初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第3课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 分式的运算第3课时教案，共4页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。

●复习导入 活动内容：
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？ eq \f(x2,x－2)－ eq \f(4,x－2)的结果是多少？
问题2：异分母分数又是如何进行加减运算的？ eq \f(1,3)＋ eq \f(3,5)等于多少？
问题3：那么 eq \f(3,a)＋ eq \f(1,2a)等于多少？你是怎么做的？
学生回答：1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减， eq \f(x2,x－2)－ eq \f(4,x－2)＝x＋2.
2．异分母的分数相加减可以把它们先转化为同分母的分数再相加减， eq \f(1,3)＋ eq \f(3,5)＝ eq \f(14,15).
3．计算 eq \f(3,a)＋ eq \f(1,2a)，可以把它们转化为同分母分式的加法进行计算．
【教学与建议】教学：通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，为本课的学习做铺垫．建议：问题1和问题2口答后及时核对计算结果，问题3异分母分式加减运算提出疑问．
●类比导入 1.算一算： eq \f(1,4)＋ eq \f(1,5)＝__ eq \f(9,20)__； eq \f(1,x＋1)＋ eq \f(3,x＋1)＝__ eq \f(4,x＋1)__．
2．说一说：异分母的分数加减法则，运算法则是__异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算__．
3．议一议： eq \f(1,4)＋ eq \f(1,5)是异分母分数，如果将上述“ eq \f(1,4)＋ eq \f(1,5)”中的分母4，5换成未知数a，b，就变成分式： eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，那该式“ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)”就变成了异分母分式的加法了，与我们所学的同分母分式的加法不同，与我们所学的异分母分数的加法又有类似，到底该如何进行计算呢？
【教学与建议】教学：类比异分母分数的加减，让学生归纳同分母分式与异分母分式的加减的方法并进行简单运算．建议：教师应注重培养学生的合作交流，创新精神和实践能力．
命题角度1 最简公分母的求法
最简公分母的求法：①如果各分母都是单项式，取各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，不同字母连同指数的积；②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母所有因式的最高次幂的积．

【例1】分式 eq \f(1,xy)，－ eq \f(y,4x3)， eq \f(3x,2x2y)的最简公分母是(D)
A．x2y B．2x3y C．4x2y D．4x3y
【例2】分式 eq \f(1,(m＋5)2)与 eq \f(1,2(m＋5))的最简公分母是__2(m＋5)2__．
命题角度2 简单异分母分式的加减
进行异分母分式的加减法运算时，先通分，化成同分母分式，然后按同分母分式加减法法则进行计算．
【例3】分式 eq \f(2a＋2,a2－1)－ eq \f(a＋1,1－a)化简后的结果为(B)
A． eq \f(a＋1,a－1) B． eq \f(a＋3,a－1) C．－ eq \f(a,a－1) D．－ eq \f(a2＋3,a2－1)
【例4】计算： eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,a(a＋1))＝__ eq \f(1,a)__．
命题角度3 列分式解决实际问题
解决此类题目的关键在于审清题意，然后根据题目中蕴含的数量关系进行列式计算即可．
【例5】甲队在m天内挖水渠a m，乙队在n天内挖水渠b m，两队一起挖水渠s m需要的天数为(A)
A． eq \f(smn,an＋bm) B． eq \f(an＋bm,smn) C． eq \f(mn,s(an＋bm)) D． eq \f(s(an＋bm),mn)
【例6】小松鼠为过冬储存m天的坚果a kg，要使储存的坚果能多吃n天，则小松鼠每天应节约坚果__ eq \f(an,m(m＋n))__kg.
高效课堂 教学设计
1．会找最简公分母，能进行分式的通分．
2．理解并掌握简单异分母分式加减法的法则．
▲重点
异分母分式的通分及加减运算．
▲难点
正确确定最简公分母和灵活运用法则．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
填空： eq \f(1,3)与 eq \f(1,4)的__分母__不同，称为__异分母__分数， eq \f(1,3)＋ eq \f(1,4)＝__ eq \f(7,12)__，运算法则是__异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，然后再按同分母分数的加减法法则进行计算__．

在学习异分母分数加法的基础上，如果将上述“ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,4)”中的分母3，4换成未知数x，y，就变成分式： eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)，那该式“ eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)”就变成了异分母分式的加法了，与我们所学的同分母分式的加法不同，与我们所学的异分母分数的加法又有类似，到底该如何进行计算呢？本节，我们将深入探讨异分母分式的加减运算及其方法．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】如何确定最简公分母
试找出下列分数的最简公分母：
(1) eq \f(1,2)， eq \f(1,3)________；(2) eq \f(2,5)， eq \f(1,3)________．
(1)中2，3的最小公倍数是6；(2)中3，5的最小公倍数是15.
你能把分数变成分式，将分母改成含字母的式子吗？如：把下面的分式化为同分母分式：
(1) eq \f(1,2a)， eq \f(1,3a)； (2) eq \f(2,5ab2)， eq \f(1,3a3b).
(1)最简公分母是__6a__；(2)最简公分母是__15a3b2__．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母．
【归纳】确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【探究2】通分
(1) eq \f(1,a2b)， eq \f(1,ab2)； (2) eq \f(1,x2－y2)， eq \f(1,x2＋xy).
解：(1)最简公分母是a2b2，所以 eq \f(1,a2b)＝ eq \f(b,a2b2)， eq \f(1,ab2)＝ eq \f(a,a2b2)；
(2)最简公分母是x(x＋y)(x－y)， eq \f(1,x2－y2)＝ eq \f(x,x(x＋y)(x－y))， eq \f(1,x2＋xy)＝ eq \f(x－y,x(x＋y)(x－y)).
【归纳】
1．根据分式的基本性质把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程叫作分式的通分．
2．通分的方法为：(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应因式分解；(2)确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；(3)将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母．

