2025-2026学年浙江省宁波市第十五中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市第十五中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若二次根式 x−2025有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2025B. x>2025C. x≤2025D. x−12B. k−12且k≠0D. k⩾−12且k≠0
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120∘，AB=8，AD>AB.H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 5 32
D. 2 3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11. (−4)2= .
12.某组数据的方差s2=18[(x1−5)2+(x2−5)2+(x3−5)2+⋯+(xn−5)2]，则该组数据的总和是 .
13.若一个多边形的内角和的14比一个五边形的外角和多90∘，则这个多边形的边数是 .
14.如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2.设道路的宽为X m，根据题意，可列方程： .
15.已知x1，x2是方程x2−x−3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)= .
16.如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF=2，连接AF、BF，若∠AFB=90∘，则线段BC的长为 .
17.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的根为x1=2025，x2=1，则一元二次方程a(x−1)2+bx−b=−2的根为 .
18.如图，矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E在AD上，且AE=5，点P在对角线AC上，作点A关于PE的对称点F，当点F恰好落在矩形ABCD的边上时，AF的长为 .
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
计算：
(1) 8− 27−3× 13；
解方程：
(2)x2=3x；
(3)2x2−3x−4=0.
20.(本小题6分)
如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上.请按下列要求，在图1，图2中画顶点均在格点的四边形.
(1)在图1中画一个面积为4的▱ABCD.
(2)在图2中画一个有一条对角线长等于3的平行四边形.
21.(本小题6分)
某校为了解初中学生每天在校体育活动时间(单位：ℎ)，随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的初中学生人数为______，图①中 m的值为______；这组每天在校体育活动时间数据的众数是______和中位数是______；
(2)求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数.
(3)根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数.
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ACB=90∘，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE//AB，连接BE、CF.
(1)求证：CE=BF；
(2)求证：四边形CFBE是菱形；
(3)若AB=10，BC=8，求DF的长.
23.(本小题8分)
2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品.某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件.
(1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率.
(2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件.市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销.为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
24.(本小题9分)
类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD的顶点A、B、C在网格格点上，请你在5×7的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形ABCD要求顶点D在网格格点上．
(2)如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，F是DE上一点，AD=DE，∠AFE=∠B，请说明四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在平行四边形ABCD中，∠B=60∘，DE平分∠ADC，交BC于点E，AB=2，BE=1，F是线段DE上一点，当四边形ABEF是“等邻边四边形”时，请直接写出DF的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，x−2025≥0，
解得：x≥2025.
故选：A.
形如 a(a≥0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C.
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，由此判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：湘超永州队球员的平均年龄不到20岁，部分核心球员的年龄为：20，19，17，22，20；
把这组数据从小到大排列为17，19，20，20，22，位于正中间的数为20，
∴中位数为20，
∵20出现的次数最多，
∴众数为20.
故选：D.
中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；据此即可求解．
本题考查众数，正确进行计算是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵AB=CD，AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D.
由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：C.
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
6.【答案】B
【解析】解：∵x2−4x=1，
∴x2−4x+4=1+4，即(x−2)2=5，
故选：B.
两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
7.【答案】D
【解析】解：根据箱线图的相关概念逐项分析判断如下：
A、由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，说法正确，不符合题意；
B、A班的最低分比B班的最低分低，说法正确，不符合题意；
C、A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意；
D、B班的成绩比A班的成绩更集中，原说法错误，符合题意；
故选：D.
根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可．
本题考查了中位数，熟练掌握箱线图的相关概念是关键．
8.【答案】C
【解析】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60∘”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60∘.
故选：C.
反证法证明命题时，首先假设命题的结论不成立，由此即可得到答案．
本题考查反证法，三角形内角和定理，关键是掌握用反证法证明命题时，首先假设命题的结论不成立．
9.【答案】C
【解析】解：由条件可知Δ=(k+1)2−4k⋅k4>0且k≠0，
∴(k+1)2−4k⋅k4>0，
k2+2k+1−k2>0，
2k+1>0，
2k>−1，
解得k>−12，
∴k>−12且k≠0.
故选：C.
