第三章 第一节 导数的概念及运算-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第一章 导数的概念及运算
知识回顾
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示为.
(2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f (x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f (x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f (x)＝ex
f′(x)＝ex
f (x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln a
f (x)＝ln x
f′(x)＝
f (x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
课前检测
1.【2021年3月湖北武汉武汉市第三中学高二下学期周测数学试卷】一质点做直线运动，由始点经过 t 秒后的距离为 s=t3-t2+2t，则 t=2 秒时的瞬时速度为(　　)
A．8m/s B．10m/s
C．16m/s D．18m/s
【答案】B
【解析】【分析】：求出路程 s 对时间 t 的导函数，求出导函数在 t=2 时的值即为 t=2 时的瞬时速度．
s'=3t2-2t+2，
∴s'(2)=12-4+2=10，
∴t=2 时的瞬时速度为 10m/s．
故选 B
【备注】导数在物理上的应用：位移对时间的导数为物体运动的瞬时速度；速度对时间的导数为运动问题的加速度．
2.已知函数f(x)=1x2，则f'(12)=(　　)
A．-14 B．-18
C．-8 D．-16
【答案】D
【解析】
函数的导数f'(x)=-2x-3=-2x3，
则f'(12)=-2(12)3=-16，
故选：D

【备注】根据函数的导数公式进行求解即可．
本题主要考查函数的导数计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键.比较基础．

3.给出下列结论中正确的个数是(　　)
① (cos⁡x)'=sin⁡x；
② (sin⁡π6)'=cos⁡π6；
③ 若 y=1x2，则 y'=-1x；
④ (-1x)'=12xx．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】① (cos⁡x)'=-sin⁡x，所以 ① 错误；
② sin⁡π6=12，而 (12)'=0，所以 ② 错误；
③ (1x2)'=0-(x2)'x4=-2xx4=-2x-3，所以 ③ 错误；
④ (-1x)'=-0-(12x)'x=12x-12x=12x-32=12xx，所以 ④ 正确．
故选 B
4．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)



答案　D
解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

5．(2019·苏州模拟)已知函数f (x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ .
答案　1　2
解析　由f (x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x.
f′(0)＝1，f (0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0，解得a＝1，b＝2.
课中讲解
考点一.导数的运算
例1.【2020年4月江西南昌南昌县南昌县莲塘一中高二下学期月考数学试卷】下列函数求导运算正确的个数为(　　)
① (3x)'=3xlog3⁡e
② (log2⁡x)'=1xln⁡2
③ (ex)'=ex
④ (1lnx)'=x
⑤ (x⋅ex)'=ex+1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【分析】：利用八种初等函数的导数和导数的运算法则求解判断．
① (3x)'=3xln⁡3，故错误；
② (log2⁡x)'=1x⋅ln⁡2，故正确；
③ (ex)'=ex，故正确；
④ (1lnx)'=-1x⋅ln2⁡x，故错误；
⑤ (x⋅ex)'=ex+x⋅ex，故错误．
故选 B
【备注】根据 (ax)'=axln⁡a，(logax)'=1xln⁡a，(ln⁡x)''=1x 即可作出判断．
此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．

变式1.【2020年广东广州荔湾区高二下学期期末考试数学试卷】下列求导运算正确的是(　　)
A．(e1-x)'=e1-x
B．(cos⁡3x)'=-sin⁡3x
C．(x-1)'=2x-1
D．(xln⁡x)'=1+ln⁡x
【答案】D
【解析】(e1-x)'=-e1-x，(cos⁡3x)'=-3sin⁡3x，(x-1)'=12x-1，(xln⁡x)'=ln⁡x+1．
故选 D

例2.【2019年2月浙江杭州高二下学期月考】
求下列函数的导数：
(1) y=2x3+3cos⁡x
【答案】6x2-3sin⁡x
【解析】
y'=(2x3+3cos⁡x)'=(2x3)'+(3cos⁡x)'=6x2-3sin⁡x．

