2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 017-能力提升11 空间几何体的截面、交线问题（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 017-能力提升11 空间几何体的截面、交线问题（教用），共15页。试卷主要包含了截面问题，交线问题等内容，欢迎下载使用。
能力提升11 空间几何体的截面、交线问题
立体几何中的截面与交线问题是近几年高考的热点内容之一,常在选择题、填空题中出现.此类问题渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，意在考查考生的综合应用能力、转化和化归能力，以及直观想象、数学运算的核心素养.
题型一 截面问题
例1
（1） （2025·山东枣庄二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，B,C分别为所在棱的中点，则过A,B,C三点的平面截该木块所得的截面的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等腰梯形C. 五边形D. 六边形
（2） （2025·安徽合肥三模）已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长都等于3，点G是△PAC的重心，过点G作平面α ，若平面α//平面PCD，则平面α 截正四棱锥P−ABCD所得的截面面积为（ ）
A. 534B. 5158C. 23D. 215
【答案】（1） C
（2） C
【解析】
（1） 如图，延长CB,BC，与两条棱的延长线分别交于点E,F，连接AE,AF，分别交棱于点M,N，连接BM,CN，则五边形AMBCN即为所求截面.
（2） 过G作GH//PC，交AC于点H，并反向延长GH，交PA于点M，过H作EF//CD，分别交BC,AD于点E,F，过E作EN//PC，交PB于点N,连接MN，MF，则四边形EFMN为所求截面，
取AC的中点O,连接PO,
∵ 点G是△PAC的重心，∴OGPG=12，
∵GH//PC,∴OHHC=OGPG=12，
∴HCAC=13=PMPA，∵EF//AB,∴ECBC=HCAC,∵EN//PC,∴PNPB=ECBC,∴PNPB=PMPA,
∴MN//AB,且MNAB=PMPA=13,∴MN=1，
易知EF=3，MF=NE=2，
∴ 四边形EFMN为等腰梯形，其面积S=(1+3)×32=23.故选C.
归纳总结
作截面的三种方法
（1）直接法：若有两点在几何体的同一个面上，则这两点的连线即为几何体与截面的交线，找截面的过程实际上就是找交线的过程.
（2）延长线法：连接同一个平面上的两点并延长至与其他平面相交找到交点.
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点作直线的平行线来找到几何体与截面的交线.
针对训练1．已知正四面体的棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面的面积之和为（ ）
A. 4B. 43C. 12+43D. 16+43
【答案】C
【解析】如图1，当E，F，G分别为棱AB，AD，AC的中点时，正四面体的四个顶点到截面EFG的距离相等，易知△EFG是边长为2的等边三角形，则S△EFG=3，且这样的截面有4个.
如图2，当E，F，M，N分别为棱AB,AD,CD,BC的中点时，正四面体的四个顶点到截面EFMN的距离相等，易知四边形EFMN是边长为2的正方形，则S正方形EFMN=4，这样的截面有3个.所以满足条件的截面的面积之和为12+43.
针对训练2．（2025·江苏宿迁模拟）多选 如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面C1B1BC内（不含边界）一点P与棱DD1把木料锯成两块，为此需要先在面C1B1BC内作出截面与其的交线l，下列关于交线l与截面形状的说法正确的是（ ）
A. 截面形状是梯形B. 截面形状可能为等腰梯形
C. 直线l与直线DD1相交D. 直线l与直线AA1相交
【答案】ACD
【解析】将正四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧棱延长并交于点O，连接OP，设直线OP分别与棱BC,B1C1交于点E,F，连接DE,D1F.
对于A，因为平面ABCD//平面A1B1C1D1，平面ABCD∩ 平面ODE=DE，平面A1B1C1D1∩ 平面ODE=D1F，则D1F//ED，D1FDE=OD1OD