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac0，再由二次项系数不为0可得k≠0，据此求解即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接AG，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴EF=12AG，
∴当AG最小时，EF有最小值，当AG⊥BC时，AG最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠B+∠C=180∘，
∵∠C=120∘，
∴∠B=60∘，
当AG⊥BC时，∠AGB=90∘，
∴∠BAG=90∘−60∘=30∘，
∴BG=12AB=12×8=4，
∴AG= AB2−BG2=4 3，
∴EF=12AG=2 3，
∴EF的最小值是2 3.
故选：D.
连接AG，由三角形中位线定理推出EF=12AG，因此当AG⊥BC时，EF最小，由平行线的性质求出∠B=60∘，由含30度角的直角三角形的性质得到BG=12AB=4，由勾股定理求出AG=4 3，得到EF=12AG=2 3，于是得到EF的最小值．
本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，勾股定理，关键是由三角形中位线定理得到EF=12AG.
11.【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质 a2=a即可化简求解．
【解答】
解： −42=−4=4.
故答案为4.
12.【答案】40
【解析】解：由方差公式可知该组数据的平均数为5，数据个数为8，
故总和为5×8=40.
故答案为：40.
方差公式中减去的常数5表示数据的平均数，数据个数为8，因此总和为平均数与个数的乘积．
本题考查方差的计算公式，解题的关键是根据计算公式来找到数据的平均数．
13.【答案】12
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
14×180∘×(n−2)−360∘=90∘，
解得：n=12.
故答案为：12.
设这个多边形的边数是n，根据已知条件列出关于x的方程式即可作答．
本题主要考查多边形的内角和外角，找到等量关系是解题的关键．
14.【答案】(12−x)(8−x)=60
【解析】解：∵道路的宽为x m，
∴由题意得，(12−x)(8−x)=60.
故答案为：(12−x)(8−x)=60.
把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确进行计算是解题关键．
15.【答案】−4
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=−3，
所以(x1+1)(x2+1)=x1+x2+x1x2+1=1+2×(−3)+1=−4.
故答案为：−4.
先利用根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=−3，然后根据整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.
16.【答案】12
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵∠AFB=90∘，D是AB的中点，AB=8，
∴DF=12AB=12×8=4，
∵EF=2.
∴DE=EF+DF=6.
∴BC=12，
故答案为：12.
利用三角形中位线定理得到DE=12BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=12AB，即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
17.【答案】x1=2026，x2=2
【解析】解：一元二次方程a(x−1)2+bx−b=−2变形为一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+2=0，
此方程可看作(x−1)的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的根为x1=2025，x2=1，
∴一元二次方程a(x−1)2+b(x−1)+2=0的两根满足x−1=2025或x−1=1，
解得x1=2026，x2=2.
故答案为：x1=2026，x2=2.
把一元二次方程a(x−1)2+bx−b=−2看作(x−1)的一元二次方程，利用一元二次方程解的定义得到x−1=2025或x−1=1，然后解两个一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
18.【答案】2 5或4 5
【解析】解：如图，连接CE，
∵点A关于PE的对称点F，
∴AE=EF=5，
∵AE=5，AD=8，CD=4，
∴DE=3，AC= AD2+CD2=4 5，
∴EC= DE2+DC2=5，
∴点F与点C重合，
∴AF=AC=4 5，
当点F在BC上时，如图，过点F作FH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，∠B=∠BAD=90∘，
∴四边形ABFH是矩形，
∴HF=AB=4，BF=AH，
∴EH= EF2−HF2= 25−16=3，
∴AH=2=BF，
∴AF= AB2+BF2=2 5，
故答案为：2 5或4 5.
由轴对称的性质可得AE=EF=5，由勾股定理可求AC=5，则点F与点C重合，点F在BC上时，可证四边形ABFH是矩形，可得HF=AB=4，BF=AH，由勾股定理可求AF的长．
本题矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】2 2−4 3 x1=0，x2=3 x1=3+ 414，x2=3− 414
【解析】解：(1)原式=2 2−3 3− 3
=2 2−4 3；
(2)x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3；
(3)∵a=2，b=−3，c=−4，
∴Δ=(−3)2−4×2×(−4)=41，
∴x=3± 412×2，
∴x1=3+ 414，x2=3− 414.
