2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 016-第八节 空间距离（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 016-第八节 空间距离（教用），共15页。试卷主要包含了点到直线的距离，点到平面的距离等内容，欢迎下载使用。
第八节 空间距离
课标要求
能用向量方法解决空间中点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究空间距离问题中的作用.
回归教材 强基础
1．点到直线的距离
如图，直线l的单位方向向量为u，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a⋅u)u，则点P到直线l的距离PQ=|AP|2−|AQ|2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】a2−(a⋅u)2
点拨点P 到直线l 的距离还可以用d=|AP|sinθ 来求解，其中θ 为向量AP 与直线l 的方向向量的夹角.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α 的法向量为n，A是平面α 内的定点，P是平面α 外一点，过点P作平面α 的垂线l，交平面α 于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α 的距离PQ=|AP⋅n|n||=|AP⋅n|n||=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】|AP⋅n||n|
3.异面直线间的距离
如图，设点A,B分别是异面直线a,b上任意一点，向量a,b分别是直线a,b的方向向量，向量n是与向量a,b均垂直的向量，则异面直线a,b间的距离d=|AB⋅n|n||=|AB⋅n||n|.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 若平面α 上不共线的三点到平面β 的距离相等，则α//β .（ ）
（2） 点到直线的距离就是该点与直线上任意一点连线的长度.（ ）
（3） 直线l平行于平面α ，则直线l上各点到平面α 的距离相等.（ ）
（4） 对于异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则|PQ|就是l1与l2间的距离.（ ）
【答案】（1） ×
（2） ×
（3） √
（4） ×
2．［人教A版选择性必修第一册P34例6（1）改编］在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则点A到直线B1E的距离为（ ）
A. 12B. 1C. 52D. 32
【答案】B
【解析】连接B1A,建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0,1,12)，B1(1,0,1)，所以B1A=(−1,0,−1)，B1E=(−1,1,−12)，所以点A到直线B1E的距离为|B1A|2−(B1A⋅B1E|B1E|)2=2−1=1.故选B.
3．在空间直角坐标系中，A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,0,0)，D(−1,2,1)，其中A∈α ，B∈α ，C∈β ，D∈β ，已知平面α//平面β ，则平面α 与平面β 间的距离为（ ）
A. 2626B. 1313C. 33D. 55
【答案】A
【解析】由已知得AB=(1,1,1)，CD=(−2,2,1)，AC=(1,0,0)，
设向量n=(x,y,z)与向量AB，CD都垂直，
则n⋅AB→=0,n⋅CD→=0,即x+y+z=0,−2x+2y+z=0,取x=1，则n=(1,3,−4)，
又平面α//平面β ，所以平面α 与平面β 间的距离为|AC⋅n||n|=|1×1+0×3+0×(−4)|12+32+(−4)2=2626.故选A.
4．（人教B版选择性必修第一册P61练习BT4改编）已知点A(0,−1,0),平面PAD的一个法向量为m=(1,2,2),点B(1,−1,0)在平面PAD外,则点B到平面PAD的距离为_ _ _ _ _ _ .
【答案】13
【解析】由题可得AB=(1,0,0),又平面PAD的一个法向量为m=(1,2,2),所以点B到平面PAD的距离为|AB⋅m||m|=13.
突破核心 提能力
考点一 点线距、线线距的计算
例1 （2025·河南安阳一模）如图，在三棱锥S−ABC中，SA，SB，SC两两垂直，SC=3，SB=2，SA=1，D为线段SC上靠近C的三等分点，点E为△ABC的重心，则点E到直线BD的距离为（ ）
A. 36B. 66C. 33D. 63
【答案】B
【解析】根据题意，以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,1),C(0,3,0)，因为点E为△ABC的重心，所以E(23,1,13)，
则EB=(43,−1,−13)，DB=(2,−2,0).
解法一：点E到直线BD的距离为|EB|2−(EB⋅DB|DB|)2=269−4918=66.故选B.
解法二：cs⟨EB,DB⟩=EB⋅DB|EB||DB|=83+2169+1+19×22=1426×22=71326，
则sin⟨EB,DB⟩=1−cs2⟨EB,DB⟩=3926，所以点E到直线BD的距离为|EB|⋅sin⟨EB,DB⟩=66.故选B.
例2 在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AC与A1D之间的距离是（ ）
A. 22B. 12C. 13D. 33
【答案】D
【解析】解法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，得AC=(−1,1,0)，DA1=(1,0,1)，DA=(1,0,0)，
设直线AC与A1D的公垂线的方向向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AC→=−x+y=0,n⋅DA1→=x+z=0,取x=1，则n=(1,1,−1)，
所以直线AC与A1D之间的距离是|DA⋅n||n|=33.故选D.
