2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 010-第二节 球的接、切问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 010-第二节 球的接、切问题（教用），共15页。试卷主要包含了外接球，棱切球等内容，欢迎下载使用。
第二节 球的接、切问题
回归教材 强基础
1.外接球
（1）长方体模型
①长方体（正方体）
(i)长方体（正方体）的体对角线交点到各个顶点的距离相等，即为球心.
(ii)若长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则长方体的外接球直径2R=a2+b2+c2；若正方体的棱长为a，则正方体的外接球直径2R=a2+a2+a2=3a.
②补形后为长方体的几何体
(i)底面为直角三角形的直棱柱
(ii)墙角模型（一条侧棱与底面垂直，底面为直角三角形的三棱锥，如下图中的三棱锥P−ABC）
(iii)对棱相等模型（三棱锥的三组对棱相等）
易知长方体的外接球即为所求模型的外接球，由a2+b2=x2,a2+c2=y2,b2+c2=z2,三式相加得2(a2+b2+c2)=x2+y2+z2，所以所求模型的外接球直径2R=a2+b2+c2=x2+y2+z22.
推广：正四面体是特殊的对棱相等模型，可补形为正方体，设正四面体的棱长为a,则其外接球直径2R=6a2.
（2）棱柱（圆柱）模型
①直棱柱模型
球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心，即若直棱柱的高是h，底面外接圆的半径是r，则直棱柱的外接球半径R=h24+r2.
②圆柱模型
若圆柱的高是h，底面半径是r，则圆柱的外接球半径R=h24+r2.
（3）棱锥（圆锥）模型
①圆锥模型
(i)球心在高上
若圆锥的高是h，底面半径是r，则圆锥的外接球半径R满足R2=r2+(h−R)2.
(ii)球心在高的延长线上
若圆锥的高是h，底面半径是r，则圆锥的外接球半径R满足R2=r2+(R−h)2.
②正棱锥模型
球心的位置有两种，跟圆锥类似.
③侧棱相等模型
若棱锥的侧棱相等，顶点在底面的射影为底面多边形的外心，则球心在顶点与外心的连线上，即若棱锥的高是h，底面外接圆的半径是r，则棱锥的外接球半径R满足R2=r2+(h−R)2.
④垂面模型（有一条棱垂直于底面的棱锥）
该模型可将棱锥补形为直棱柱，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2的连线的中点，即若棱锥的高是h，底面外接圆的半径是r，则棱锥的外接球半径R=h24+r2.
（4）棱台（圆台）模型
①圆台模型
(i)球心在高上
设外接球球心与圆台下底面圆心的距离为x，若圆台的高是h，上、下底面半径分别是r1,r2，则圆台的外接球半径R满足R2=r22+x2,R2=r12+(h−x)2.
(ii)球心在高的延长线上
设外接球球心与圆台下底面圆心的距离为x，若圆台的高是h，上、下底面半径分别是r1,r2，则圆台的外接球半径R满足R2=r22+x2,R2=r12+(h+x)2.
②棱台
球心的位置有两种,跟圆台类似.
2.内切球
（1）正方体的内切球
若正方体的棱长是a，则正方体的内切球半径R=a2.
（2）正棱锥的内切球
若正棱锥的高是h，表面积是S表，底面积是S底，则正棱锥的内切球半径R满足V棱锥=13S表⋅R=13S底⋅h（等体积法）.

推广：正四面体的内切球半径R=612a（a为正四面体的棱长）.
3.棱切球
若正方体的棱长是a，则正方体的棱切球直径2R=2a.
推广：正四面体的棱切球为其补形成的正方体的内切球.若正四面体的棱长为a，则正四面体的棱切球直径2R=22a.
自主评价
1．（人教A版必修第二册P120习题T5改编）已知一个长方体的顶点都在球面上,且长方体的长、宽、高分别为3,2,1,则球的表面积为（ ）
A. 3πB. 6πC. 12πD. 14π
【答案】D
【解析】易知此球为长方体的外接球，设球的半径为R,则2R=32+22+12=14,则R=142,故球的表面积为4πR2=14π .故选D.
2．（人教A版必修第二册P119练习T3改编）棱长为22的正方体的内切球的表面积为（ ）
A. 86πB. 24πC. 82π3D. 8π
【答案】D
【解析】因为正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球的半径R=2，所以内切球的表面积S=4πR2=4π×(2)2=8π .故选D.