【探究3】探究异分母分式加减法的法则
问题1：怎样才能进行异分母分式的加减法？
问题2：如何把 eq \f(3,a)＋ eq \f(1,4a)转化为同分母分式的加法？
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减题就变成了同分母分式的加减问题．小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同．
小明： eq \f(3,a)＋ eq \f(1,4a)＝ eq \f(3×4a,a·4a)＋ eq \f(a,4a·a)＝ eq \f(12a,4a2)＋ eq \f(a,4a2)＝ eq \f(13a,4a2)＝ eq \f(13,4a).
小亮： eq \f(3,a)＋ eq \f(1,4a)＝ eq \f(3×4,a·4)＋ eq \f(1,4a)＝ eq \f(12,4a)＋ eq \f(1,4a)＝ eq \f(13,4a).
你对这两种做法有何评论？与同伴交流．
【归纳】异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
用式子表示为： eq \f(b,a)± eq \f(d,c)＝ eq \f(bc,ac)± eq \f(ad,ac)＝ eq \f(bc±ad,ac).
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】计算：
(1) eq \f(3,a)＋ eq \f(a－15,5a)；
(2) eq \f(1,x－3)－ eq \f(1,x＋3)；
(3) eq \f(2a,a2－4)－ eq \f(1,a－2).
【方法指导】异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式，然后按照同分母分式加减法则进行计算．
解：(1) eq \f(3,a)＋ eq \f(a－15,5a)＝ eq \f(15,5a)＋ eq \f(a－15,5a)＝ eq \f(15＋a－15,5a)＝ eq \f(a,5a)＝ eq \f(1,5)；
(2) eq \f(1,x－3)－ eq \f(1,x＋3)＝ eq \f(x＋3,(x－3)(x＋3))－ eq \f(x－3,(x－3)(x＋3))＝ eq \f((x＋3)－(x－3),x2－9)＝ eq \f(6,x2－9)；
(3) eq \f(2a,a2－4)－ eq \f(1,a－2)＝ eq \f(2a,(a－2)(a＋2))－ eq \f(a＋2,(a－2)(a＋2))＝ eq \f(2a－(a＋2),(a－2)(a＋2))＝ eq \f(a－2,(a－2)(a＋2))＝ eq \f(1,a＋2).
【例2】小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么
(1)小刚从家到学校需要多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？

【方法指导】(1)小刚从家到学校需要的时间＝走上坡路时间＋走下坡路时间，即： eq \f(1,v)＋ eq \f(2,3v)；(2)小丽从家到学校的时间是 eq \f(3,2v) h，再与小刚行走的时间比较求解．
解：(1)小刚从家到学校需要 eq \f(1,v)＋ eq \f(2,3v)＝ eq \f(3＋2,3v)＝ eq \f(5,3v)(h)；
(2)小丽从家到学校需要 eq \f(3,2v) h.
∵ eq \f(5,3v)＞ eq \f(3,2v)，
∴小丽在路上花费的时间少．
小丽比小刚在路上花费时间少 eq \f(5,3v)－ eq \f(3,2v)＝ eq \f(10－9,6v)＝ eq \f(1,6v)(h).
◆活动4 随堂练习
1．化简 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,x－1)可得(D)
A． eq \f(1,x2－x) B．－ eq \f(1,x2－x)
C． eq \f(2x＋1,x2－x) D． eq \f(2x－1,x2－x)
2．化简 eq \f(2x,x2－9)－ eq \f(1,3－x)的结果是(D)
A． eq \f(1,x－3) B． eq \f(1,x＋3)
C． eq \f(1,3－x) D． eq \f(3x＋3,x2－9)
3．已知 eq \f(1,a)－ eq \f(1,b)＝ eq \f(1,3)，则 eq \f(ab,b－a)的值是__3__．
4．课本P138随堂练习T1
5．课本P138随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．这节课你的主要收获是什么？
2．在探索异分母分式加减运算中，我们运用了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对异分母分式加减运算的理解．
【作业】课本P141习题5.2中的T4、T7.
本节课中异分母分式加减法的例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进地获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好．对异分母分式加减法的法则的讨论让学生更明确其理所在，容易接受．