人教版（2024）八年级下册（2024）第十九章 二次根式19.3 二次根式的加法与减法当堂达标检测题

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（1）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
（注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.）
（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：ma+na=(m+n)a
(3)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
(4)加减法的运算步骤：
①化——将非最简二次根式的二次根式化简；
②找——找出被开方数相同的二次根式；
③并——把被开方数相同的二次根式合并.
（口诀：一化简二判断三合并）
（5）二次根式的混合运算及应用
①.运算种类：
二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算.
②.运算顺序：
无括号的先乘方，再乘除，最后加减.
有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）.
同级运算，从左到右进行计算.
③.运算依据：
实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.
（6）利用乘法公式进行二次根式的运算
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;
练习题
第 1 课时 二次根式的加减
１．下列式子中，能与3合并的是（ ）
Ａ．9 Ｂ．２3 Ｃ．３2 Ｄ．6
２．已知二次根式ｘ＋３ 与１２是可以合并的二次根式，则ｘ的值可以是 ．（只需写出一个）
3．下列计算正确的是 （ ）
Ａ．5－3＝2 Ｂ．12－3＝3 Ｃ．３＋２3＝５3 Ｄ．14＋7＝21
４．计算：
（１）23－(1624－3212)＝ ．
（２）（12+3）－（2－12）＝ ．
５．若ａ，ｂ为有理数且4－18＋12＝ ａ＋ｂ2，则ａ＋ｂ＝ ．
６．对于任意两个不相等的实数 ｘ，ｙ，定义运算“Ω”为若 ｘ＜ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ＋ｙ；若ｘ＞ｙ，则 ｘΩｙ＝ｘ－ｙ，其他运算符号的意义不变，按照上述定义，计算（8Ω18）－（32Ω2）的值为 ．
７．如图，中国结内包含两个全等的正方形，若两个大正方形的面积均为９８ｃｍ２，重叠部分的小正方形面积为 ７２ｃｍ２，则ＢＥ的长为 ｃｍ．
８．若两个最简二次根式３２ｍ＋５与 ２４ｍ－４可以合并，则合并后的结果是（ ）
Ａ．３5 Ｂ．５7 Ｃ．５23 Ｄ．５14
９．已知 ａ，ｂ，ｃ满足（ａ－8）２＋ｂ－５＋｜ｃ－３2｜＝０．以 ａ，ｂ，ｃ 为边长的三角形的周长为 ．
１０．化简：12ｍ９ｍ＋８ｍm4－２ｍ２1m，并任取一个 ｍ 的值使其结果为正整数．
１１．嘉琪准备完成题目“计算：48－■18－（３13－４０.５）时，发现“■” 处的数字印刷不清楚．
（１）他把“■” 处的数字猜成 ４，请你计算48－418－（３13－４０.５）的结果．
（２）他妈妈说：“你猜错了，我看到这个题的正确答案是 33．”通过计算说明题目中的“■”处的数字是几．
第 2 课时 二次根式的混合运算
１．计算(515－２４５)÷（－5）的结果是（ ）
Ａ．５ Ｂ．－５ Ｃ．７ Ｄ．－７５
２．已知实数 ｍ＝2×(5－22)，则实数 ｍ 的值应在 （ ）
Ａ．１与２之间 Ｂ．２与３之间 Ｃ．３与４之间 Ｄ．４与５之间
３．计算3232÷８－23１８ ＋212×34的结果为（ ）
Ａ．－２2 Ｂ．６－２2 Ｃ．62－２ Ｄ．６
４．计算 ２４÷３－６×23－（－3）２的结果为 ．
５．现将一个面积为 ３００ ｃｍ２的正方形的一组对边缩短 ８3ｃｍ，就成为一个长方形，这个长方形的面积为 ｃｍ２．
６．计算：
（１）（2－6）×18－３13．
（２）48÷3－12×18＋24．
（３）(212－13)×6－27+123
７．计算（１０ ＋6）（１０－6）＝（ ）
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８
８．若（2＋3）２ ＝ ａ＋ｂ3（ ａ，ｂ 为整数），则 ａ＋ｂ 等于 （ ）
Ａ．７ Ｂ．９ Ｃ．１１ Ｄ．１２
９．计算：
（１）（３＋2）（３－2）－24÷6．
（２） (634－3)÷3＋（2－3）×（2＋3）．
（３）（10＋11）２０２６×（11－10）２０２６．
１０．下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．