3．（人教B版必修第四册P88练习BT5改编）已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两垂直，且AB=5，BC=7，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. 83πB. 823πC. 163πD. 323π
【答案】B
【解析】由PA2+PB2=AB2=5,PB2+PC2=BC2=7,PC2+PA2=AC2=4,得PA=1,PB=2,PC=3.
将三棱锥补成一个长方体，如图所示，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球.∵ 长方体的体对角线长为1+3+4=22，∴ 球的直径为22，半径R=2，∴ 三棱锥P−ABC的外接球的体积为43πR3=43π×(2)3=823π .
4．易错 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为2，则该正方体的棱切球O的体积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】823π
【解析】易知球心O为正方体的中心,正方体的棱与球O相切的切点为棱的中点,所以球O的半径R=12×22=2,所以球O的体积V=43πR3=43π×(2)3=823π .
易错分析
易把球O 看成是正方体的内切球或外接球导致半径计算错误,从而导致结果出错.
突破核心 提能力
考点一 外接球
角度1 定义法
例1 底面边长为23、侧棱长均为2的正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 4πB. 5πC. 16πD. 20π
【答案】D
【解析】因为正三棱柱的高h=2，底面正三角形的外接圆半径r=23×32×23=2，所以该正三棱柱的外接球半径R=r2+(h2)2=22+12=5，所以外接球的表面积为4πR2=20π .
例2 （2022·新高考Ⅱ卷·7,5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π
【答案】A
【解析】设正三棱台的上、下底面所在圆面的半径分别为r1,r2，由正弦定理可知2r1=33sin60∘,2r2=43sin60∘，即r1=3,r2=4，设球心到上、下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，则d1=R2−9，d2=R2−16，由正三棱台的高为1，得d1−d2=1或d1+d2=1，即R2−9−R2−16=1或R2−9+R2−16=1，解得R2=25，所以该球的表面积S=4πR2=100π .
角度2 补形法
例3 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑A−BCD中，BC=CD=4，AB⊥ 平面BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为48π 时，该鳖臑的体积为_ _ _ _ _ _ .
【答案】323
【解析】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图，
则三棱锥A−BCD的外接球即为长方体的外接球，设三棱锥A−BCD的外接球半径为R，∵ 三棱锥A−BCD的外接球的表面积为48π ，∴4πR2=48π ，∴R=23，∵BC=CD=4，∴23=12×42+42+AB2，解得AB=4，∴VA−BCD=13S△BCD⋅AB=13×12×4×4×4=323.
例4 已知四面体的每一组对棱的长度相等，分别为3，5，6，则该四面体的外接球的表面积为_ _ _ _ .
【答案】7π
【解析】设四面体为PABC，PA=BC=3，PC=AB=5，PB=AC=6，可将四面体PABC放在长方体中，如图.
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2+b2=3,b2+c2=5,a2+c2=6,解得a=2,b=1,c=2,
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则(2R)2=a2+b2+c2=7，所以球的表面积为4πR2=7π .
变式．已知四面体的棱长都相等，且为2，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A. 26πB. 6πC. 2πD. 6π
【答案】D
【解析】易知题中四面体为正四面体，设正四面体为B1D1AC，将正四面体B1D1AC放在正方体中，如图所示，易得正方体的棱长为2，
正四面体B1D1AC的外接球即为该正方体的外接球，设其半径为R，则R=2+2+22=62，
故该四面体的外接球的表面积为4πR2=6π .故选D.
角度3 垂面法
例5 已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥ 平面BCD，AB=BC=AC=CD=2，BC⊥CD，则球O的表面积为（ ）
A. 16π3B. 8πC. 28π3D. 12π
【答案】C
【解析】如图，取BC的中点E，BD的中点F，因为BC⊥CD,所以F为△BCD的外心，连接AE，EF，设△ABC的外心为G，
因为AB=BC=AC=2，即△ABC为等边三角形，所以点G在AE上，
连接OG，OF，OD,
则OG⊥ 平面ABC，OF⊥ 平面BCD，
因为平面ABC⊥ 平面BCD，所以OG⊥OF，因为△ABC为等边三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又平面ABC⊥ 平面BCD，平面ABC∩ 平面BCD=BC，AE⊂ 平面ABC，所以AE⊥ 平面BCD，则AE//OF，
又EF⊂ 平面BCD，所以AE⊥EF，因为E,F分别为BC，BD的中点，所以EF//CD,又BC⊥CD,所以EF⊥BC,又BC∩AE=E,所以EF⊥ 平面ABC，所以EF//OG，故四边形OGEF是矩形，故OF=EG=13AE=13ABsin60∘=33，
由BC⊥CD，可得BD=BC2+CD2=22，故FD=2，
设球O的半径为R，则R2=OD2=OF2+FD2=73，所以球O的表面积S=4πR2=28π3.
