2020届二轮复习极化恒等式问题学案（全国通用）

                              专题07  极化恒等式问题

极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.

1. 极化恒等式：
2. 极化恒等式三角形模型：在中，D为BC的中点，则

3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD中，

类型一  利用极化恒等式求值

典例1.如图在三角形ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，则值为______.

【答案】

【解析】

设

解得

类型二  利用极化恒等式求最值或范围

典例2 在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______

【答案】

【解析】

设EF的中点为M，连接CM，则

即点M在如图所示的圆弧上，

则

类型三  利用极化恒等式求参数

典例3  设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P，恒有,则三角形ABC形状为_______.

【答案】C为顶角的等腰三角形.

【解析】

取BC的中点D，连接PD,P0D.

,设O为BC的中点，

即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.

1.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____

【答案】

【解析】

设BC 的中点为O，OC的中点为M,连接OP,PM,

当且仅当M与P重合时取等号

2．直线与圆相交于两点M,N,若，P为圆O上任意一点，则的取值范围为_______

【答案】

【解析】

圆心O到直线的距离为

设MN的中点为A，

3．如图，已知B,D是直角C两边上的动点，

，则的最大值为______

【答案】

【解析】

设MN的中点为G，BD的中点为H，

所以的最大值为

4.如图在同一平面内，点A位于两平行直线m,n的同侧，且A到m,n的距离分别为1，3，点B,C分别在m,n上，且，则的最大值为______

【答案】

【解析】

连接BC，取BC的中点D，则，

又

故

又因为

所以

5.在半径为1的扇形AOB中，,C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值为_____

【答案】

【解析】

取OB的中点D，连接PD，则

于是只要求求PD的最小值即可，

由图可知，当时，

即所求最小值为

6.已知线段AB的长为2，动点C满足（为常数），且点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为______

【答案】

【解析】如图取AB的中点为D，连接CD,则

又由点C总不在以点B为圆心，为半径的圆内，

故，则负数的最大值为

7.已知A(0,1)，曲线横过点B，若P是曲线C上的动点，且的最小值为2，则­­­______

【答案】

【解析】

如图，B（1，0），则，连接BP，取BP的中点C，连接AC,

因为的最小值为2，则有

上式等价于，即

当且仅当P与B重合时取等号，此时曲线C在B处的切线斜率等于1，

即

8.若平面向量满足，则的最小值为_____

【答案】

【解析】

当且仅当，即时取最小值

9.在正方形ABCD中，AB=1，A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____

【答案】

【解析】

如图取BC的中点E，取AD的中点F，

所以

而，

当且仅当时取等号，所以的最大值为2

10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB的中点，以A为圆心,AE为半径作弧交AD于F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为______

【答案】

【解析】

如图取CD的中点M.

所以

而，当且仅当P,Q重合时等号成立

所以的最小值为

11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，求的范围.

【答案】

【解析】

如图当弦MN的长度最大时，为内切球的直径，此时O为MN的中点，

所以

而，所以的范围为