初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算巩固练习，共13页。试卷主要包含了利用分式的加减乘除，异分母分式加减运算法则，分式乘方运算法则，分式混合运算顺序等内容，欢迎下载使用。
学习目标：
1、熟练运用分式的运算法则进行分式加减乘除、乘方的混合运算.
2、利用分式的加减乘除、乘方的混合运算，解决简单的实际问题，体会数学的运用价值。
3、经历分式的混合运算的探究，体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值。
学习重点：
掌握分式混合运算的顺序。熟练运用法则进行计算，特别是处理好通分与约分的技巧。
学习难点：
在运算过程中，分子或分母的系数为负号时的处理 （变号问题)；在加减乘除混合运算中，如何合理拆分或合并以简化计算；因式分解与运算的结合。
分式的运算法则 （用字母表示)
①分式的乘法： .②分式的除法： .
③分式的乘方； .④分式的加减同分母： .异分母 .
19ac4b⋅8b26a2= 2x2+6x+9x−2÷x+3x2−4= 3a2+2a+1a2−1−1a−1=
强调：分式运算时，分子或分母能分解的要分解，结果要化为最简分式
一、根据整式的混合运算顺序类比分式混合运算的顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.注意：分式的计算结果要化为最简分式或整式.
例题1
1．（1）x2x+1−x+1
（2）aa−3+1a2−9⋅a+3a−1
例题2
2．已知 xy=2,求 xx−y−yx+y−y2x2−y2的值
尝试与思考
3． 根据规划设计，某工程队准备修建一条长1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建的盲道比原计划增加10m，从而缩短了工期。假设原计划每天修建盲道 xm，那么实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天?
一、基础达标1：
4．当x取某个值时，分式 x−1x+1 的值不存在，则此时x所取的值是（ )
A．- 1B．0C．1D．3
5．如果分式 ∣m+4∣m−4的值等于 0，那么m的值为（ )
A．不存在B．±4C．4D．- 4
6．若a2=b3=c4，则2a2−3bc+c2a2−2ab−c2的值是（ ）
A．13B．−13C．12D．−12
7．下列各等式中成立的有 （ )
①−a−bc=−a−bc②−a−bc=a−bc ③−a+b−c=a−bc ④−a+bc=a+bc
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．化简x2−6x+9x÷x2−9x2+3x的结果是 .
9．已知1x=2y+z=3z+x则2y+zx= .
10．计算
（1）1+1x÷x2−1x
（2）1−a−ba+2b÷a2−b2a2+4ab+4b2
（3）16−a2a2+4a+4÷a−42a+4⋅a+2a+4
（4）x−y+4xyx−yx+y−4xyx+y
11．先化简，再求值： xx2−1÷1−1x+1其中 x=3+1
二、能力提升1：
12．已知分式 13x2−3和 2x−1.若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且 ba=−6,试求这两个分式的值.
三、拓展迁移1：
13．
（1）若 A=a−1a+2⋅a2−4a2−2a+1÷1a−1化简A
（2） 若a满足 a2−a=0,求A值
14．某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水 am3,bm3。若单独开放A进水管，ph可将该蓄水池注满。如果同时开放A，B两个进水管，那么能提前多长时间将该蓄水池注满?
1、分式乘法运算法则
2、分式除法运算法则
3、同分母分式加减运算法则
4、异分母分式加减运算法则
5、分式乘方运算法则
6、分式混合运算顺序
四、基础达标2：
15．把 x−y3x2−5y2中的x与y都扩大为原来的3倍，这个代数式的值 （ )
A．不变B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍
16．在代数式 a+1a,1m,13,x−1π,2x+y中，分式的个数是 （ )
A．2B．3C．4D．5
17．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元.如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是 （ )
A．8−ab分钟B．8a+b分钟C．8−ab+1分钟D．8−a−bb分钟
18．如果 a=−3,b=−12, 那么代数式 a2+b2a−2b⋅aa−b的值是 （ )
A．312B．−312C．212D．−212
19．已知 1x−1y=3, 则分式 x+2xy−y−x−2xy+y的值为 （ )
A．1B．- 1C．2D．- 2
20．计算
（1）a+b÷2a+2b
（2）x−2x−1x÷1−1x
（3）x+8x2−4x+4−12−x÷x+3x2−2x
（4）先化简，再求值 aa−1÷1+1a2−1其中 a=2
五、能力提升2：
21．用两种方法计算： 3xx−2−xx+2⋅x2−4x
22．规定一种新的运算 “JQx→+∞”AB, 其中A和B是关于x的多项式.当A的次数小于B的次数时， JQx→+∞AB＝0 ；当A的次数等于 B的次数时， JQx→+∞AB的值为 A、B的最高次项的系数的商.当A的次数大于 B 的次数时， JQx→+∞AB不存在.例： JQx→+∞2x−1=0,JQx→+ ∞x2+22x2+3x−1=12. 若 AB=2−3x−1÷6x2−15xx2−1 则 JQx→+∞AB 的值为 （ )
A．0B．12C．13D．不存在
六、拓展迁移2：
23．（1） 已知 x+1x=2,求 x2+1x2的值，
（2） 已知 3x−4x−1x−2=Ax−1+Bx−2,求实数A、B
24．甲、乙两地之间的航行距离为50km，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地递流航行返回甲地。已知水流速度为4km/h，如果这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少?
