2024-2025学年浙江省杭州市名校七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1.四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．，故选项不符合题意；
B．，计算正确，故选项符合题意；
C．，故选项不符合题意；
D．，故选项不符合题意；
故选：B．
3.下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
B．从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意；
故选：D．
4.下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】A．，不符合平方差公式，故选项不符合题意；
B．，不符合平方差公式，故选项不符合题意；
C．，能用平方差公式计算，故选项符合题意；
D．，不符合平方差公式，故选项不符合题意；
故选：C．
5.下列正确的是（ ）
A.同位角相等
B.不相交的两条直线叫做平行线
C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】两直线平行，同位角相等，故选项A不符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项B不符合题意；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故选项C符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项D不符合题意；
故选：C．
6.如图，，，，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】过点C作
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
7.一组同学一起去种树，若每人种植7棵，还剩下3棵树苗；若每人种8棵，则缺少5棵树苗，设同学人数为人，需要种植的树苗数为棵，则列方程组为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】根据题意得，
故选：D．
8.将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大10°，则（ ）
A.增大B.减少C.不变D.增大
【答案】B
【解析】如图，、是直线上的两点，
根据折叠的性质得，，，
∵，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
若增大，则减少，
故选：B．
9.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A.10B.20C.30D.40
【答案】C
【解析】根据题意得：
，
，
，，
，
阴影部分的面积．
故选：C．
10.设，，，若，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，，，
，，
，
，
解得：；
故选：A．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11.已知方程，用含x的代数式表示y，则_________．
【答案】
【解析】，
移项，得.
故答案为：．
12.若，则________．
【答案】
【解析】，，
，
故答案为：．
13.因式分解：________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
14.如图，将三角形沿边向右平移得到三角形，已知四边形的周长为，那么三角形的周长为________．
【答案】
【解析】由题意可得：，，
∵四边形的周长为，
∴，即，
∴，即，
∴三角形的周长为，
故答案为：．
15.已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
16.已知，
（1）若，则与的等量关系是________．
（2）若，则________（用含，的代数式表示）．
【答案】①. ②.
【解析】（1）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
18.解下列二元一次方程组
（1）
（2）
解：（1），
把代入得：，
解得：，
把代入得：
∴方程组的解为：；
（2），
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
19.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点均在方格纸的格点上，将三角形平移后得到三角形，使点落在直线上的点处．
（1）画出平移后的三角形．
（2）在直线上找一格点，使，，，所围成的四边形的面积为7．（画出符合条件的一个点．
解：（1）由题意得，三角形向上平移个单位长度，向右平移个单位长度得到三角形，则三角形即为所求，如图：
（2）取格点，连接，，则即所求，如图：
由网格可得：，
同理：．
20.如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
21.一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
（2）若，求长方形增加的面积．
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
解：（1）依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）当时，
∴；
（3）∵，
∴，
∴
；
22.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）购进A、B两种纪念品每件各需多少钱？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店有哪些进货方案？
解：（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元；
（2）设购进A种纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
根据题意得：，
化简得：，即．
∵a、b均为不小于12的正整数，
∴当时，；当时，；当时，；当时，．
答：该商店共有四种进货方案；方案1，购进A种纪念品12件，B纪念品22件；方案2，购进A种纪念品14件，B纪念品19件；方案3，购进A种纪念品16件，B纪念品16件；方案4，购进A种纪念品18件，B纪念品13件．
23.小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________．
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________；
【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因．
【应用】已知，，求值．
解：
，
，
，
“○”表示的数为，
故答案为：；
[发现]
根据“对称多项式”的定义得，
故答案为：（答案不唯一）；
[探究]
和是两个连续的奇数，设，则，
，
是奇数，
是偶数，
设，则，
，
的值为的倍数；
[应用]
，
，
；
值为．
24.如图1，，平分交于点，且
（1）若，且，求的度数．
（2）过点作的角平分线，角平分线所在的直线与所在直线交于点．
①如图2，若，探究与的数量关系并说明理由．
②若为直线上的一个动点（不与重合），探究与的数量关系（请直接写出答案）
解：（1）∵，，
∴，
，
，，
，，
∵平分，
，
；
（2），理由如下：
∵，
∴，
设，则，
∵，
，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
过点作直线，如图：
，，
，
∵，
∴；
②当点在点右侧时，过点作，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
，，
，
∵，
∴；
当点在点左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
，
∴，
∴，
∵，
，
综上，或．