2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.6空间向量的概念与运算（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第七章7.6空间向量的概念与运算（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则AF-12(AB+AC)等于( )
A.-EFB.BDC.EFD.-BD
2.(2024·嘉兴模拟)设x，y∈R，a=(1，1，1)，b=(1，y，z)，c=(x，-4，2)，且a⊥c，b∥c，则|2a+b|等于( )
A.22B.0C.3D.32
3.(2025·长春模拟)下列可使非零向量a，b，c构成空间的一个基底的条件是( )
A.a，b，c两两垂直B.b=λc(λ∈R)
C.a=mb+nc(m，n∈R)D.a+b+c=0
4.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1·DC-AB1·BC=4，则cs〈AA1，BD〉等于( )
A.23B.-23C.34D.-34
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.下列命题正确的是( )
A.平面α，β的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，则α∥β
B.直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量为b=2，1，-12，则l与m垂直
C.直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u+t=1
6.下列说法正确的是( )
A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3，-4，5)关于Oxy平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A，B，C三点，若OP=xOA+yOB+zOC，其中x，y，z∈R且x+y+z=1，则P，A，B，C四点共面
C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a在b上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数m= .
8.(2024·佛山统考)已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC的中点，N为AD的中点，则BN·DM= .
四、解答题(共28分)
9.(13分)如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；(5分)
(2)PD⊥平面AHF.(8分)
10.(15分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，CA=a，CB=b，CC1=c，〈a，b〉=〈a，c〉=2π3，〈b，c〉=π2，N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量A1N；(5分)
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(10分)
每小题5分，共10分
11.(2024·河北省多校联考)1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D，B，C又回到点A，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线缠一圈的长度为( )
A.902 cmB.903 cm
C.606 cmD.803 cm
12.(2025·唐山模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1=C1D1=3，C1B1=1，点P为线段B1C上一点，则C1P·D1P的最大值为 .
答案精析
1.C [在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则AB+AC＝2AE，
所以AF－12(AB+AC)
＝AF－AE＝EF.]
2.D [由a⊥c⇒a·c＝0⇒x－4+2＝0⇒x＝2，由b∥c⇒12＝y-4＝z2⇒y＝－2，z＝1.
所以|2a+b|＝|2(1，1，1)+(1，－2，1)|＝|(3，0，3)|＝32.]
3.A [由基底定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间中的一个基底.
对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可构成空间的一个基底，故A正确；
对于B，b＝λc，则b，c共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故B错误；
对于C，由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故C错误；
对于D，a+b+c＝0，即a＝－b－c，故由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故D错误.]
4.B [因为AD1·DC－AB1·BC＝(AD+AA1)·AB－(AB+AA1)·AD
＝AD·AB+AA1·AB－AB·AD－AA1·AD＝AA1·(AB－AD)＝AA1·DB＝4，
所以AA1·BD＝－4，
cs〈AA1，BD〉＝AA1·BD|AA1||BD|
＝-42×3＝－23.]
5.BD [对于A，向量n1＝(0，1，3)与n2＝(1，2，6)不共线，平面α与β不平行，A错误；
对于B，由a＝(1，－1，2)，b＝2，1，-12，得a·b＝1×2－1×1+2×-12＝0，l与m垂直，B正确；
对于C，a·n＝1×(－1)+(－1)×(－1)＝0，a⊥n，
则l⊂α或l∥α，C错误；
对于D，BA＝(1，－1，－1)，BC＝(－1，1，0)，
由n＝(1，u，t)是平面α的一个法向量，得BA·n＝1-u-t＝0,BC·n＝-1+u＝0,
解得u+t＝1，D正确.]
