2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 015-培优进阶 嵌套函数的零点问题（教用）

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培优进阶 嵌套函数的零点问题
形如y=f(g(x))的函数,俗称嵌套函数,此类函数的零点数量、零点范围、参数范围问题常见于各类试卷的压轴小题.其解题思路一般分为两步：
（1）“换元”以“解套”：令t=g(x)，则y=f(t),这样即可将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=g(x)①,y=f(t)②的零点问题进行处理；
（2）依次解方程：令②中y=0,先由方程f(t)=0解出t的值，然后将t的值代入方程①中解出x的值,即为函数y=f(g(x))的零点.
嵌套函数的零点问题可结合代数和几何,通过上述换元或者借助图象,一分为二,逐层击破.
例1 已知函数f(x)=lnx−1x,x>0,−∣x+1∣+1,x≤0,则函数g(x)=f(f(x)−1)的零点个数为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】解法一：函数g(x)=f(f(x)−1)的零点的个数即为方程f(f(x)−1)=0的解的个数.
令f(x)−1=t，则f(t)=0，当t>0时，lnt−1t=0，令h(t)=lnt−1t，t>0，
易知函数y=lnt,y=−1t在(0,+∞)上都单调递增，所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增，
又h(1)=−10，所以存在t1∈(1,e)，使得h(t1)=0；
当t≤0时，−|t+1|+1=0，解得t=0或t=−2.
作出函数f(x)的大致图象，如图：
因为f(x)−1=t，所以f(x)=t+1，
当t=0时，f(x)=1，由y=f(x)的图象可知，方程f(x)=1有两个解；
当t=−2时，f(x)=−1，由y=f(x)的图象可知，方程f(x)=−1有两个解；
当t=t1，t1∈(1,e)时，f(x)=t1+1，由y=f(x)的图象可知，方程f(x)=t1+1有一个解.
综上所述，函数g(x)=f(f(x)−1)的零点个数为5.
解法二：令y=g(x)=f(f(x)−1),t=f(x)−1,则y=f(t),
根据题意作出y=f(t),t=f(x)−1的大致图象分别为图1，图2，如图：
由图1可知，方程f(t)=0有三个根，分别为t1=−2,t2=0,t3>1.
由图2可知，当t=−2时，方程t=f(x)−1有两个根;当t=0时，方程t=f(x)−1有两个根；当t>1时，方程t=f(x)−1有一个根.
综上所述，函数g(x)=f(f(x)−1)的零点个数为5.
例2 （2025·山东青岛第二中学模拟）已知函数f(x)=5×12x+1,x>0,∣x2+6x+8∣,x≤0,g(x)=x2−2mx+6，若函数y=g(f(x))有6个零点，则实数m的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(6,72)∪(72,358]
【解析】由题可知，当x>0时，f(x)=5×(12)x+1，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(x)∈(1,6)，当x≤0时，f(x)=|x2+6x+8|,令f(x)=0,解得x=−4或x=−2,作出y=f(x)的图象，如图所示：
令f(x)=t，因为y=g(f(x))有6个零点，所以t2−2mt+6=0须有两个不同的实数根t1，t2(t10，解得m>6或m