(2) y=(1+2x)(2x-3)；
【答案】8x-4
【解析】
将原函数化为 y=4x2-4x-3，
所以 y'=(4x2-4x-3)'=8x-4．

(3) y=2cos⁡x2sin⁡x2；
【答案】cos⁡x
【解析】
y'=(2cos⁡x2sin⁡x2)'=(sin⁡x)'=cos⁡x．

(4) y=4x．
【答案】4xln⁡4
【解析】
y'=(4x)'=4xln⁡4．

变式2.【2019年3月浙江杭州高二下学期周测】
求下列函数的导数：
(1) y=(x+1)(x-1)(x-2);
【答案】 3x2-4x-1
【解析】因为 y=(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x-2)=x3-2x2-x+2，
所以 y´=3x2-4x-1．

(2) y=(2x3-1)(3x2+x)
【答案】 30x4+8x3-6x-1
【解析】因为 y=(2x3-1)(3x2+x)=6x5+2x4-3x2-x，
所以 y´=30x4+8x3-6x-1．
例3.【2018年优能教案试卷】已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，且满足 f(x)=2xf'(e)+ln⁡x，则 f'(e)=(　　)
A．e B．-1
C．-e-1 D．-e
【答案】C
【解析】因为 f'(x)=2f'(e)+1x
所以 f'(e)=2f'(e)+1e
解得 f'(e)=-1e=-e-1
【备注】到 f'(e) 是一个确定的数而不是一个函数，所以此处只需将 f'(e) 看做常数 k 即可

变式3.函数f(x)=e2x+1的导函数为________．
【答案】2e2x+1
【解析】f'(x)=(2x+1)'e2x+1=2e2x+1
【备注】第一步：分离复合函数的内外函数，例如此函数的内函数是一次函数，外函数是指数函数;
第二步：对原函数中的内外函数分别求导;
第三步：令内函数和外函数的导函数相乘即为复合函数的导函数．

考点二.导数的切线方程
例1.【2018年浙江金华高二下学期周测】经过原点(0,0)做函数f(x)=x3+3x2的切线，则切线方程为________
【答案】
y=0或9x+4y=0

【解析】
∵f'(x)=3x2+6x，
①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f'(0)=0，则切线方程为y=0；
②若原点(0,0)不是切点，设切点为P(x0,y0)，
则切线的斜率为f'(x0)=3x02+6x0，因此切线方程为y-(x03+3x02)=(3x02+6x0)(x-x0)，
因为切线经过原点(0,0)，∴-(3x02+x03)=-x0(3x02+6x0)，∵x0≠0，解得x0=-32．
∴切线方程为y=-94x，化为9x+4y=0．
∴切线方程为y=0或9x+4y=0．
故答案为y=0或9x+4y=0．

变式1.【2018年浙江台州高二下学期月考】已知函数f(x)=x3-3x，过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________
【答案】
3x+y=0或24x-y-54=0

【解析】
由f(x)=x3-3x，得f'(x)=3x2-3，
设切点为(x0,x03-3x0)，则斜率k=3x02-3，
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，
即y=(3x02-3)x-2x03．
∵切线过点P(2,-6)，
则-6=2(3x02-3)-2x03，
解得：x0=0或x0=3．
∴所求切线方程是y=-3x或y=24x-54．
故答案为：3x+y=0或24x-y-54=0．


例2.在点 (-1,1) 作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则切线方程为(　　)
A．x+y=0 B．x-y=0
C．x+y+1=0 D．x-y+1=0
【答案】A
【解析】本题考查函数的切线问题，由导数的几何意义得到切线的斜率是解决问题的关键，属基础题．
由已知可得点在抛物线上，求其导数可得切线斜率，由点斜式可写方程，整理成一般式即可．
经验证点 (-1,1) 为抛物线 y=x2+x+1 上的点．
又 y'=2x+1，故点 (-1,1) 处的切线斜率为：y'|x=-1=-1．
由点斜式可得：y-1=-1(x+1)，化简得 x+y=0．
故选 A

变式2.过点 M(-1,0) 作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则切线方程为 (　　)
A．3x+y+3=0 或 x-y+1=0
B．3x-y+3=0 或 x+y+1=0
C．x-y+1=0
D．3x-y+3=0
【答案】A
【解析】M(-1,0) 不在抛物线 y=x2+x+1 上．
设切点为 N(a,b)，则切线斜率 k=2a+1=kMN=ba+1=a2+a+1a+1，
所以 a=0 或 a=-2，故切线斜率为 k=1 或 k=-3，
所以切线方程为 x-y+1=0 或 3x+y+3=0．

