北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第1课时教学设计及反思

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第1课时教学设计及反思，共4页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●情景导入 问题1：一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 eq \f(m,n)时，水高多少？
思考：长方体容器的高为__ eq \f(V,ab)__，水高为__ eq \f(V,ab)· eq \f(m,n)__．
问题2：大拖拉机m天耕地 a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
思考：大拖拉机的工作效率是__ eq \f(a,m)__公顷/天，小拖拉机的工作效率是__ eq \f(b,n)__公顷/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__ eq \f(a,m)÷ eq \f(b,n)__倍．
(1) eq \f(V,ab)· eq \f(m,n)；(2) eq \f(a,m)÷ eq \f(b,n)，一个是分式的乘法运算，一个是分式的除法运算，怎样计算分式的乘除呢？这节课研究课题是分式的乘除法．
【教学与建议】教学：本教学采用例题分析法，针对所填数据的模型，导入课题．建议：所提问题学生先独立思考后再小组讨论答案．
●复习导入 这节课的学习让我们从几个小题的回顾开始．
1．化简：(1) eq \f(－6a3bc,－3ab)；(2) eq \f(x2－4,x2－4x＋4).
2．计算：(1) eq \f(4,3)× eq \f(6,8)；(2) eq \f(9,10)÷ eq \f(3,5).
3．小学学过的分数乘除法的运算法则是什么？
学生回答：1.(1) eq \f(－6a3bc,－3ab)＝2a2c；(2) eq \f(x2－4,x2－4x＋4)＝ eq \f((x＋2)(x－2),(x－2)2)＝ eq \f(x＋2,x－2).
2．(1) eq \f(4,3)× eq \f(6,8)＝1；(2) eq \f(9,10)÷ eq \f(3,5)＝ eq \f(9,10)× eq \f(5,3)＝ eq \f(3,2).
3．分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘．
通过习题我们知道了分数乘除法的运算法则，那分式的乘除法运算是不是和分数的乘除法运算法则一样呢？本节课让我们针对分式的乘除运算进行进一步的探究！
【教学与建议】教学：复习巩固分式的基本性质和分数乘除法计算，为本节课的知识内容的进一步探究做好铺垫．建议：问题1，2，3学生独立完成．
命题角度1 分式的乘法
解答这类问题时，既可以根据乘法法则求得积后再约分，也可以先约分再求积．
【例1】计算 eq \f(ax2,b2y)· eq \f(by,ax)的结果是(C)
A．ax B．bx C． eq \f(x,b) D． eq \f(x,a)
【例2】计算 eq \f(3xy2,4z2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8z2,y)))＝__－6xy__．
命题角度2 分式的除法
进行分式的除法运算时，应注意以下几点：(1)分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒．(2)两个分式相除，能约分的先约分再计算结果．
【例3】 eq \f(2,x2－4)÷ eq \f(1,x2－2x)的计算结果为(B)
A． eq \f(x,x＋2) B． eq \f(2x,x＋2) C． eq \f(2x,x－2) D． eq \f(2,x(x＋2))
【例4】计算：－3xy÷ eq \f(2y2,3x)＝__－ eq \f(9x2,2y)__．
命题角度3 分式的乘除混合运算
进行分式的乘除混合运算时，先统一成乘法运算，注意确定结果的符号，又注意运算顺序不能颠倒，注意结果一定要化成最简分式或整式的形式．
【例5】化简x÷ eq \f(x,y)· eq \f(1,x)的结果为(B)
A． eq \f(x,y) B． eq \f(y,x) C．xy D．1
【例6】计算： eq \f(b2,－27a3)÷ eq \f(2b,9a)· eq \f(3ab,b4)＝__－ eq \f(1,2ab2)__．
高效课堂 教学设计
1．会运用分式乘除法的运算法则和乘方运算法则．
2．用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识．
▲重点
掌握分式乘除法运算法则及其应用．
▲难点
分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
小学学过的分数乘除法的运算法则是__分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘__．
计算： eq \f(2,3)× eq \f(4,5)＝__ eq \f(8,15)__； eq \f(5,7)× eq \f(2,9)＝__ eq \f(10,63)__； eq \f(2,3)÷ eq \f(4,5)＝__ eq \f(2,3)× eq \f(5,4)__＝__ eq \f(5,6)__； eq \f(5,7)÷ eq \f(2,9)＝__ eq \f(5,7)× eq \f(9,2)__＝__ eq \f(45,14)__．

