2025-2026学年浙江省杭州市余杭区、临平区八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市余杭区、临平区八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二次根式 1+a中字母a的取值范围是( )
A. a>1B. a≥−1C. aBE)，在AB的下方作正方形BEFG，连结DG，DF.若AB=7 2，△DFG的面积为18，则DG的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 9− 2+ 8；
(2)(2 13− 3)× 12.
18.(本小题8分)
解方程：
(1)2x2=5x；
(2)3x2−x−4=0.
19.(本小题8分)
记 10的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m2−n2的值.
20.(本小题8分)
已知某地有甲，乙两家民宿.甲民宿2025年1∼6月营业额(单位：万元)分别为1.0，2.8，3.6，4.4，10，8.2.
(1)求甲民宿的月平均营业额.
(2)为了更好地经营民宿，现利用EXCEL助手，把甲，乙民宿上半年月营业额绘制成如图所示的箱线图，请根据箱线图，评价两家民宿的经营状况，并提出合理的优化建议.
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB，CD于点E，F，且2∠ABD=∠DBC.
(1)已知∠C=69∘，求∠ADB的度数.
(2)猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.
22.(本小题10分)
某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册.参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元(增加费用不超过5元)，未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元(包括消毒、修补)；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元.
(1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量；
(2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和(用含a的代数式表示)；
(3)若每月借阅收益为1144元，求每本书的月借阅费.
23.(本小题10分)
学习了《第2章一元二次方程》后，小明与DeepSeek进行了一次交流：
小明问：请问，若碰到关于x的一元二次方程中，除了变量x还含有其他字母的问题，应该如何思考？
DeepSeek(深度思考)：先看二次项系数是不是零(决定它是一元一次还是一元二次方程)，再根据题目要求的根的情况(比如有根的条件，有几个根，正负等)，利用一元二次方程的知识列出关于字母的不等式或方程，解字母的值并检查答案是否合理.
根据对话，解答下列问题：
已知关于x的方程4kx2−4kx+k+1=0的两根为x1，x2.
(1)当k=−1时，求x1，x2的值；
(2)求证：不存在实数k，使(2x1−x2)(x1−2x2)=−32；
(3)若x1x2+x2x1−2的值为整数，求实数k的值.
24.(本小题12分)
如图1，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A，P在x轴正半轴上，且∠BOA=60∘，OA=OB=2.
(1)求∠OAB的度数.
(2)探究：
①过点O作OC//BP，过点B作BC//x轴，两平行线相交于点C，连结CP，试判断CP是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由；
②如图2，作点P关于AB的对称点P′，连结PP′，BP′，AP′，若以点O，A，B，P′为顶点的四边形面积是△APP′面积的3倍，求点P′的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，1+a≥0，
解得：a≥−1.
故选：B.
根据二次根式有意义的条件进行计算．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、9x=10中，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；
B、2x2+1=3x中，分母含有未知数，属于分式方程，不符合题意；
C、x2=2+5x，整理得x2−5x−2=0，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，
且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、x−x3+1=0中，未知数的最高次数为3，是一元三次方程，不符合题意．
故选：C.
根据一元二次方程的定义进行判断．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是关键．
3.【答案】B
【解析】解：某班级篮球队10名队员的鞋码(单位：cm)如下：23，24，22，22，23，23，23，23，23，24则：
将这10个数据按从小到大排序，为：22，22，23，23，23，23，23，23，24，24.
中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数．
中位数为23+232=23.
故选：B.
先将数据按从小到大排序，再根据数据个数的奇偶性计算中位数．
本题考查中位数，正确进行计算是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AO=OC，∠DAB=∠BCD，
故选项A，B，D正确，选项C错误．
故选：C.
利用平行四边形的性质一一判断．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
5.【答案】A
【解析】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2−7x+12=0，
故选：A.
根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2−(x1+x2)x+x1⋅x2=0，结合选项中方程进行判断即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．
6.【答案】A
【解析】解：AC= AB2−BC2= 32−12=2 2，
斜坡AB的坡比是1:2 2，
故选：A.
利用勾股定理求出AC的长，即可计算答案．
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵总共有7位评委，
∴打10分的人数为7−1−2−a=4−a，
∵8×1+9×2+8.5a+10(4−a)7=9，
化简左边分子得：8+18+8.5a+40−10a=66−1.5a，
∴66−1.5a=9×7=63，
解得1.5a=3，
即 a=2.
∴打8.5分的人数是2.
故选：B.
根据总人数得到各分数段人数，再利用加权平均数公式列方程求解即可，用到加权平均数的计算方法．
本题考查加权平均数，正确进行计算解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：x2−x−3=0，
移项，得 x2−x=3，
配方得x2−x+(12)2=3+(12)2，
整理左侧为完全平方式，得(x−12)2=134.
故选：D.
用配方法求解即可．
本题考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：依题意得：(80+2x)(50+2x)=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x−1400=0，
即x2+65x−350=0.
