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浙江省杭州市余杭区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省杭州市余杭区2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2
3．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．﹣＝ D．÷＝4
4．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
6．在▱ABCD中，∠A：∠B＝3：1，则∠D＝（ ）
A．22.5° B．45° C．135° D．157.5°
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
8．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．3
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．七边形的内角和为 度，外角和为 度．
12．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝ ．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝ ．
14．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 ．
15．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
18．解方程：
（1）x2﹣4x＝12
（2）x2﹣3x+1＝0
19．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ ，a＝ ．
（2）这组数据的众数是 次，中位数是 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
体育打卡次数（次）
体能测试成绩（分）
小方
49
10
小锋
50
9
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
21．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
22．端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400．
（1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 个，每天的总利润为 元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
23．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，
∴x≤，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．﹣＝ D．÷＝4
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝＝，正确；
C、原式＝2﹣＝，错误；
D、原式＝＝＝2，错误，
故选：B．
4．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【解答】解：由题意得，（7+x）÷2＝9，
解得：x＝11，
故选：C．
5．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
6．在▱ABCD中，∠A：∠B＝3：1，则∠D＝（ ）
A．22.5° B．45° C．135° D．157.5°
【分析】利用∠A和∠B互补，加上已知的角度之比可得∠A度数，那么∠D＝∠B．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠D＝∠B，
∵∠A：∠B＝3：1，
∴∠B＝45°，
∴∠D＝∠B＝45°．
故选：B．
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【分析】等量关系为：一月份生产的零件个数+二月份生产的零件个数+三月份生产的零件个数＝218万个．
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60（1+x），
同理可得三月份生产的零件个数为60（1+x）（1+x），
那么60+60×（1+x）+60（1+x）2＝218．
即：60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218，
故选：C．
8．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得△＜0，从而求出k的取值范围，再确定k的最小整数．要保证二次项系数不为0．
【解答】解：∵一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0，即（k﹣1）x2+x+3＝0无实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k﹣1）×3＜0且k﹣1≠0，
解得k＞．
k最小整数＝2．
故选：A．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出BE＝AB＝6，得出CE，由等腰三角形的性质得出AG＝EG，由勾股定理求出EG，得出AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，AG＝EG，
∴EG＝＝＝2，
∴AE＝2EG＝4，
∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．3
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝12，AC＝＝6，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，
∵OP′⊥BC，∠ACB＝30°，
∴OP'＝OC＝，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝3．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．七边形的内角和为 900 度，外角和为 360 度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．
12．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝ 3k﹣11 ．
【分析】根据三角形的三边关系得出3＜k＜5，再根据|2k﹣5|﹣＝|2k﹣5|﹣|k﹣6|，进行化简即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴3＜k＜5，
∴2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|﹣＝|2k﹣5|﹣|k﹣6|＝2k﹣5﹣（6﹣k）＝3k﹣11；
故答案为：3k﹣11．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝ 10 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝4，再把3m2﹣9m变形为3（m2﹣2m）﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
14．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 6 ．
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．
【解答】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，
一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．
故答案为6．
15．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是 6或2 ．
【分析】先解一元二次方程，再由三角形的面积公式求解．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得x1＝3，x2＝5．
当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高为，所以该三角形的面积是4÷2＝2；
当x2＝5时，与另两边组成直角三角形，该三角形的面积＝3×4÷2＝6．
16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是 ①②③ ．
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，故②正确；
∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF＝S△DMF，
∴S△ECM＝S四边形AECD，
∵S△ABC＜S四边形AECD，
故S△ABC＜2S△CEF；，
∵S△BEC＜S△ABC，
∴S△BEC＜2S△CEF；