例3.若曲线 y=ax2-ln⁡x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a= ________
【答案】12
【解析】求导导数的运算得，y'=2ax-1x．由导数的几何意义导数的几何意义可知，曲线在点 (1,a) 处的切线斜率 k=yx=1'=2a-1，故 2a-1=0，即 a=12．
【备注】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．
变式3.已知曲线 y=13x3+43．
(1) 求曲线在点 P(2,4) 处的切线方程；
(2) 求曲线过点 P(2,4) 的切线方程．
【答案】(1) 4x-y-4=0
(2) 4x-y-4=0 或 x-y+2=0
【解析】(1) ∵P(2,4) 在曲线 y=13x3+43 上，且 y'=x2．
∴ 在点 P(2,4) 处的切线的斜率 k=y'|x=2=4．
∴ 曲线在点 P(2,4) 处的切线方程为 y-4=4(x-2)．
即 4x-y-4=0．
(2) 设曲线 y=13x3+43 与过点 P(2,4) 的切线相切于点 A(x0,13x03+43)．
则切线的斜率 k=y'|x=x0=x02．
∴ 切线方程为 y-(13x03+43)=x02(x-x0)．
即 y=x02×x-23x03+43．
∵ 点 P(2,4) 在切线上．
∴4=2x02-23x03+43．
∴x03-3x02+4=0．
∴x03+x02-4x02+4=0．
∴(x0+1)(x0-2)2=0．
解得 x0=-1 或 x0=2．
故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0．
考点三.求参数的取值范围
例1.在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=1-x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=-x2+mx 相切于x=1处，则m=________
【答案】
2

【解析】函数y=f(x)=1-x2，
即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，
即有在(0,1)处的切线为y=1，
由题意可得直线l：y=1也是g(x)=-x2+mx的切线，
所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g'(0)=-2*0+m=0且g(1)=1,所以m=2
变式1.若曲线 y=ax2-ln⁡x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a= ________
【答案】12
【解析】求导导数的运算得，y'=2ax-1x．由导数的几何意义导数的几何意义可知，曲线在点 (1,a) 处的切线斜率 k=yx=1'=2a-1，故 2a-1=0，即 a=12．
【备注】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．

例2.设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
[解析]　(1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
变式2.函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
例3.已知函数f(x)={-x3+x2+bx+c,x<1aln⁡x,x≥1图象过点(-1,2)，且在该点处的切线与直线x-5y+1=0 垂直．求实数b,c 的值；
【答案】b=c=0
【解析】当x<1 时，f(x)=-x3+x2+bx+c，则f'(x)=-3x2+2x+b，由题意知{f(-1)'=b-5=-5f(-1)=2，解得b=c=0
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，
考试四.导数与函数图像
例1　已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)



答案　B
解析　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f (x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
变式1.已知y＝f (x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f (x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf (x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .

答案　0
解析　由题图可知曲线y＝f (x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf (x)，∴g′(x)＝f (x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f (3)＋3f′(3)，
又由题图可知f (3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
考点五.两曲线公切线
例1.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[解析]　由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a.
∵f′(0)＝a，f(0)＝，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，
∴
将②代入①得ln x0＝，
∴x0＝e，∴a＝－＝－e－.
[答案]　－e－
变式1.已知直线l为函数y＝ex图象的切线，若l与函数y＝－x2的图象相切于点(m，－m2)，则实数m必定满足(　　)
A．m<－ B．－ C．－ 答案　D
解析　曲线y＝－x2在点(m，－m2)处的切线的斜率为y′|x＝m＝－2m，
所以直线l的方程为y＋m2＝－2m(x－m)，
即y＝－2mx＋m2.
设直线l与y＝ex的切点为(x0，)，
则直线l的方程为y－＝(x－x0)，
即y＝＋(1－x0).
又直线l与两函数的图象都相切，
所以
消去x0整理得m＝2ln(－2m)－2，且m<0.
即方程m＝2ln(－2m)－2有小于零的解．
设f (m)＝m＋2－2ln(－2m)，m<0，
则f′(m)＝1－>0，故f (m)单调递增，
又f ＝2－－2ln e<0，
f (－1)＝1－2ln 2<0，
f ＝2－－2ln >0，
可得－1 变式2．若一直线与曲线y＝和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________．
解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝ln x，得y′＝，
由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.
答案：2e