我们知道了分数的乘除法运算法则，那分式的乘除法运算是不是和分数的乘除法运算法则一样呢？本节课让我们针对分式的乘除法运算进行进一步的探究！(板书课题：2 分式的乘除法)
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】
我们知道分式的基本性质与分数的基本性质类似，那么分式的运算也和分数的运算类似吗？这节课我们就来研究分式的乘除法．下面我们看投影并进行探索、交流．
1． eq \f(2,3)× eq \f(4,5)＝ eq \f(2×4,3×5)；
eq \f(5,7)× eq \f(2,9)＝ eq \f(5×2,7×9).
2． eq \f(2,3)÷ eq \f(4,5)＝ eq \f(2,3)× eq \f(5,4)＝ eq \f(2×5,3×4)；
eq \f(5,7)÷ eq \f(2,9)＝ eq \f(5,7)× eq \f(9,2)＝ eq \f(5×9,7×2).
猜一猜： eq \f(b,a)· eq \f(d,c)＝__ eq \f(bd,ac)__； eq \f(b,a)÷ eq \f(d,c)＝__ eq \f(bc,ad)__．
【归纳】分式的乘除法的法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
这一法则可以用式子表示为： eq \f(b,a)· eq \f(d,c)＝ eq \f(bd,ac)， eq \f(b,a)÷ eq \f(d,c)＝ eq \f(b,a)· eq \f(c,d)＝ eq \f(bc,ad).
【探究2】利用分式的乘法法则计算：
(1) eq \f(3a,4y)· eq \f(2y2,3a2)； (2) eq \f(a＋2,a－2)· eq \f(1,a2＋2a).
【方法指导】(1)根据分式的乘法法则运算，然后约分；(2)根据分式的乘法法则运算，分母能分解因式的要先分解因式，然后约分．
解：(1) eq \f(3a,4y)· eq \f(2y2,3a2)＝ eq \f(3a·2y2,4y·3a2)＝ eq \f(y,2a).
(2) eq \f(a＋2,a－2)· eq \f(1,a2＋2a)＝ eq \f(a＋2,(a－2)·a(a＋2))＝ eq \f(1,a2－2a).
【归纳】注意：分式乘法的关键是约分，当分子和分母是多项式时一定要注意分解因式．
【探究3】利用分式的除法法则计算：
(1)3xy2÷ eq \f(6y2,x)； (2) eq \f(a－1,a2－4a＋4)÷ eq \f(a2－1,a2－4).
【方法指导】进行分式除法运算时，应先把除法运算统一为乘法，再利用分式的乘法法则运算．当算式中遇到整式时，可以把整式看成分母是“1”的式子参与计算．
解：(1)原式＝3xy2· eq \f(x,6y2)＝ eq \f(3xy2·x,6y2)＝ eq \f(1,2)x2；

(2)原式＝ eq \f(a－1,a2－4a＋4)· eq \f(a2－4,a2－1)＝ eq \f((a－1)(a2－4),(a2－4a＋4)(a2－1))＝ eq \f((a－1)(a－2)(a＋2),(a－2)2(a－1)(a＋1))＝ eq \f(a＋2,(a－2)(a＋1)).
【归纳】分式乘除法运算步骤
(1)当分式的分子与分母都是单项式时：
乘法的运算步骤：
①用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；
②把分式积中的分子与分母均写成分子与分母的公因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；
③约分．
除法的运算步骤：把除式中的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘，其他与乘法运算步骤相同．
(2)当分式的分子、分母中有多项式时：
①先分解因式；
②如果分子与分母有公因式，先约分再进行乘除计算；
③如果分式的分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面．最后的计算结果必须是最简分式．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】先化简，再求值：
(1) eq \f(x2－9,x2＋6x＋9)· eq \f(3x3＋9x2,x2－3x)，其中x＝－ eq \f(1,3)；
(2) eq \f(2x,x3＋2x2＋x)÷ eq \f(x－1,x2＋x)，其中x＝－2.
【方法指导】(1)原式约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值；(2)原式利用除以一个数等于乘这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解：(1)原式＝ eq \f((x＋3)(x－3),(x＋3)2)· eq \f(3x2(x＋3),x(x－3))＝3x，
当x＝－ eq \f(1,3)时，原式＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－1；
(2)原式＝ eq \f(2x,x(x＋1)2)· eq \f(x(x＋1),x－1)＝ eq \f(2x,x2－1)，
当x＝－2时，原式＝ eq \f(－4,4－1)＝－ eq \f(4,3).
【例2】通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V＝ eq \f(4,3)πR3(其中R为球的半径)，那么
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

【方法指导】分式乘除法法则的应用．
解：(1)V西瓜瓤＝ eq \f(4,3)π(R－d)3，V西瓜＝ eq \f(4,3)πR3；
(2)∵ eq \f(V西瓜瓤,V西瓜)＝ eq \f(\f(4,3)π(R－d)3,\f(4,3)πR3)＝ eq \f((R－d)3,R3)＝( eq \f(R－d,R))3＝(1－ eq \f(d,R))3，∴西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是 eq \f(V西瓜瓤,V西瓜)＝(1－ eq \f(d,R))3；
(3)买大西瓜合算，R越大即西瓜越大， eq \f(d,R)的值越小，(1－ eq \f(d,R))的值越大，则(1－ eq \f(d,R))3的值也越大，西瓜瓤占整个西瓜的体积也越大，因此，买大西瓜合算．
◆活动4 随堂练习
1．计算 eq \f(4ab,c2)· eq \f(2c,2b)的结果是(C)
A． eq \f(4a,c2) B．4a C． eq \f(4a,c) D． eq \f(1,c)
2．计算 eq \f(4x,3a)÷ eq \f(2x2,a2)的结果是(A)
A． eq \f(2a,3x) B． eq \f(8,3)a C． eq \f(2,3) D． eq \f(8,3)x
3．计算： eq \f(y,2x2)· eq \f(x,y)＝__ eq \f(1,2x)__．
4．当m＝5时， eq \f(3,m－3)÷ eq \f(4,m2－9)的值是__6__．
5．课本P134随堂练习
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你有什么收获？
2．分式乘除法的运算法则和运算步骤分别是什么？要注意哪些问题？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对分式乘除法运算的理解．
【作业】课本P140习题5.2中的T1、T8.
本节课的重点是分数的乘除法的法则及应用，难点是分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算．分式的乘除法与分数的乘除法类似，所以可以通过类比，探索分式的乘除运算法则的过程，分式运算的结果要化成最简分式和整式，也就是分式的约分．
约分的关键在于找公因式，学生通过对知识的理解和吸收才能更好做题．