故③成立；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．
正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题
17．计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+3
＝6；
（2）原式＝5﹣2+3+5﹣3
＝10﹣2．
18．解方程：
（1）x2﹣4x＝12
（2）x2﹣3x+1＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解即可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝12
x2﹣4x﹣12＝0
分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，
可得x﹣6＝0或x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
（2）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，△＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
19．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ 4 ，a＝ 126° ．
（2）这组数据的众数是 6 次，中位数是 5 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
体育打卡次数（次）
体能测试成绩（分）
小方
49
10
小锋
50
9
【分析】（1）根据打卡4次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到m的值，用360°乘以打卡6次所占的百分比求出α；
（2）根据众数与中位数的定义求解；
（3）分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场PK．
【解答】解：（1）抽取的打卡总次数为：2÷10%＝20（次），
m＝20﹣（3+4+2+7）＝4，
α＝360°×＝126°．
故答案为：4，126°；
（2）打卡6次的次数为7，次数最多，所以众数是6次；
把20个数据按从小到大的顺序排列，位于第10，11个的数据都是5，所以中位数是5次．
故答案为：6，5；
（3）小方的成绩为：49×30%+10×70%＝21.7（分），
小锋的成绩为：50×30%+9×70%＝21.3（分），
∵21.7＞21.3，
∴小方赢得了这场PK．
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【分析】（1）由方程根的定义求出a的值即可；
（2）由根的判别式求出a的取值范围即可得出答案；
（3）由a的值求出原方程，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11．
（2）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0有实数根，
∴△≥0，且a≠3，
∴36﹣32（a﹣3）≥0，
解得a，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
（3）当a＝4时，方程x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝4，
21．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
【分析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB＝∠DAB，∠MBA＝∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA＝90°，即得证．
（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF＝BC＝AD＝DE，再利用等量减等量差相等，可证．
【解答】解：
（1）方法一：如图①，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．（1分）
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF．（2分）
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°．
即∠BAE+∠ABF＝90°．（3分）
∴∠AMB＝90°．
∴AE⊥BF．（4分）
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB．（1分）
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB．（2分）
∴∠APB＝∠PAB．
∴AB＝BP．（3分）
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF．（4分）
（2）方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE，（5分）
∵在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠DAE．
∴DE＝AD．（6分）
同理可得，CF＝BC．（7分）
又∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF．
∴DE﹣EF＝CF﹣EF．
即DF＝CE．（8分）
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB．
∴∠APB＝∠PAB．
∴BP＝AB．
同理可得，AO＝AB．
∴AO＝BP．（6分）
∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴OD＝PC．
又∵在▱ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．（7分）
∴＝，＝．
∴DF＝CE．（8分）
22．端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400．
（1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 560 个，每天的总利润为 1008 元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
【分析】（1）把x＝0.2代入已知函数关系式，求得相应的y值；然后由利润＝每一个粽子的利润×数量求得总利润；
（2）根据利润＝每一个粽子的利润×数量列出关于x的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为800×0.2+400＝560（个），
每天的总利润为：560×（2﹣0.2）＝1008（元）．
故答案是：560；1008；
（2）由题意，得（2﹣x）（800x+400）＝1200，
解得：x＝0.5或x＝1．
当x＝1时，y＝800+400＝1200＞1100，超过每天可以制作的最大量，故不符合题意．
所以，当每个粽子的单价降低0.5元时，该店每天的总利润刚好是1200元．
23．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点Q作QE⊥AD于E，可证四边形ABQE是矩形，可得QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，由勾股定理可求解；
（2）由“AAS”可证△DMP≌△CMQ，可得CQ＝DP，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点Q作QE⊥AD于E，
当t＝2时，AP＝6，BQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
又∵QE⊥AD，
∴四边形ABQE是矩形，
∴QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，
∴EP＝AP﹣AE＝6﹣2＝4，
∴PQ＝＝＝5；
（2）如图2，
∵AD∥BC，
∴∠CQM＝∠DPM，
∵点M是CD中点，
∴CM＝DM，
又∵∠DMP＝∠CMQ，
∴△DMP≌△CMQ（AAS），
∴CQ＝DP，
∴6﹣t＝3t﹣6，
∴t＝3；
（3）由题意可得：AP＝3t，AQ＝，PQ＝＝，
若AP＝AQ时，则3t＝，
∴t＝（负值舍去），
若AP＝PQ时，3t＝，
∴t＝（负值舍去），
若AQ＝PQ时，＝，
∴t＝0（不合题意舍去），
综上所述：当t＝或时，△APQ为等腰三角形．
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2
3．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．﹣＝ D．÷＝4
4．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
6．在▱ABCD中，∠A：∠B＝3：1，则∠D＝（ ）
A．22.5° B．45° C．135° D．157.5°
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