课后习题
一． 单选题
1.已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是(　　)
A．(1,3) B．(1,4) C．(-1,3) D．(-1,-4)
【答案】C
【解析】
设 M（x,2x2+1）
limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=4x=-4,则x=-1，∴y=3
∴点M的坐标是(-1,3)
故选C．
2.下列求导运算正确的是(　　)
A．(1x)'=1x2
B．(log3x)'=1xln⁡3
C．(2x)'=2xlog2e
D．(cos⁡x)'=sin⁡x
【答案】B
3.【2018年优能教案】若直线 y=ax 是曲线 y=2ln⁡x+1 的一条切线，则实数 a=(　　)
A．e-12
B．2e-12
C．e12
D．2e12
【答案】B
【解析】设直线 y=ax 与曲线 y=2ln⁡x+1 的切点的横坐标为 x0
则有 y'|x=x0=2x0，于是有 {a=2x0ax0=2ln⁡x0+1
联立解得 x0=e，a=2x0=2e-12
【备注】本题不知道切点横坐标，所以一定要优先选择求解切点横坐标，只要知道切点处的横坐标，我们就可以联立三个方程进行求解：1．切点处的导数值等于切线斜率；2．切点在切线上；3．切点在曲线上

4.已知函数f (x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)

A．f′(1) B．f′(1) C．f′(2) D．a 答案　B
解析　由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵＝a，∴易知f′(1) 5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　求导可得y′＝，
∵ex＋e－x＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝0时，等号成立，
∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，
又α∈[0，π)，∴≤α<π.
6．已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的一条切线，则m的值为(　　)
A．0 B．2 C．1 D．3
答案　B
解析　因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3ln x的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
二．多选题
7．(多选)下列求导过程正确的选项是(　　)
A.′＝
B．()′＝
C．(xa)′＝axa－1
D．(logax)′＝′＝
答案　BCD
解析　根据题意，依次分析选项：
对于A，′＝(x－1)′＝－，A错误；
对于B，()′＝＝×＝，B正确；
对于C，(xa)′＝axa－1，C正确；
对于D，(logax)′＝′＝，D正确；
则B，C，D正确．
8．(多选)若函数f (x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f (x)的解析式可能为(　　)
A．f (x)＝3cos x B．f (x)＝x3＋x
C．f (x)＝x＋ D．f (x)＝ex＋x
答案　BC
解析　对于A，f (x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；
对于B，f (x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，f (x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，f (x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
二． 填空题
9.已知 a∈R，设函数 f(x)=ax-ln⁡x 的图象在点 (1,f(1)) 处的切线，则此切线在 y 轴上的截距为________ ．
【答案】
1

【解析】函数 f(x)=ax-ln⁡x，可得 f'(x)=a-1x，切线的斜率为：k=f'(1)=a-1．
切点坐标 (1,a)．
切线方程 l 为：y-a=(a-1)(x-1)．
l 在 y 轴上的截距为：a+(a-1)(-1)=1．
故答案为 1．
【备注】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出 l 在 y 轴上的截距．
19．若曲线y＝ln(x＋a)的一条切线为y＝ex＋b，其中a，b为正实数，则a＋的取值范围为________．
解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，y0)，则有⇒b＝ae－2.∵b>0，∴a>，
∴a＋＝a＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立．
答案：[2，＋∞)
11．设函数F(x)＝ln x＋(0 解析：由F(x)＝ln x＋(0 答案：
12．已知f (x)＝x2＋2xf′(2 020)＋2 020ln x，则f′(1)＝ .
答案　－2 021
解析　由题意，得f′(x)＝x＋2f′(2 020)＋，
所以f′(2 020)＝2 020＋2f′(2 020)＋1，
解得f′(2 020)＝－2 021，
所以f′(x)＝x＋－4 042，
所以f′(1)＝1＋2 020－4 042＝－2 021.
13．(2019·河南息县高中月考)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为 ．
答案　
解析　当在点P的切线与直线y＝x－2平行时，切点P到直线y＝x－2的距离最小．对函数y＝x2－ln x求导，得y′＝2x－.由2x－＝1，可得切点坐标为(1,1)，故点(1,1)到直线y＝x－2的距离为，即为所求的最小值．
四.解答题
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.
又f′(x)＝a＋，所以解得
故f(x)＝x－.
(2)是定值，理由如下：
设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
15．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f (x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，
所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f (x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f (x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f (x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f (x)的切线方程为y＝12x－10，
所以y＝f (x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f (x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.