2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.6空间向量的概念与运算（Word版附答案）

这是一份2026届高三一轮复习练习试题（标准版）数学第七章7.6空间向量的概念与运算（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF-12(AB+AC)等于( )
A.-EFB.BDC.EFD.-BD
2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，则m+n等于( )
A.4B.6C.8D.10
3.设m为实数，若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为(m，2，4)，平面α的法向量为(2，4，8)，则m的值为( )
A.1B.2C.-20D.-10
4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c三个向量共面，则实数m等于( )
A.-1B.2C.3D.5
5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1·DC-AB1·BC=4，则cs〈AA1，BD〉等于( )
A.23B.-23C.34D.-34
6.(2025·日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切，若点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，则PA·PB的最大值为( )
A.2B.74C.34D.14
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列命题正确的是( )
A.平面α，β的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，则α∥β
B.直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量为b=2，1，-12，则l与m垂直
C.直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u+t=1
8.下列说法正确的是( )
A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A，B，C三点，若OP=xOA+yOB+zOC，其中x，y，z∈R且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面
C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a在b上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(-1，0，2)，点C满足AC=3AB，则点C的坐标为 .
10.已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点，PM=-115PA+215PB+415PC，则三棱锥A-MBC的体积是 .
四、解答题(共27分)
11.(13分)如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；(5分)
(2)PD⊥平面AHF.(8分)
12.(14分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，CA=a，CB=b，CC1=c，〈a，b〉=〈a，c〉=2π3，〈b，c〉=π2，N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量A1N；(5分)
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(9分)
13题5分，14题6分，共11分
13.1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D，B，C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线缠一圈的长度为( )
A.902 cmB.903 cmC.606 cmD.803 cm
14.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角均为θθ∈0，π2的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若OP=xe1+ye2+ze3(x，y，z∈R)，则把有序数对(x，y，z)θ叫做OP在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是( )
A.若a=(-1，3，-7)θ，b=(3，-2，4)θ，则a+b=(2，1，3)θ
B.若a=(2，6，-3)π2，b=(3，-1，0)π2，则a·b=0
C.若a=(x，y，0)θ，b=(1，2，0)θ，则当且仅当x∶y=1∶2时，θ=π6
D.若OA=(1，0，0)π3，OB=(0，1，0)π3，OC=(0，0，1)π3，则二面角O-AB-C的余弦值为13
答案精析
1.C 2.C 3.A
4.B [∵a，b，c三个向量共面，
∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，
使c=λa+μb，
即(-1，m，3)=λ(1，0，2)+μ(3，-2，1)，
即λ+3μ=-1,-2μ=m,2λ+μ=3⇒λ=2,μ=-1,m=2.]
5.B [因为AD1·DC-AB1·BC=(AD+AA1)·AB-(AB+AA1)·AD=AD·AB+AA1·AB-AB·AD-AA1·AD=AA1·(AB-AD)
=AA1·DB=4，
所以AA1·BD=-4，
cs〈AA1，BD〉=AA1·BD|AA1||BD|=-42×3=-23.]
6.B [取AB的中点E，可知E在球面上，可得EB=-EA=-12BA，
所以PA·PB=(PE+EA)·(PE+EB)
=PE2-EA2=PE2-14，
点P在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE为直径时，
|PE|max=2，
所以PA·PB的最大值为74.]
7.BD [对于A，向量n1=(0，1，3)与n2=(1，2，6)不共线，平面α与β不平行，A错误；
对于B，由a=(1，-1，2)，b=2，1，-12，得a·b=1×2-1×1+2×-12=0，l与m垂直，B正确；
对于C，a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0，a⊥n，则l⊂α或l∥α，C错误；
对于D，BA=(1，-1，-1)，
BC=(-1，1，0)，
由n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，得BA·n=1-u-t=0,BC·n=-1+u=0,解得u+t=1，D正确.]