故选：B.
本题可设长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm，再根据面积公式列出方程，化简即可．
本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式，列出等式后再进行化简．
10.【答案】D
【解析】解：原等式两边同乘2，得2 a−1+4 b−4+6 c−9=a+b+c，
移项得a−2 a−1+b−4 b−4+c−6 c−9=0，
变形得(a−1−2 a−1+1)+(b−4−4 b−4+4)+(c−9−6 c−9+9)=0，
利用完全平方公式合并得( a−1−1)2+( b−4−2)2+( c−9−3)2=0，
∵( a−1−1)2≥0，( b−4−2)2≥0，( c−9−3)2≥0，
∴ a−1−1=0， b−4−2=0， c−9−3=0，
∴a=2，b=8，c=18，
∴a+b+c=28.
故选：D.
将等式变形与配方可得( a−1−1)2+( b−4−2)2+( c−9−3)2=0，结合非负数的性质可得 a−1−1= b−4−2= c−9−3=0，解得a=2，b=8，c=18，求和即可．
本题考查了配方法，熟练掌握完全平方公式的变形是关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵0的算术平方根是0，
∴x−2=0，
解得：x=2，
故答案为：2.
根据0的算术平方根是0，列出关于x的方程，解方程求出x即可．
本题主要考查了算术平方根，解题关键是根据0的算术平方根是0列出关于x的方程．
12.【答案】5
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则：(n−2)180∘=540∘，
解得n=5，
故答案为：5.
根据n边形的内角和为(n−2)180∘列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
13.【答案】4
【解析】解：将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则：
由题意得，前3个数据为第一组：1，2，3，后3个数据为第二组：4，5，6，
计算第一组的平均数：x−=1+2+33=2，
第一组的组内离差平方和：S1=(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2=1+0+1=2；
计算第二组的平均数：y−=4+5+63=5，
第二组的组内离差平方和：S2=(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2=1+0+1=2；
总的组内离差平方和为S=S1+S2=2+2=4.
故答案为：4.
先将数据按要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果．
本题考查方差，正确进行计算是解题关键．
14.【答案】10
【解析】解：原方程因式分解得(x−2)(x−3)=0，
解得x1=2，x2=3，
即长方形相邻两边的长分别为2和3，
长方形周长为2×(2+3)=10，
故答案为：10.
先求解一元二次方程得到两个根，即为长方形相邻两边的长度，再根据长方形周长公式计算即可得到结果．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
15.【答案】1000m
【解析】解：过A点作AE//OD，
如图，∴∠DOA=∠OAE=60∘.
∵30∘+∠OAB+∠OAE=180∘，
∴∠OAB=90∘.
即△OAB为直角三角形．
由已知可得：OA=500 3m，AB=500m，
由勾股定理可得：OB2=OA2+AB2，
所以OB= (500 3)2+5002=1000(m)，
故答案为：1000m.
根据所走的方向可判断出△OAB是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
本题综合考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用-方向角问题，关键是能熟练地根据性质进行推理和计算，题型较好，难度适中．
16.【答案】2 65
【解析】解：延长DA，FG交于点H，则∠H=90∘，
∵四边形ABCD和四边形BEFG均是正方形，
∴BG=FG，∠BAH=∠BGH=90∘，AB=AD=7 2，
∴四边形ABGH是矩形，
∴BG=AH=FG，AB=HG=7 2，
∵△DFG的面积为18，
∴12FG⋅(AD+AH)=18，即12AH⋅(7 2+AH)=18，
解得AH=2 2,AH=−9 2(舍去)，
∴DH=AD+AH=9 2，
在Rt△DHG中，DG= DH2+GH2=2 65.
故答案为：2 65.
延长DA，FG交于点H，则∠H=90∘，首先，根据四边形ABCD和四边形BEFG均是正方形，证得四边形ABGH是矩形，进而得AB=HG=7 2，BG=AH=FG，再由△DFG的面积为18，得12FG⋅(AD+AH)=18，即12AH⋅(7 2+AH)=18，可得AH=2 2，最后，再由勾股定理得DG的长即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17.【答案】3+ 2 −2
【解析】解：(1) 9− 2+ 8=3− 2+2 2=3+ 2；
(2)原式=2 13× 12− 3× 12=2 4− 36=4−6=−2.
(1)根据二次根式的运算法则计算即可；
(2)根据二次根式的运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
18.【答案】x1=0,x2=52 x1=−1,x2=43
【解析】解：(1)原方程移项可得：
2x2−5x=0，
x(2x−5)=0，
解得x1=0,x2=52；
(2)原方程分解因式可得：
(x+1)(3x−4)=0，
x+1=0或3x−4=0，
解得x1=−1,x2=43.
(1)利用分解因式解方程即可；
(2)利用分解因式解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
19.【答案】6 10−10.
【解析】解：∵3< 10