变式．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为23的正方形，侧面APB⊥ 底面ABCD，△APB为正三角形，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为（ ）
A. 40πB. 28πC. 287π3D. 16π
【答案】B
【解析】如图，取△APB的外接圆圆心为O1，底面ABCD的外接圆圆心为O2，作OO1⊥ 平面APB，OO2⊥ 平面ABCD，OO1与OO2交于点O,则O为外接球的球心，
依题意得AB=23，∠APB=60∘ ，
设△APB的外接圆的半径为r，四棱锥P−ABCD的外接球的半径为R，则2r=ABsin∠APB=2332=4，即r=2，
又侧面APB⊥ 底面ABCD，侧面APB∩ 底面ABCD=AB，AB⊥AD，AD⊂ 平面ABCD，所以AD⊥ 平面APB，
易知OO1//AD且OO1=AD2，所以R=r2+(AD2)2=22+(3)2=7，
所以四棱锥P−ABCD的外接球的表面积S=4πR2=28π .
归纳总结
找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两个三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就是球心.
考点二 内切球
例6 已知圆锥PO的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的内切球半径为（ ）
A. 24B. 23C. 22D. 26
【答案】C
【解析】作轴截面图如下，设内切球的球心为O1，半径为r，则AC=AB=3，OC=1，所以AO=32−12=22，所以S△ABC=12×BC×AO=12×2×22=22，C△ABC=AB+BC+AC=8，
由S△ABC=12rC△ABC，
解得r=22.
例7 已知正三棱锥P−ABC的体积为8m3，表面积为32m2，则这个三棱锥的内切球的体积为（ ）
A. 916πm3B. 94πm3C. 4πm3D. 9πm3
【答案】A
【解析】易知三棱锥P−ABC的体积V=13S⋅r，其中S为三棱锥P−ABC的表面积，r为其内切球的半径，
所以8=13×32⋅r，解得r=34，
所以这个三棱锥的内切球的体积为43πr3=43π×(34)3=916π(m3).
例8 （2025·河南洛阳模拟）已知一圆台容器的上、下底面中心分别为O1，O2，且O1O2=103，上、下底面半径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（ ）
A. 96πB. 192πC. 48πD. 248π
【答案】B
【解析】如图所示，
根据题意可知O1A=2，O2B=12，O1O2=103.
设圆台容器内能放置的最大的球的球心为O，且与下底面和母线AB分别相切于点O2，C，
因为tan∠ABO2=10312−2=3，所以∠ABO2=60∘ ，所以∠OBO2=30∘ ，
所以可知球的半径R=OO2=O2Btan30∘=12×33=43，
此时球的直径为2R=83OE.易知EF的中点O为球心，OE为球O的半径，所以点P在球O外，所以棱AB上恰有一点E在球面上.又点O为正方体的中心，所以由对称性知正方体各棱均与球面恰有一个公共点（各棱中点），共计12个.
例10 ［2023·全国甲卷（文）·16，5分］在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】[22,23]
【解析】球心为正方体的中心，若球O的球面与正方体的棱有公共点，则球O的半径应该介于该正方体的棱切球半径与外接球半径之间（包括棱切球半径与外接球半径）.
设球O的半径为R，
易知正方体的面对角线长等于该正方体的棱切球直径，所以2Rmin=42,解得Rmin=22，正方体的体对角线长等于该正方体的外接球直径，所以2Rmax=43,解得Rmax=23，所以球O的半径的取值范围为[22,23].
归纳总结
对于球与空间几何体的棱相切的问题，一般过球心及多面体的特殊点（一般为切点）或线作截面图构建等量关系，把空间问题转化为平面问题求解.