解法二：设M是直线A1D上任意一点，过M作MN⊥AC，垂足为N（图略），
设A1M=λA1D=λAD−λAA1，AN=μAC=μAB+μAD，
则MN=AN−AM=μAB+μAD−AA1−λAD+λAA1=μAB+(μ−λ)AD+(λ−1)AA1，
由题意可知|AB|=|AD|=|AA1|=1,AB⋅AD=AB⋅AA1=AD⋅AA1=0，
因为MN⊥AC，所以MN⋅AC=0，
所以[μAB+(μ−λ)AD+(λ−1)AA1]⋅(AB+AD)=μ+μ−λ=0，则λ=2μ ，
所以|MN|=|μAB+(μ−λ)AD+(λ−1)AA1|=[μAB+(μ−λ)AD+(λ−1)AA1]2=μ2+(μ−λ)2+(λ−1)2=6(μ−13)2+13≥33，当且仅当μ=13时，等号成立，
所以直线AC与A1D之间的距离是33，故选D.
变式．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC间的距离为_ _ _ _ _ _ .
【答案】263
【解析】取AC的中点O，连接OB,OD,则OD⊥AC，OB⊥AC，
因为平面ACD⊥ 平面ABC，平面ACD∩ 平面ABC=AC，OD⊂ 平面ACD，OD⊥AC，所以OD⊥ 平面ABC，所以OD⊥OB.以点O为原点，OB,OC,OD的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,−2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，
所以AD=(0,2,2)，BC=(−2,2,0)，BD=(−2,0,2),
设与AD,BC均垂直的向量为n=(x,y,z)，则AD→⋅n=2y+2z=0,BC→⋅n=−2x+2y=0,
令x=1，则n=(1,1,−1)，
故异面直线AD与BC间的距离为|BD⋅n|n||=|−2−23|=263.
归纳总结
1.求点线距的一般步骤
（1）求直线的方向向量；
（2）计算分别以所求点与直线上某一点为起点和终点的有向线段对应的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度；
（3）利用勾股定理求解.
2.求异面直线间的距离的一般步骤
（1）取点，即分别在两条异面直线上任取点A,B；
（2）求向量，即求出与已知异面直线均垂直的向量n；
（3）用公式，即利用异面直线间的距离公式d=|AB⋅n||n| 得到结果.
考点二 点面距、线面距、面面距的计算
例3 两个平行平面α ,β 分别经过坐标原点O和点A(1,2,3)，且两个平面的一个法向量为n=(−1,0,1)，则平面α ,β 间的距离是（ ）
A. 2B. 22C. 3D. 32
【答案】A
【解析】由题意得，OA=(1,2,3)，∵ 平行平面α ,β 的一个法向量为n=(−1,0,1)，∴ 平面α ,β 间的距离是|n⋅OA||n|=22=2.故选A.
例4 （2025·云南曲靖模拟）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段CA1的中点.
（1） 证明：EF//平面ADD1A1；
（2） 求直线EF与平面A1DC所成角的正弦值；
（3） 求直线AB到平面A1DC的距离.
【解析】
（1） 证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,1,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，
因为F为线段CA1的中点，所以F(1,1,2)，所以EF=(−1,0,2)，
易知平面ADD1A1的一个法向量为n=(0,1,0)，EF⋅n=0，所以EF⊥n，
又EF⊄ 平面ADD1A1，
所以EF//平面ADD1A1.
（2） 由（1）可得DC=(0,2,0)，DA1=(2,0,4)，
设平面A1DC的法向量为m=(x,y,z)，
则DC→⋅m=2y=0,DA1→⋅m=2x+4z=0,
取x=2，则m=(2,0,−1)，
设直线EF与平面A1DC所成的角为θ ，
则sinθ=|EF⋅m||EF|⋅|m|=45×5=45，
所以直线EF与平面A1DC所成角的正弦值为45.
（3） 因为AB//CD，AB⊄ 平面A1DC，CD⊂ 平面A1DC，
所以AB//平面A1DC，
所以直线AB到平面A1DC的距离即为点B到平面A1DC的距离，
又CB=(2,0,0)，所以点B到平面A1DC的距离d=|CB⋅m||m|=45=455，
即直线AB到平面A1DC的距离为455.
例5 如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，OA=BF=3,AD=3，G是线段BF的中点，H是BF⌢的中点.
（1） 证明：EG//平面DAF；
（2） 求点H到平面DAF的距离.
【解析】
（1） 证明：取AF的中点M，连接MD，MG，
因为M,G分别是FA和FB的中点，所以MG//AO，且MG=12AB=AO.
在圆柱OE的轴截面ABCD中，AO//DE,AO=DE，所以MG//DE,MG=DE，因此四边形DEGM是平行四边形，所以EG//DM，
又EG⊄ 平面DAF,DM⊂ 平面DAF，
所以EG//平面DAF.
（2） 解法一（向量法）：由圆的性质可知，连接OG并延长必与圆O交于点H，连接OE,EH，
因为OG//AF,OG⊄ 平面DAF，AF⊂ 平面DAF，所以OG//平面DAF，
又EG//平面DAF，EG∩OG=G，EG,OG⊂ 平面OEH，所以平面DAF//平面OEH.
所以点H到平面DAF的距离即为点E到平面DAF的距离.