6.ABD [对于A，点(3，－4，5)关于Oxy平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为(3，－4，－5)，故A正确；
对于B，因为x+y+z＝1，则z＝1－x－y，所以OP＝xOA+yOB+(1－x－y)OC，即OP－OC＝xOA－xOC+yOB－yOC，所以CP＝xCA+yCB，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，由投影向量定义可得a在b上的投影向量为a·b|b|2b＝-11b＝－b＝(0，0，1)，故C错误；
对于D，设向量p在基底{a+b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a+b)+y(a－b)+zc，
又向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
则p＝4a+2b+3c，
所以4a+2b+3c＝x(a+b)+
y(a－b)+zc
＝(x+y)a+(x－y)b+zc，
所以x+y＝4,x-y＝2,z＝3,解得x＝3,y＝1,z＝3,
所以向量p在基底{a+b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3)，故D正确.]
7.2
解析 依题意a，b，c三个向量共面，
∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，
使c＝λa+μb，
即(－1，m，3)
＝λ(1，0，2)+μ(3，－2，1)，
即λ+3μ＝-1,-2μ＝m,2λ+μ＝3⇒λ＝2,μ＝-1,m＝2.
8.－12
解析 由题意可知|BA|＝|BC|＝|BD|＝1，
且BA·BC＝BA·BD＝BC·BD＝12，
因为M为BC的中点，N为AD的中点，
则BN＝12BA+12BD，DM＝BM－BD
＝12BC－BD，
所以BN·DM＝
12BA+12BD·12BC-BD
＝14BA·BC+14BD·BC－12BA·BD－12BD2
＝14×12+14×12－12×12－12＝－12.
9.证明 (1)∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，
且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，
D(0，2，0)，
P(0，0，2)，
F(0，1，1)，
H(1，0，0).
PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，
∴PD·AF＝0×0+2×1+(－2)×1＝0，
PD·AH＝0×1+2×0+(－2)×0＝0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，
且AH，AF⊂平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
10.解 (1)A1N＝A1A+AN＝C1C+12AB＝－CC1+12(CB－CA)＝－12a+12b－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设C1M＝λC1B1＝λb(λ∈[0，1])，
显然AM＝AA1+A1C1+C1M
＝c－a+λb.
因为AM⊥A1N，
所以AM·A1N＝0，
即(c－a+λb)·-12a+12b-c＝0，
所以－12c·a+12c·b－c2+12a2－12a·b+c·a－12λa·b+12λb2－λb·c＝0.
设CA＝CB＝CC1＝1，
又〈a，b〉＝〈a，c〉＝2π3，〈b，c〉＝π2，
所以12c·a－c2+12a2－12+12λa·b+12λb2＝0，
即12×1×1×-12－12+12×12－12+12λ×1×1×-12+12λ·12＝0，解得λ＝23，
所以当C1M＝23C1B1时，
AM⊥A1N.
11.C [依题意BE⊥EF，FD⊥EF，BE⊥FD，
所以BE·EF＝0，FD·EF＝0，BE·FD＝0，
又BD＝BE+EF+FD，
所以BD2＝(BE+EF+FD)2
＝BE2+EF2+FD2+2BE·EF+2BE·FD+2EF·FD
＝152+302+152＝152×6，
所以|BD|＝156，
同理可得|AD|＝|AC|＝|BC|＝156，
所以丝线缠一圈的长度为4×156＝606(cm).]
12.3
解析 以C1为坐标原点，分别以C1D1，C1B1，C1C为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1(0，0，0)，
D1(3，0，0)，
C(0，0，3)，B1(0，1，0)，
设CP＝mCB1＝m(0，1，－3)，
0≤m≤1，
则C1P＝C1C+mCB1＝(0，0，3)+m(0，1，－3)＝(0，m，3－3m)，
D1P＝C1P－C1D1＝(0，m，3－3m)－(3，0，0)＝(－3，m，3－3m)，
则C1P·D1P＝(0，m，3－3m)·(－3，m，3－3m)＝m2+(3-3m)2＝4m2－6m+3
＝4m-342+34，
因为0≤m≤1，所以当m＝0时，C1P·D1P取最大值，最大值为3.