2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 017-第一节 导数的概念及其运算（教用）

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第一节 导数的概念及其运算
课标要求
1.通过实例分析，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数的定义，求函数y=c(c 为常数)，y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=x的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数( 形如f(ax+b)) 的导数.
回归教材 强基础
1．导数的概念
（1）函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 或_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）函数y=f(x)的导函数为f′(x)=y′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.
【答案】f′(x0)； y′|x=x0； limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
2．导数的几何意义
函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的_ _ _ _ _ _ _ _ .相应地，切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0).
【答案】切线的斜率
3．基本初等函数的导数公式
【答案】0； αxα−1； csx； −sinx； axlna； ex； 1xlna； 1x
点拨 (1x)′=−1x2,(x)′=12x.
4．导数的运算法则
（1）[f(x)±g(x)]′=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2）[f(x)g(x)]′=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3）[f(x)g(x)]′=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (g(x)≠0).
【答案】f′(x)±g′(x)； f′(x)g(x)+f(x)g′(x)； f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2
5．复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y′x=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【答案】y′u⋅u′x
常考结论
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x)(a,b∈R).
3.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而二次曲线的切线与二次曲线只有一个公共点.
4.“在点P处的切线”说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P的切线”说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
5.函数y=f(x)的导数f′(x)的绝对值的大小反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线y=f(x)在这点处的切线越“陡”,|f′(x)|越小，曲线y=f(x)在这点处的切线越“缓”.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.（ ）
（2） f(x)=sin(−x)的导数f′(x)=csx.（ ）
（3） 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.（ ）
（4） 曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．（人教A版选择性必修第二册P66练习T3改编）一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y=2t2+1，则质点A在t=3s时的瞬时速度为（ ）
A. 7m/sB. 12m/sC. 13m/sD. 19m/s
【答案】B
【解析】由题知y′=4t，当t=3时，y′=4×3=12，故质点A在t=3s时的瞬时速度为12m/s.故选B.
3．函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为_ _ _ _ ,在x=2处的导数为_ _ _ _ .
【答案】3； 4
【解析】函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为22−122−1=3.因为f′(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4.
4．（人教A版选择性必修第二册P70练习T3改编）曲线y=lnx在点(e,1)处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x−ey=0
【解析】根据题意可得y′=1x，所以所求切线的斜率为1e，所以所求切线的方程为y−1=1e(x−e)，即x−ey=0.
突破核心 提能力
考点一 导数的运算
例1 多选 下列求导运算不正确的是（ ）
A. (sinπ3)′=csπ3B. (x−x)′=1−x2x
C. (exx2)′=ex2xD. [ln(3x+1)]′=13x+1
【答案】ACD
【解析】A选项，sinπ3=32，故(sinπ3)′=0≠csπ3，A错误；
B选项，(x−x)′=1−x12−12=1−x2x，B正确；
C选项，(exx2)′=ex⋅x2−ex⋅2xx4=ex(x−2)x3，C错误；
D选项，[ln(3x+1)]′=13x+1⋅(3x+1)′=33x+1，D错误.故选ACD.
例2 已知函数f(x)满足f(x)=f′(π3)sinx−csx，则f(x)在x=π4处的导数为（ ）
A. 2+1B. 2−1C. −2D. 6+22
【答案】D
【解析】易得f′(x)=f′(π3)csx+sinx，
∴f′(π3)=f′(π3)×csπ3+sinπ3=
12f′(π3)+32，解得f′(π3)=3，
∴f′(π4)=f′(π3)×csπ4+sinπ4=3×22+22=6+22.故选D.
归纳总结
1.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
考点二 导数的几何意义
角度1 切点已知，求切线方程等
例3 ［2024·全国甲卷（理）·6，5分］设函数f(x)=ex+2sinx1+x2,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. 16B. 13C. 12D. 23
【答案】A
【解析】f′(x)=(ex+2csx)(1+x2)−2x(ex+2sinx)(1+x2)2,
∴f′(0)=e0+2cs0=3,
∴ 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y−1=3(x−0)，即y=3x+1，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=−13，
∴ 所围成的三角形的面积S=12×1×13=16.
角度2 切点未知，求切线方程、切点坐标等
例4 （2025·福建莆田质检）曲线y=xex−x在点P处切线的斜率为−1，则P的坐标为（ ）
A. (−1,−1)B. (−1,1−1e)C. (1,e−1)D. (1,2e−1)
【答案】B
【解析】y′=(x+1)ex−1，令(x+1)ex−1=−1，则(x+1)ex=0，故x=−1，
当x=−1时，y=−e−1−(−1)=1−1e，
则P的坐标为(−1,1−1e).故选B.
变式．设曲线y=12x2在点A(1,12)处的切线与曲线y=xlnx在点P处的切线平行，则点P的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(1,0)
【解析】因为y=12x2，所以y′=x，所以曲线y=12x2在点A(1,12)处的切线的斜率为1.因为y=xlnx，所以y′=1+lnx，设P(x0,y0)，则曲线y=xlnx在点P处的切线的斜率为1+lnx0，所以1+lnx0=1，解得x0=1，所以y0=x0lnx0=0，故点P的坐标为(1,0).
例5 （2022·新高考Ⅱ卷·14，5分）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】y=xe； y=−xe
【解析】当x>0时，y=lnx，则y′=1x，设切点坐标为(x1,lnx1)，则该切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)，若该切线经过坐标原点，则lnx1−1=0，解得x1=e，此时的切线方程为y=xe.
根据对称性可得，当x0，∴a(a+4)>0，∴a0,∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞).
变式过点(0,a)可以作曲线f(x)=xex的三条切线，则实数a的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】(0,4e2)
【解析】设点P(x0,f(x0))为切点，则f(x0)=x0ex0，
因为f′(x)=1−xex，所以f′(x0)=1−x0ex0，即切线的斜率为1−x0ex0，
所以曲线f(x)=xex在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y−x0ex0=1−x0ex0(x−x0)，
因为切线过点(0,a)，
所以a−x0ex0=1−x0ex0⋅(0−x0)，即a=x02ex0，
令h(x)=x2ex，
则h′(x)=2xex−x2ex(ex)2=x(2−x)ex，
当x2时，h′(x)0恒成立，且x→+∞ 时，h(x)→0，作出h(x)的图象，如图所示，因为h(−1)=e>4e2=h(2)，所以当00,且a≠1)
f′(x)= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=ex
f′(x)= _ _ _ _ _ _
f(x)=lgax(a>0,且a≠1)
f′(x)= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=lnx
f′(x)= _ _ _ _ _ _