(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x=0或x−3=0，然后解两个一次方程即可；
(3)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算和公式法．
20.【答案】解：(1)如图1中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图2中，平行四边形ABCD即为所求．
【解析】(1)画一个底为2，高为2的平行四边形即可；
(2)画一个对角线BD=3的平行四边形ABCD即可．
本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】40;25;1.5;1.5 1.5 该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为2430人
【解析】解：(1)本次接受调查的初中学生人数=820%=40(人).
根据题意得：
m%=1040×100%，
解得：m=25，
这组数据中出现次数最多的数据为1.5，所以众数为1.5.
这组数据共40个，按大小顺序排列后，第20个和第21个数分别为1.5和1.5，所以这组数据的中位数为：1.5+1.52=1.5.
故答案为：40，25，1.5，1.5；
(2)0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×340=1.5；
(3)2700×3640=2430(人)，
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为2430人．
(1)本次接受调查的初中学生人数为820%人；根据题意得m%=1040×100%；这组数据中出现次数最多的数据为1.5；这组数据共40个，按大小顺序排列后，第20个和第21个数分别为1.5和1.5；
(2)这组每天在校体育活动时间数据的平均数=0.9×4+1.2×8+1.5×15+1.8×10+2.1×340；
(3)该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为2700×3640人．
本题主要考查数据的分析，掌握其相关知识点是解题的关键．
22.【答案】见解答 见解答 3
【解析】(1)证明：∵CE//AB，
∴∠DCE=∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD=BD，
在△CDE和△BDF中，
∠DCE=∠DBFCD=BD∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(ASA)，
∴CE=BF；
(2)证明：由(1)知CE=BF，
∵CE//AB，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形；
(3)解：∵∠ACB=90∘，
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC//EF，
又∵CE//AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF=AC=6，
由(1)可知，DF=DE，
∴DF=12EF=3.
(1)证△CDE≌△BDF(ASA)，即可得CE=BF；
(2)由(1)知CE=BF，因为CE//AB，则四边形CFBE是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
(3)由勾股定理得AC=6，再证四边形ACEF是平行四边形，得EF=AC=6，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】10% 每件应降价5元
【解析】解：(1)设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：20(1+x)2=24.2，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1(不符合题意，舍去).
答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%；
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30−y−15)元，日销售量为(70+10y)件，
根据题意得：(30−y−15)(70+10y)=1200，
整理得：y2−8y+15=0
解得：y1=3，y2=5，
又∵要尽快减少库存，
∴y=5，
答：每件应降价5元．
(1)设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，利用该毛绒小马3月份的销量=该毛绒小马1月份的销量×(1+该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设每件应降价y元，则每件的销售利润为(30−y−15)元，日销售量为(70+10y)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；
(2)连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠AEB=∠AED，
∵∠AFE=∠B，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴四边形ABEF是“等邻边四边形”；
(3)作CH⊥DE于H，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，∠BCD=180∘−∠B=120∘，CD=AB=2，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE=30∘，
∴DE=2EH=2 3，
∵四边形ABEF是“等邻边四边形”，
当EB=EF时，DF=DE−EF=2 3−1；
当AF=AB=2时，作AG⊥DE于G，
∵∠ADE=30∘，
∴AG=12AD=32，DG=32 3，
在Rt△AGF中，由勾股定理得，FG= 22−(32)2= 72，
∴DF=DG−FG=32 3− 72；
当AF=FE时，∵AB=2，BE=1，∠B=60∘，
∴∠AEB=90∘，
∵AD//BC，
∴∠EAD=90∘，
∵AF=FE，
∴∠FAE=∠AEF，
∴∠ADF=∠FAD，
∴AF=DF，
∴DF=EF=12DE= 3，
综上：DF=2 3−1或32 3− 72或 3.
【解析】(1)根据”等邻边四边形”的定义，直接画出符合题意的图形即可；
(2)利用AAS证明△ABE≌△AFE，得BE=EF，可证明结论；
(3)首先利用含30∘角的直角三角形的性质求出DE的长，再分EB=EF或AF=AB或AF=FE三种情形，分别画出图形，从而解决问题．
本题是四边形的综合题，主要考查了“等邻边四边形”的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30∘角的直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解决问题(3)的关键．