以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则E(0,0,3),A(0,−3,0),D(0,−3,3),F(32,32,0),
所以AE=(0,3,3),AD=(0,0,3)，AF=(32,332,0),
设n=(x,y,z)为平面DAF的法向量，则n⋅AD→=3z=0,n⋅AF→=32x+332y=0,
取y=−1，则n=(3,−1,0),
因此点E到平面DAF的距离d=|AE⋅n||n|=33+1=32，
故点H到平面DAF的距离为32.
解法二（几何法）：在Rt△AFB中，AB=23,BF=3,则AF=3,∠FAB=30∘ ，∠ABF=60∘ ，S△DAF=12⋅DA⋅AF=92,
连接DH,HA,HF,HB,因为H是BF⌢的中点，所以∠HAB=∠HAF=15∘ ，∠ABH=75∘ ，在Rt△AHB中，由正弦定理得AHsin∠ABH=ABsin∠AHB,即AH=23⋅sin75∘=32+62,
S△AFH=12⋅AF⋅AH⋅sin∠HAF=12×3×32+62×6−24=334.
设点H到平面DAF的距离为d，
由VH−DAF=VD−AFH,得13⋅S△DAF⋅d=13⋅S△AFH⋅DA,解得d=32,
即点H到平面DAF的距离为32.
归纳总结
1.用向量法求点面距的一般步骤
（1）求出已知平面的一个法向量；
（2）找出从已知点出发到平面内任意一点的有向线段对应的向量，该向量不能是平面的法向量；
（3）求出两向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
2.用等体积法求点面距的关键
利用已知的点和平面构造四面体，利用四面体能够以其任意一个面作为底面求体积的特征，分别以已知面和另一个面作为底面把四面体的体积表示出来，列出方程，解方程即可求出距离.
3.线到面的距离问题，一般转化为直线上一点到平面的距离问题，或者考虑用几何法解决.
4.利用两平行平面间的距离处处相等，可将两个平行平面间的距离问题转化为点到平面的距离的问题.
考点三 已知空间距离计算其他量
例6 （2025·湖南岳阳一模）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥ 底面ABCD,PA=PD，底面ABCD为平行四边形，BC=23,CD=6,E为BC的中点，∠BCD=π4.
（1） 求证：PA⊥DE；
（2） 若二面角P−BC−D的平面角为π3，则在线段AB上是否存在点M，使得M到平面PBC的距离为34？若存在，指出点M的位置，若不存在，说明理由.
【解析】
（1） 证明：因为BC=23，E为BC的中点，所以EC=3，
在△DCE中，CD=6,∠BCD=π4，由余弦定理可得ED=6+3−26×3×22=3，因为EC2+ED2=CD2,所以∠DEC=90∘ ，则BC⊥DE，
又四边形ABCD为平行四边形，
所以AD//BC，则DE⊥AD，
又平面PAD⊥ 底面ABCD，平面PAD∩ 底面ABCD=AD，所以DE⊥ 平面PAD，
又PA⊂ 平面PAD，所以DE⊥PA.
（2） 存在，M为AB的中点.
解法一：取AD的中点O，连接PO，OB，
因为PA=PD，所以PO⊥AD,
又平面PAD⊥ 底面ABCD，平面PAD∩ 底面ABCD=AD，所以PO⊥ 底面ABCD，
所以PO⊥BC,PO⊥BO，
易知BO//DE,又由（1）得BC⊥DE,所以BO⊥BC，又PO∩BO=O,PO,BO⊂ 平面PBO,所以BC⊥ 平面PBO,所以BC⊥PB,所以∠PBO为二面角P−BC−D的平面角，即∠PBO=π3，
又PO⊥BO，OB=3，所以OP=3，PB=23,
设在线段AB上存在点M，使得M到平面PBC的距离为34，且BM=t，
S△PBC=12×23×23=6，
S△BCM=12⋅t⋅23⋅sin3π4=62t，
由VM−PBC=VP−MBC，
得13×34⋅S△PBC=13⋅3⋅S△BCM，解得t=62，即M为AB的中点.
解法二：取AD的中点O，连接PO，OB，
因为PA=PD，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥ 底面ABCD，平面PAD∩ 底面ABCD=AD，所以PO⊥ 底面ABCD，
易知DE//BO，又由（1）得DE⊥AD,所以BO⊥OA，所以OP,OA,OB两两垂直.
以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(−23,3,0)，则AB=(−3，3，0)，BC=(−23,0,0)，
设PO=m，则P(0,0,m),BP=(0,−3,m)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP→=−3y+mz=0,n⋅BC→=−23x=0,取y=m，则n=(0,m,3)，
易知平面ABCD的一个法向量为p=(0,0,1)，所以csπ3=|cs⟨n,p⟩|=3m2+3=12，解得m=3（负值舍去），则n=(0,3,3)，
设MB=λAB(λ>0)，则MB=(−3λ,3λ,0)，
由题得|MB⋅n||n|=33λ23=34，解得λ=12，即M为AB的中点.
归纳总结
对于已知空间距离计算其他量的问题，一般先建立合适的空间直角坐标系，得到所需的坐标，再设出参数，然后利用距离公式求出参数的值，从而解决题目中的问题.