（6＋5）２－（6－5）２
＝（6）２＋（5）２－（6）２＋（5）２ ………… 第一步
＝ ６＋５－６＋５ ……………………………… 第二步
＝１０． ……………………………………… 第三步
任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 完全平方公式运用错误 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
１１．计算（17＋４）２０２５×（17－４）２０２６的结果是 （ ）
Ａ．17＋４ Ｂ．４ Ｃ．－４ Ｄ．17－４
１２．已知ｘ＋ｙ＝－９，ｘｙ＝９，则ｘyx＋ｙxy的值是 （ ）
Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．３ Ｄ．－３
１３．若３－2的整数部分为 ａ，小数部分为 ｂ，则代数式（２＋2ａ）·ｂ 的值为 （ ）
Ａ．２ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．－２
１４．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图所示，老师把题目交给第一位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是 ．
１５．已知Ａ＝ｘ２－２2ｘ．
（１）把多项式Ａ分解因式为 ．
（２）当 ｘ＝6＋2时，多项式 Ａ 的值为 ．
16.已知ｘ＝5－12，ｙ＝5+12，求yx＋xy和（ｘ－１）（ｙ－１）的值．
17.计算：
（１）318×36÷26． （２）２４ ×４12÷４８ ．
（３）312－６13＋248． （４）12－３13＋｜２－3｜．
18．计算：
（１）12÷6－｜3－22｜＋（15）－１．
（２）（43+3）×12－48÷6．
（３）（212－６13＋３４８）÷23．
（４）92－12×（24＋３23）
19．计算：
（１）（33－１）（33＋１）－（23－１）２．
（２）（48＋18）（２－23）－（3－2）２．
（３）（7＋43）（2－3）２＋（２＋3）（２－3）－3．
20．观察下列运算：
①由（2＋１）（2－１）＝ １，得12+1＝2－１；
②由（3＋2）（3－2）＝ １，得13+2＝3－2；……
问题：
（１）通过观察你得出什么规律？ 用含 ｎ 的式子表示出来．
（２）利用（１）中发现的规律计算：（12+1+13+2+14+3＋… ＋12025+2024＋12026+2025）（2026＋１）．
21．观察下列各式：
1+112+122＝１＋11－12＝ １12；
1+122+132＝１＋12－13＝ １16；
1+132+142＝１＋13－14＝ １112；．
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
（１）猜想：1+172+182１＝ ＝ ．
（２）归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用 ｎ（ｎ 为正整数） 表示的等式： ．
（ ３ ） 应用：用上述规律计算1+112+122+1+122+132+1+132+142＋…＋1+192+1102．
22．先化简，再求值：（３ｘ＋ｙx2－y2+2xy2－x2）÷2x2y－xy2，其中ｘ＝3＋１，ｙ＝3．
23.（１）已知 ａ ＝5－２，求代数式 ａ３＋４ａ２－ａ＋６ 的值．
（２）已知ｘ＝3－２，ｙ＝3＋２，求yx+xy的值．
24．若 ａ，ｂ为实数，且ｂ＝３－５ａ＋５ａ－３＋１５，试求ba+ab+2－ba+ab－2的值．
25．（１）先化简， 再求值：２５ｘｙ＋ｘyx－４ｙxy－1yxy3，其中 ｘ＝13，ｙ＝４．
（２）已知 ｘ＝12+3，ｙ＝12－3，求代数式ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２的值．
26．阅读理解题 阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简４＋２3 ．
解：４＋２3＝1＋２3+3＝（1+3）2＝｜１＋3｜ ＝ １＋3．
（１）依据上述计算，填空：7＋43＝ ，41－243＝ ．
（２） 根 据 上 述 方 法 求 值：3－22＋5－26＋7－43＋…＋100－6011．
答案
第 1 课时 二次根式的加减
１．Ｂ
２．０（答案不唯一）
３．Ｂ
４．（１）３3 （２）３3－22
５．－12
６．22 ．
７．2
８．Ｄ
９．５2＋５
１０．解析 12ｍ９ｍ＋８ｍm4－２ｍ２1m
＝12ｍ·3ｍ＋８ｍ·12m－２ｍ２·1mm
＝32ｍｍ＋4ｍm－2mm
＝72ｍｍ
当ｍ＝４ 时，原式＝72×4×4＝２８．（答案不唯一）
１１．解析 （１）48－418－（３13－４０.５）
＝43－４×22－３×33＋４×22