8.ABD [对于A，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，
即为(3，-4，-5)，故A正确；
对于B，因为x+y+z=1，则z=1-x-y，所以OP=xOA+yOB+(1-x-y)OC，即OP-OC=xOA-xOC+yOB-yOC，所以CP=xCA+yCB，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，由投影向量定义可得a在b上的投影向量为a·b|b|2b=-11b=-b=(0，0，1)，故C错误；
对于D，设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc，
又向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
则p=4a+2b+3c，
所以4a+2b+3c
=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc，
所以x+y=4,x-y=2,z=3,解得x=3,y=1,z=3,
所以向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)，故D正确.]
9.(-5，-2，6)
10.4
解析 PM=-115PA+215PB+415PC，故3PM=-15PA+25PB+45PC，
不妨令PH=3PM，
则PH=-15PA+25PB+45PC，
又-15+25+45=1，
故H，A，B，C四点共面，
故V三棱锥M-ABC=23V三棱锥P-ABC=23×6=4.
11.证明 (1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，
且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，
H(1，0，0).
PD=(0，2，-2)，AH=(1，0，0)，AF=(0，1，1)，
∴PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0，
PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF=A，
且AH，AF⊂平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
12.解 (1)A1N=A1A+AN=C1C+12AB=-CC1+12(CB-CA)
=-12a+12b-c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，
设C1M=λC1B1=λb(λ∈[0，1])，
显然AM=AA1+A1C1+C1M
=c-a+λb.
因为AM⊥A1N，所以AM·A1N=0，
即(c-a+λb)·-12a+12b-c=0，
所以-12c·a+12c·b-c2+12a2-12a·b+c·a-12λa·b+12λb2-λb·c
=12c·a+12-λc·b-c2+12a2-12+12λa·b+12λb2=0.
设CA=CB=CC1=1，
又〈a，b〉=〈a，c〉=2π3，〈b，c〉=π2，
所以12c·a-c2+12a2-12+12λa·b+12λb2=0，
即12×1×1×-12-12+12×12-12+12λ×1×1×-12+12λ×12=0，
解得λ=23，所以当C1M=23C1B1时，AM⊥A1N.
13.C [依题意BE⊥EF，FD⊥EF，
BE⊥FD，
所以BE·EF=0，FD·EF=0，
BE·FD=0，
又BD=BE+EF+FD，
所以BD2=(BE+EF+FD)2
=BE2+EF2+FD2+2BE·EF+2BE·FD+2EF·FD
=152+302+152=152×6，
所以|BD|=156，
同理可得|AD|=|AC|=|BC|=156，
所以丝线缠一圈的长度为4×156=606(cm).]
14.BD [对于A，因为a=(-1，3，-7)θ=-e1+3e2-7e3，b=(3，-2，4)θ=3e1-2e2+4e3，则a+b=2e1+e2-3e3=(2，1，-3)θ，故A错误；
对于B，因为a=(2，6，-3)π2，b=(3，-1，0)π2，
此时a，b在空间直角坐标系中，则a·b=2×3+6×(-1)=0，故B正确；
对于C，因为a=(x，y，0)θ=xe1+ye2，b=(1，2，0)θ=e1+2e2，
当x∶y=1∶2时，y=2x，则a=(x，y，0)θ=xe1+2xe2=x(e1+2e2)=xb，
此时a∥b，θ不一定为π6，故C错误；
对于D，因为OA=(1，0，0)π3，OB=(0，1，0)π3，OC=(0，0，1)π3，
则三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，取AB的中点H，连接OH，HC，
在等边△OAB，△ABC中，易知OH⊥AB，HC⊥AB，OH=HC=32，
则∠OHC即为二面角O-AB-C的平面角，
在△OHC中，由余弦定理得，
cs∠OHC=OH2+HC2-OC22OH·HC=34+34-12×34=13，
所以二面角O-AB-C的余弦值为13，故D正确.]