8．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．3
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．七边形的内角和为 度，外角和为 度．
12．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝ ．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝ ．
14．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 ．
15．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
18．解方程：
（1）x2﹣4x＝12
（2）x2﹣3x+1＝0
19．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ ，a＝ ．
（2）这组数据的众数是 次，中位数是 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
体育打卡次数（次）
体能测试成绩（分）
小方
49
10
小锋
50
9
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
21．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
22．端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400．
（1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 个，每天的总利润为 元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
23．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年浙江省杭州市余杭区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：4﹣3x≥0，
∴x≤，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．﹣6x+2＝0 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．+x＝2
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．+＝ B．•＝ C．﹣＝ D．÷＝4
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝＝，正确；
C、原式＝2﹣＝，错误；
D、原式＝＝＝2，错误，
故选：B．
4．一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【解答】解：由题意得，（7+x）÷2＝9，
解得：x＝11，
故选：C．
5．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
6．在▱ABCD中，∠A：∠B＝3：1，则∠D＝（ ）
A．22.5° B．45° C．135° D．157.5°
【分析】利用∠A和∠B互补，加上已知的角度之比可得∠A度数，那么∠D＝∠B．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠D＝∠B，
∵∠A：∠B＝3：1，
∴∠B＝45°，
∴∠D＝∠B＝45°．
故选：B．
7．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【分析】等量关系为：一月份生产的零件个数+二月份生产的零件个数+三月份生产的零件个数＝218万个．
【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60（1+x），
同理可得三月份生产的零件个数为60（1+x）（1+x），
那么60+60×（1+x）+60（1+x）2＝218．
即：60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218，
故选：C．
8．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得△＜0，从而求出k的取值范围，再确定k的最小整数．要保证二次项系数不为0．
【解答】解：∵一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0，即（k﹣1）x2+x+3＝0无实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k﹣1）×3＜0且k﹣1≠0，
解得k＞．
k最小整数＝2．
故选：A．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出BE＝AB＝6，得出CE，由等腰三角形的性质得出AG＝EG，由勾股定理求出EG，得出AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵BG⊥AE，
∴∠BGE＝90°，AG＝EG，
∴EG＝＝＝2，
∴AE＝2EG＝4，
∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．3
【分析】设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝12，AC＝＝6，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，
∵OP′⊥BC，∠ACB＝30°，
∴OP'＝OC＝，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝3．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．七边形的内角和为 900 度，外角和为 360 度．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．任何多边形的外角和是360度．
【解答】解：（7﹣2）•180＝900度，外角和为360度．
12．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣＝ 3k﹣11 ．
【分析】根据三角形的三边关系得出3＜k＜5，再根据|2k﹣5|﹣＝|2k﹣5|﹣|k﹣6|，进行化简即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴3＜k＜5，
∴2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|﹣＝|2k﹣5|﹣|k﹣6|＝2k﹣5﹣（6﹣k）＝3k﹣11；
故答案为：3k﹣11．
13．已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝ 10 ．
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝4，再把3m2﹣9m变形为3（m2﹣2m）﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
14．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为 6 ．
【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值，然后求中位数即可．
【解答】解：∵两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，
∴，
解得，
若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，8，8，8，
一共7个数，第四个数是6，所以这组数据的中位数是6．
故答案为6．
15．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是 6或2 ．
【分析】先解一元二次方程，再由三角形的面积公式求解．
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得x1＝3，x2＝5．
当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高为，所以该三角形的面积是4÷2＝2；
当x2＝5时，与另两边组成直角三角形，该三角形的面积＝3×4÷2＝6．
16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（不与A、B重合），连接EF、CF，则以下结论：
①∠DCF＝∠BCD；
②EF＝CF；
③S△BEC＜2S△CEF；
④∠DFE＝4∠AEF．
一定成立的是 ①②③ ．
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EM＝FE，故②正确；
∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，即S△ECM＝2S△CEF，
∵△AEF≌△DMF，
∴S△AEF＝S△DMF，
∴S△ECM＝S四边形AECD，
∵S△ABC＜S四边形AECD，