＝33＋2．
(2)8
第 2 课时 二次根式的混合运算
１．Ａ
２．Ｂ
３．Ｂ
４．－42－３
５．６０
６．解析 （１）原式＝（2－6）×18－３13
＝６－63－3
＝６－７3．
(2)原式＝48÷3－12×18＋24
＝4－3＋26
＝1＋26．
（３）原式＝(212－13)×6－27+123
＝122－2－5
＝112－5．
７．Ｂ
８．Ｃ
９．解析 （１）原式＝（３＋2）（３－2）－24÷6
＝７－４
＝７－２
＝５．
（２）原式＝(634－3)÷3＋（2－3）×（2＋3）
＝32－3＋２＋3
＝72．
（3）原式 ＝（10＋11）２０２６×（11－10）２０２６
＝（１１－１０）２０２６
＝ １．
１０．解析 任务一：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误．
任务二：（6＋5）２－（6－5）２
＝ （6）２＋230＋（5）２－［（6）２－２30＋（5）２］
＝ ６＋２30＋５－（６－２30＋５）
＝ ６＋２30＋５－６＋２30－５
＝４30．
１１．Ｄ
１２．Ｂ
１３．Ａ
１４．小丽和小红
１５．（１）ｘ（ｘ－２2） （２）４
１６．解析 ∵ ｘ＋ｙ＝5－12+5+12＝5，ｘｙ＝5－14＝ １，
∴yx＋xy=y2+x2xy＝（x+y）2－2xyxy＝5－21＝3
（ｘ－１）（ｙ－１）
＝ ｘｙ－ｘ－ｙ＋１
＝ｘｙ－（ｘ＋ｙ）＋１
＝１－5＋１
＝ ２－5．
17．解析 （１）原式＝3×16÷218×3÷6
＝149
＝34．
（2）原式＝２４ ×４12÷４８
＝ 83÷43＝２．
（３）原式＝312－６13＋248＝123．
（４）原式＝23－3×33＋2－3
＝23－3＋2－3
＝2
18.解析 （１）原式＝2－（3－22）＋５
＝2－3＋22＋5
＝32＋2．
（２）（43+3）×12－48÷6
＝4+6－22
＝10－22．
（３）（212－６13＋３４８）÷23
=4－3×13+32×4
=7
（4）92－12×（24＋３23）
=322－122－62
=－3322
19.解析 （１）（33－１）（33＋１）－（23－１）２
＝２７－１－（１２－43＋１）
＝２７－１－１２＋43－１
＝ １３＋４3．
（２）（48＋18）（２－23）－（3－2）２
＝ （43＋32）（２－23 ）－（3－26+２）
＝83－２４＋62－66－3+26－２
＝83－46＋62－２９．
（３）（7＋43）（2－3）２＋（２＋3）（２－3）－3
＝ （7＋43）（7－43）＋２２－（3）２－3
＝４９－４８＋４－３－3
＝２－3．
20．解析 （１）1n+1+n=n+1－n（ｎ 为正整数）．
（２）原式 ＝（2－１＋3－2＋4－3＋…＋2025－2024＋2026－2025）（2026＋１）
＝ （2026－１）（ 2026＋１）
＝ ２０２６－１
＝ ２０２５．
21.解析：（1）1+1·7－18 1156
（2）1+1n2+1（n+1）2=1+1n－1n+1
（3）1+112+122+1+122+132+1+132+142＋…＋1+192+1102．
=１＋11－12+１＋12－13+１＋13－14+...+1+19－110
=10－110
=9910
22．解析 原式＝（３ｘ＋ｙx2－y2+2xy2－x2）÷2x2y－xy2
＝（３ｘ＋ｙx2－y2－2xx2－y2）÷2x2y－xy2
＝ｘ＋ｙx2－y2·xy（x－y）2
＝xy2
当ｘ＝3＋１，ｙ＝3时，原式＝（3+1）32=3+32
23.解析 （１）∵ａ＝5－２，
∴ ａ＋２ ＝5，
∴（ａ＋２）２＝ ５，
∴ ａ２＋４ａ＝ １，
∴ 原式 ＝ ａ（ａ２＋４ａ）－ａ＋ ＝ａ×１－ａ＋６＝ ６．
(2)∵ ｘ＝3－２，ｙ ＝3＋２，
∴ ｘ＋ｙ ＝２3，ｘｙ＝３－４＝－１，
∴ 原式＝(x+y)2－2xyxy=12－2×（－1）－1=－14
24．解析 由二次根式的定义，得３－５ａ≥０５ａ－３≥０
∴ ａ＝35
∴ｂ＝１５
∴ａ＋ｂ＞０，ａ－ｂ＜０，ａｂ＞０，
∴ba+ab+2－ba+ab－2
＝b2+a2+2abab－b2+a2－2abab
＝a+babab－a－babab
＝2bab
＝2159
＝25
25．解析 （１）２５ｘｙ＋ｘyx－ ４ｙxy－1yxy3
＝ ５ｘｙ ＋ｘｙ－４ｘｙ－ｘｙ
＝ｘｙ
当ｘ＝13，ｙ ＝ ４ 时，原式＝13×4＝233．
（２）∵ｘ＝12+3=2－32－3=3－2
ｙ＝12－3=2+32－3=－3－2
ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２
＝（x+y）2+xy
＝（3－2－3－2）2+（3－2）（－3－2）
＝８－１
＝ ７
26．解析（1）2+3 42－3
（２）3－22＋5－26＋7－43＋…＋100－6011
＝2－１＋（3－2） ＋（２－3） ＋…＋（１０－99）
＝１０－１
＝ ９．