2024-2025学年浙江省杭州市名校七年级下学期期中测试卷数学试卷（解析版）

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一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列现象是平移的是（ ）
A.电梯从底楼升到顶楼B.卫星绕地球运动
C.纸张沿着它的中线对折D.用投影仪把文字变换到屏幕上
【答案】A
【解析】A.电梯从底楼升到顶楼，是平移，故该选项符合题意；
B.卫星绕地球运动，不是平移，故该选项不符合题意；
C.纸张沿着它的中线对折，不是平移，故该选项不符合题意；
D.用投影仪把文字变换到屏幕上，不是平移，故该选项不符合题意；
故选：A．
2.下列关于计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
3.若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A.B.1C.D.
【答案】C
【解析】∵等式，是关于，的二元一次方程，
∴|m|=1，m-1≠0，
解得m=-1，
故选：C．
4.下列各选项中计算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
5.如图，直线与直线，分别交于点，，，，则1的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵，
∴
∴
故选：D．
6.某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x人，分成y个小组，则可得方程组（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】根据若每组人，则余下人，得方程；
根据若每组人，则有一组少人，得方程．
可列方程组为．
故选：．
7.用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则的度数为（ ）
A.25°B.22.5°C.20°D.15°
【答案】C
【解析】如图，由题意得∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．
∵∠C=90°，∠1=50°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=∠CBA=40°，
∵∠CDF=60°
∴∠2=∠CDF-∠CDE=20°．
故选：C
8.已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
9.如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A.102°B.108°C.124°D.128°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选：A．
10.把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（ ）
A.10B.12C.14D.16
【答案】C
【解析】将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知，请你用含的代数式表示_______．
【答案】
【解析】，
∴
∴
故答案为：．
12.流感病毒的直径约为，其中用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
13.如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为______．
【答案】
【解析】∵当时，
∴旋转的最小角度为，
故答案为：．
14.对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是______．
【答案】9
【解析】由题意得：，
得：，
把代入得：，
∴
则，
故答案为：9．
15.利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值．对于多项式，当_____时，有最小值是______．
【答案】
【解析】，
由知，当时，多项式有最小值，
故答案为：；．
16.图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连接点O转动，椅面底部有根可以绕点H 动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则靠背与水平地面的夹角________．如图3，打开时椅面 与地面平行，延长交于点H，平分．若，则________．

【答案】80 105
【解析】在图2中，∵ ，
∴，
又，
∴，
在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴，
即，
故答案为：80；105．
三、解答题（第17、18题各6分，第19、20题各8分，第21、22题各10分，第23、24题各12分，共72分）
17.解方程组：
（1）；
（2）
解：（1），
②﹣①得：2y＝﹣2，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝，
∴方程组的解为；
（2），
由得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为．
18.计算：
（1） ；
（2）．
解：（1）原式
（2）原式
19.完成下面的证明．
如图，与互补，，求证：．对于本题小丽是这样证明的，请你将她的证明过程补充完整．
证明：与互补，（已知）
∴．（_____________________）
．（__________________）
，（已知）
，（等量代换）即__________________．
．（__________________）
．（__________________）
证明：与互补，（已知）
∴．（同旁内角互补，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
，（等量代换）即
．（内错角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
20.先化简，再求值：，其中．
解：原式

∵
∴
原式
21.如图，已知，平分，且．
（1）请说明的理由．
（2）连结，若，且，求的度数．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴，
，
，
，
即，
．
22.如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：
①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值；
②求图中阴影部分的面积和．
解：（1）∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴．
∴．
故答案为：；
（2）①∵，为正方形，边长分别为，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
②．
23.根据以下素材，探索完成任务：
解：任务1：（根）
方法①：当只裁剪长竖杠时，最多可裁剪7根．
（根），
方法②：当先裁剪下1根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠5根．
（根），
方法③：当先裁剪下2根长的横杠时，余下部分最多能裁剪长的竖杠2根．
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
答：方法②和方法③各裁剪6根与5根长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料；
任务3：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
24.如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）．
解：（1）如图1，过点作直线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图2，过点作直线，
由（1）得，，
，
又，
，
，
，
又，
，
；
（3）或理由如下：
当点M在上时，如图3（1），
在中，，
，
，
，
，
，
；
当点M在的延长线上时，如图3（2），
在中，，
，
，
，
，
，
，
综上，或．
素材1
某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2
为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求
解决办法
任务1
一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）
方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根．
方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2
要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）．
劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3
劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）．
若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）