答案解析部分
1．【答案】（1）解：原式 =x2x+1−x−1=x2x+1−x−1x+1x+1
=x2−x2−1x+1=1x+1
（2）解：原式 =aa−3+1a+3a−3⋅a+3a−1
=aa−3+1a−3a−1
=aa−1a−3a−1+1a−3a−1
=a2−a+1a−3a−1
2．【答案】解：解法1；直接代入
∵xy=2,∴x=2y
原式 =xx+yx2−y2−yx−yx2−y2−y2x2−y2
=x2x2−y2=2y22y2−y2=4y23y2=43
解法2：化简代入
∵xy=2,∴x=2y
原式 =2yy−y3y−y23y2=2−13−13=43
3．【答案】解：计划天数： 1120x,实际天数 1120x+10
缩短天数： 1120x−1120x+10=1120×1x−1x+10
=1120×10xx−10=11200xx−10
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题可知有 a2=b3=c4，设 a2=b3=c4=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
故2a2−3bc+c2a2−2ab−c2=2(2k)2−3·(3k)·(4k)+(4k)2(2k)2−2·(2k)·(3k)−(4k)2=8k2−36k2+16k24k2−12k2−16k2=−12k2−24k2=12
故答案为：C.
【分析】根据分式的化简求值及比例的性质，设a2=b3=c4=k，找到a，b，c与k的关系，用k来代入计算即可.
7．【答案】B
8．【答案】x-3
9．【答案】2
10．【答案】（1）解：原式 =x+1x⋅xx+1x−1=1x−1
（2）解：原式 =1−a−ba+2b×a+2b2a+ba−b
=a+ba+b−a+2ba+b=−ba+b
（3）解：原式 =4+a4−aa+22×2a+4−4−a×a+2a+4
=−2a+2a+2=−2
=x+y2⋅x−y2x+yx−y
=(x+y)(x-y)
=x2−y2
（4）解：原式 =x−y+4xyx−yx+y−4xyx+y
=x−y2+4xyx−y⋅x+y2−4xyx+y
11．【答案】解：原式 =xx2−1÷1−1x+1
=xx+1x−1×x+1x=1x−1
当 x=3+1原式 =13=33
12．【答案】解：根据题： a=x-1；b=3(x+1)(x-1)
ba=3x+1x−1x−1=3x+1=−6,x=−3
13x2−3=124
2x−1=−12
13．【答案】（1）解：A=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a−1)2×(a−1)=a−2
（2）解：由于a2−a=0,a=0或a=1
a=1时，时分式无意义
a=0时，A=a−2=−2
14．【答案】解：p−paa+b=pa+pb−paa+b=pba+b
答：开放A，B两个进水管，提前pba+bℎ将储水池注满。
15．【答案】C
16．【答案】B
17．【答案】C
18．【答案】D
19．【答案】B
20．【答案】（1）解：原式 =a+b÷2a+bab=ab2
（2）解：原式 =x2−2x+1x÷x−1x=x−1
（3）解：原式 =x+8x−22+1x−2÷x+3x2−2x=2x+3x−22÷x+3xx−2=2xx−2
（4）解：原式 =aa−1÷a2a2−1=a+1a
a=2,原式 =a+1a=2+12=1+22
21．【答案】解：解法1：原式 =3xx+2x+2x−2−xx−2x+2x−2⋅x+2x−2x=2x+8
解法2：原式 =3xx−2×x2−4x−xx+2⋅x2−4x=3x+2−x−2=2x+8
22．【答案】C
23．【答案】（1）解：∵x+1x=2,∴(x+1x)2=4
即x2+2+1x2=4
∴x2+1x2=2
（2）解：Ax−1+Bx−2=A(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)
∴3x−4=A(x−2)+B(x−1)=(A+B)x−2A−B
得到A+B=32A+B=4
解得：A=1， B=2
24．【答案】解：顺水时间 50x+4,逆水时间 50x−4;
少用时间 50x−4−50x+4=50x+200−50x+200x2−16=400x2−16