初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算一课一练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算一课一练，共13页。
1、类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则，会进行简单分式的乘除运算。
2、能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。
3、经历探索分式乘除运算法则的过程，培养代数化归意识，渗透类比思想，发展合情推理能力。
学习重点：
分式的乘除运算法则的理解与运用
学习难点：
分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算
课前检测1、把下列各式分解因式：
（1)a²+2a= ;
（2) a²-9=
（3) x²-2x+1= .
2、化简下列各式：
（1）6ay212a2y;
（2）a2+2aa2−4.
Ⅰ 、观察下列运算：（1）23×45=_=815;
（2）57×29=______ =1063.
类比分数的乘法法则我们尝试计算ab×cd=?
分式乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
用符号语言表达：ab×cd=acbd
例题 1
1．计算
（1）3a4y⋅2y23a2
（2）a+4a−4⋅1a2+4a
【强调】按照分式的乘法法则进行分式乘法运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
2． 计算
（1）ba2−9⋅a+3b2−b
（2）aa−b⋅b−ab2
Ⅱ、观察下列运算：123÷45=_=56; 257÷29=_=4514.
类比分数的除法法则我们尝试计算ab÷cd=
分式除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
用符号语言表达：ab÷cd=ab×dc=adbc
例题2
3．计算
（1）3xy2÷6y2x
（2）a−1a2−4a+4÷a2−1a2−4
【强调】分式的乘除法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先因式分解，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
4． 计算
（1）a2−a÷aa−1;
（2）x2−1y÷x+1y2;
Ⅲ、根据乘方的意义和分式乘法的法则计算
1ab2=ab×ab=;
2ab3=ab×ab×ab=;
3ab4=ab×ab×ab×ab=
根据以上计算推导可得：
(ab)n=ab×ab×…×ab︸n个=a×a×…×a︷n个b×b×…×b︸n个=anbn.(n为正整数 )
分式乘方法则：分式的乘方等于分子分母分别乘方.用符号语言表达：ban=bnan（n为正整数)
5．计算
（1）a33b2
（2）−2yx23⋅x3y22
6．通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d.已知球的体积 v=43πR3 （R是球的半径)，那么
（1）西瓜瓤与西瓜的体积各是多少?
（2）西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少?
（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
一、基础达标1：
7．将分式中x2x+y 的x、y的值同时扩大2倍，则分式的值（ )
A．扩大2倍B．缩小到原来的
C．保持不变D．无法确定
8．下列各式中，正确的是（ ）
A．−−3x5y=3x−5yB．−a+bc=−a+bc
C．−a−bc=a−bcD．−ab−a=aa−b
9．下列分式运算，正确的是（ )
A．m4n5⋅n3m3=mn
B．3x4y2=3x24y2
C．2aa−b2=4a2a2−b2D. ab÷cd=adbc
10．化简 a−1a÷a−1a2的结果是 （ )
A．14B．aC．a﹣1D．1a−1
11．下列各式计算错误的是（ )
A．−3ab4x2y⋅10xy21b=−5a14xB．xy22yz÷3x2y8yz=4y3x
C．a−ba÷a2−ab=1a2D．−a3÷a3b=b
12．计算
（1）2x3zy2⋅3y24xz2
（2）4x2−4xy+y22x−y÷4x2−y2
（3）2x+yx−y÷2x+yx2−2xy+y2⋅x−y
二、能力提升1：
13．丰收1号”小麦的试验田是边长为 am的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分， “丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高?
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
三、拓展迁移1：
14．先化简，再求值： 2ab2a+b3÷ab3a2−b22⋅12a−b2,其中 a=−12,b=23
15．设 M=11+2a+a2÷1−1a+1
（1）化简 M；
（2）当a=1时， 记此时M的值为f（1）； 当a=2时， 记此时M的值为 f（2）； …解关于x的不等式： x−22−1.5−x4≤f1+f2+⋯+f7 并将解集在数轴上表示出来.
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂（或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；（注意：结果为最简分式或整式.)
四、基础达标:2：
16．计算2aa+1÷aa+1的结果是（ ）
A．2B．2a+2C．1D．4aa+1
17．下列运算正确的是（ )
A．a+b3=a3+b3B．a32=a6C．3−8=2D．xy3=x3y
18．下列运算正确的是（ )
A．xy2÷13y=3xyB．x2−1x2+2x+1÷x+1x+12=x−1
C．a5÷a5=aD．a2×a3=a6
19．化简 x2−12x÷x−1x的结果是（ )
A．x-1B．x+1C．x+12D．2x+1
20．甲从A地到B地要走m小时，乙从B地到A地要走n小时，若甲、乙二人同时从A、B两地出发，经过几小时相遇（ ）
A．(m+n)小时B．m+n2 小时C．m+nmn 小时D．mnm+n 小时
21．化简： x2−1x÷x+1x= .
22．已知a米布料能做b件上衣，2a米布料能做3b条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的 倍.
23．已知xy=23，则x−yy的值为 ．
24．计算
（1）a−1a2−4a+4÷a2−1a2−4
（2）3x4x−3÷216x2−9⋅x4x+3
五、能力提升2：
25．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重 x−12千克，乙筐水果重 x2−1千克（其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元.
（1）哪筐水果的单价卖得低?
（2）高的单价是低的单价的多少倍?
26．解方程x−2x=1
六、拓展迁移2：
27．已知x-3y=0， 求2x+yx2−2xy+y2⋅x−y的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：原式 =3a⋅2y24y⋅3a2=y2a
（2）解：原式 =a+4a−4⋅1aa+4=1aa−4
2．【答案】（1）
（2）
3．【答案】（1）解：原式 =3xy2⋅x6y2=3xy2x6y2=12x2
（2）解：原式 =a−1a−22⋅a2−4a2−1=a−1a−2a+2a−22⋅a+1a−1=a+2a−2a+1
4．【答案】（1）
（2）
5．【答案】（1）
（2）
6．【答案】（1）解：V西瓜=43πR3,V西瓜瓤=43π（R−d)3
（2）解：V西瓜瓤V西瓜=43π（R−d)343πR3=(R−d)3R3=(1−dR)3
R越大，dR越小，−dR越大，1−dR越大，(1−dR)3越大，所以买大西瓜较划算。
（3）解：设西瓜的半径为R，球的体积公式是v=43πR3
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】D
12．【答案】（1）解：原式 =2x3z⋅3y2y2⋅4xz2=3x22z
（2）解：原式 =2x−y22x−y×12x+y2x−y=12x+y
（3）解：原式 =2x+yx−y×x−y22x+y⋅x−y=x−y2
13．【答案】（1）解：“丰收1号小麦试验田的面积（ a2−1m2,单位面积产量 500a2−1kg/m2
“丰收2号小麦试验田的面积 a−12m2 单位面积产量 500a−12kg/m2
由图可知， a−12