元组合，其消元余量为．
（2）：分三种情况：
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
若组合是消元组合，
∵
，
∴，解得；
综上，p的值为或8或2；
（3）分三种情况：
①
，
若组合是消元组合，
则，解得；
若组合是消元组合，
②
，不可能为常数，
∴组合不是消元组合；
③
，
若组合是消元组合，
则，解得；
综上，a与b的关系式为或．
23.某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克．
（1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量；
（2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克．
①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________．
②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值．
解：（1）设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据题意得：
，
解得：，
答：小明购买苹果4千克，购买梨2千克；
（2）①∵苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克，
∴苹果单价元/千克，梨单价元/千克，
搭配销售方式水果平均单价为：元/千克；
②按搭配销售方式购买，需要付款：
，
∵按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，
∴，即
∴按搭配销售方式购买，需要付款（元），
∵支付的金额始终与小明相同，
∴，
解得：．
24.如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
（3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
解：（1）如图，过点F作，
，
，
，
；
（2）设，而，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）设，而，
∴，
如图，记的交点为，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．