故S△ABC＜2S△CEF；，
∵S△BEC＜S△ABC，
∴S△BEC＜2S△CEF；
故③成立；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④不正确．
正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三．解答题
17．计算：
（1）2﹣+3；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣+3
＝6；
（2）原式＝5﹣2+3+5﹣3
＝10﹣2．
18．解方程：
（1）x2﹣4x＝12
（2）x2﹣3x+1＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解即可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x＝12
x2﹣4x﹣12＝0
分解因式得：（x﹣6）（x+2）＝0，
可得x﹣6＝0或x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
（2）x2﹣3x+1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，△＝b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
19．疫情期间，实验中学启动“抗疫在家体有运动打卡”活动．线上学习期间，为了解同学的打卡情况，某社会实践小组随机抽取某一周的部分打卡次数数据，通过分析与整理，绘制了如下统计图．
（1）m＝ 4 ，a＝ 126° ．
（2）这组数据的众数是 6 次，中位数是 5 次．
（3）返校后，线上体育打卡1次记为1分，将线上体育打卡和体能测试成绩分别按照30%和70%的比例计算出平均成绩并评选出体育达人，小方与他的PK对手小锋的成绩分别如表所示，请通过计算说明最终谁赢得了这场PK．
体育打卡次数（次）
体能测试成绩（分）
小方
49
10
小锋
50
9
【分析】（1）根据打卡4次数及其所占的百分比求出打卡总数，根据各组打卡次数之和等于总次数得到m的值，用360°乘以打卡6次所占的百分比求出α；
（2）根据众数与中位数的定义求解；
（3）分别求出两人的加权平均数，分数较高者赢得这场PK．
【解答】解：（1）抽取的打卡总次数为：2÷10%＝20（次），
m＝20﹣（3+4+2+7）＝4，
α＝360°×＝126°．
故答案为：4，126°；
（2）打卡6次的次数为7，次数最多，所以众数是6次；
把20个数据按从小到大的顺序排列，位于第10，11个的数据都是5，所以中位数是5次．
故答案为：6，5；
（3）小方的成绩为：49×30%+10×70%＝21.7（分），
小锋的成绩为：50×30%+9×70%＝21.3（分），
∵21.7＞21.3，
∴小方赢得了这场PK．
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【分析】（1）由方程根的定义求出a的值即可；
（2）由根的判别式求出a的取值范围即可得出答案；
（3）由a的值求出原方程，解方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+6+8＝0，
∴a＝﹣11．
（2）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣6x+8＝0有实数根，
∴△≥0，且a≠3，
∴36﹣32（a﹣3）≥0，
解得a，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
（3）当a＝4时，方程x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得x＝2或x＝4，
21．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
【分析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB＝∠DAB，∠MBA＝∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA＝90°，即得证．
（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF＝BC＝AD＝DE，再利用等量减等量差相等，可证．
【解答】解：
（1）方法一：如图①，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．（1分）
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF．（2分）
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°．
即∠BAE+∠ABF＝90°．（3分）
∴∠AMB＝90°．
∴AE⊥BF．（4分）
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB．（1分）
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB．（2分）
∴∠APB＝∠PAB．
∴AB＝BP．（3分）
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF．（4分）
（2）方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE，（5分）
∵在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠DAE．
∴DE＝AD．（6分）
同理可得，CF＝BC．（7分）
又∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF．
∴DE﹣EF＝CF﹣EF．
即DF＝CE．（8分）
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB．
∴∠APB＝∠PAB．
∴BP＝AB．
同理可得，AO＝AB．
∴AO＝BP．（6分）
∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴OD＝PC．
又∵在▱ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．（7分）
∴＝，＝．
∴DF＝CE．（8分）
22．端年节吃粽子是中国古老的传统习俗，某粽子批发店卖出每个粽子的利润为2元，根据员工情况，每天最多能做1100个，由市场调查得知，若每个粽子的单价降低x元，则粽子每天的销售量y（个）关于x（元）的函数关系式为y＝800x+400．
（1）若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为 560 个，每天的总利润为 1008 元．
（2）当每个粽子的单价降低多少元时，该店每天的总利润刚好是1200元？
【分析】（1）把x＝0.2代入已知函数关系式，求得相应的y值；然后由利润＝每一个粽子的利润×数量求得总利润；
（2）根据利润＝每一个粽子的利润×数量列出关于x的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）由题意可得：若每个粽子降价0.2元，则该店每天的销售量为800×0.2+400＝560（个），
每天的总利润为：560×（2﹣0.2）＝1008（元）．
故答案是：560；1008；
（2）由题意，得（2﹣x）（800x+400）＝1200，
解得：x＝0.5或x＝1．
当x＝1时，y＝800+400＝1200＞1100，超过每天可以制作的最大量，故不符合题意．
所以，当每个粽子的单价降低0.5元时，该店每天的总利润刚好是1200元．
23．如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．
（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点Q作QE⊥AD于E，可证四边形ABQE是矩形，可得QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，由勾股定理可求解；
（2）由“AAS”可证△DMP≌△CMQ，可得CQ＝DP，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点Q作QE⊥AD于E，
当t＝2时，AP＝6，BQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
又∵QE⊥AD，
∴四边形ABQE是矩形，
∴QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，
∴EP＝AP﹣AE＝6﹣2＝4，
∴PQ＝＝＝5；
（2）如图2，
∵AD∥BC，
∴∠CQM＝∠DPM，
∵点M是CD中点，
∴CM＝DM，
又∵∠DMP＝∠CMQ，
∴△DMP≌△CMQ（AAS），
∴CQ＝DP，
∴6﹣t＝3t﹣6，
∴t＝3；
（3）由题意可得：AP＝3t，AQ＝，PQ＝＝，
若AP＝AQ时，则3t＝，
∴t＝（负值舍去），
若AP＝PQ时，3t＝，
∴t＝（负值舍去），
若AQ＝PQ时，＝，
∴t＝0（不合题意舍去），
综上所述：当t＝或时，△APQ为等腰三角形．
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