2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03函数中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03函数中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了解答新定义型创新题的基本思路是，解决函数新定义问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc207664973" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207664973 \h 2
\l "_Tc207664974" 题型一：狄利克雷函数 PAGEREF _Tc207664974 \h 2
\l "_Tc207664975" 题型二：黎曼函数 PAGEREF _Tc207664975 \h 3
\l "_Tc207664976" 题型三：最值函数 PAGEREF _Tc207664976 \h 4
\l "_Tc207664977" 题型四：利普希兹条件函数 PAGEREF _Tc207664977 \h 5
\l "_Tc207664978" 题型五：k倍距增/减函数 PAGEREF _Tc207664978 \h 6
\l "_Tc207664979" 题型六：迭代函数 PAGEREF _Tc207664979 \h 7
\l "_Tc207664980" 题型七：定义新运算 PAGEREF _Tc207664980 \h 8
\l "_Tc207664981" 题型八：定义新概念 PAGEREF _Tc207664981 \h 9
\l "_Tc207664982" 题型九：定义新性质 PAGEREF _Tc207664982 \h 10
\l "_Tc207664983" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207664983 \h 11
\l "_Tc207664984" 巩固过关 PAGEREF _Tc207664984 \h 11
\l "_Tc207664985" 创新提升 PAGEREF _Tc207664985 \h 14
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决函数新定义问题
首先需通过举例转化抽象概念：选取简单数值（如 0、1、特殊函数）代入新定义，观察运算结果或对应关系，将抽象规则具象化，帮助快速把握核心逻辑；同时尝试用自己的语言转述定义，若能清晰描述其本质（如运算方式、对应法则），则说明理解到位，避免因表述模糊导致偏差。
接着要衔接已有知识：分析新定义与课本中函数性质（如单调性、奇偶性）、运算（如复合函数、分段函数）的联系与区别，若为课本知识的推广，需明确其适用范围及与原有概念的差异（如定义域拓展、规则变化）。
最后结合新定义的本质特征，套用或迁移熟悉的解题方法（如数形结合），按定义逐步推导，验证结果是否符合所有限制条件，确保逻辑严谨。
题型一：狄利克雷函数
典例1-1．波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
典例1-2．黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．（多选）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．关于的不等式的解集为
变式1-2．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，
．
(1)求，，；
(2)请用描述法写出满足方程的解集；
(3)解不等式；
题型二：黎曼函数
典例2-1．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根B．的单调减区间为和
C．的最大值为D．的最小值为
典例2-2．定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（）
A．1B．C．D．2
变式2-1．设，函数的最小值为－1，则 .
变式2-2．对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为 ．
题型三：最值函数
典例3-1．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.
(1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有.
典例3-2．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.
变式3-1．已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”
(1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
(3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．
变式3-2．若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．
(1)请写出一个“利普希兹条件函数”（要求明确函数的表达式、的值及定义域）；
(2)若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的取值范围；
(3)判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由.
题型四：利普希兹条件函数
典例4-1．对正整数，函数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如，则（ ）
A．52B．53C．54D．55
典例4-2．（多选）若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式4-1．（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A．的定义域为，其值域也是
B．在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在，使得方程有无数解
D．，当且仅当n是素数时等号成立
变式4-2．（多选）已知欧拉函数，其中的值等于所有不超过且与互质的正整数的个数，则（ ）
A．B．C．D．
题型五：k倍距增/减函数
典例5-1．已知函数的定义域为，若，都有，则称函数为“距”增函数．若函数，且是上的“3距”增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
典例5-2．若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
(1)若，试判断是否为“2距”增函数；
(2)假设函数为“2距”增函数，求的最小值．
变式5-1．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”减函数.
(1)若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由；
(2)若是“距”减函数，求实数的取值范围；
(3)已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值.
变式5-2．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若是“距”增函数，求的取值范围；
(3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.
题型六：迭代函数
典例6-1．记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
典例6-2．（多选）设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则能被17整除
D．若，则
变式6-1．已知函数，表示函数的次迭代函数，，.
(1)若，求，，，；
(2)若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期.若，求的选代周期.
变式6-2．设，如果函数：的值域也是，则称之为一个泛函数，并定义其迭代函数列：，.
(1)请用列表法补全如下函数列；
(2)求证：对任意一个，存在正整数（是与有关的一个数），使得；
(3)类比排序不等式：，，把中的10个元素按顺序排成一列记为，使得10项数列：，，，…，的所有项和最小，并计算出最小值及此时对应的.
题型七：定义新运算
典例7-1．已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
典例7-2．设，定义运算“”和“”如下：.若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A．B．
C．D．
变式7-1．（多选）定义两个实数间的一种新运算“*”：，．当时，记．对于任意实数，给出如下结论，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2．对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 .
题型八：定义新概念
典例8-1．（多选）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
典例8-2．定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的，使得成立，则称该函数为“伴随函数”．
(1)判断是否为“伴随函数”并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“伴随函数”，求的值；
(3)已知函数在定义域上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围．
变式8-1．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)判断函数是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式.
变式8-2．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．
(1)用定义证明函数在为单调递增函数；
(2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
题型九：定义新性质
典例9-1．若函数满足：对任意，都有则称函数具有性质P．请判断下列两个命题的真假性（ ）
①已知函数具有性质P，且值域是一个开区间Ⅰ，则是奇函数；
②已知函数具有性质P，，若在R上严格增，则是奇函数.
A．①真②真B．①假②假C．①假②真D．①真②假
典例9-2．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
(1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
(2)已知为二次函数，且具有性质，求证：是偶函数；
变式9-1．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质．
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求证：为定值；
(3)若函数具有性质，求ab的最小值．
变式9-2．定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”．
(1)判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围．
巩固过关
1．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ）
A．函数是奇函数B．，，
C．函数是偶函数D．，，
2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
3．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ）
A．有最大值，无最小值B．当的最大值为
C．不等式的解集为D．的单调递增区间为
4．（多选）定义且．则下列关于函数的四个结论，正确的是（ ）
A．函数的定义域为，值域为
B．函数是偶函数且在上是增函数
C．对任意的，都有（k为常数且）成立
D．函数有2个不同零点
5．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ．
6．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ．
7．若函数满足条件：在定义域内存在，使得成立，则称具有性质；反之，若不存在，则称不具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的值；若不具有性质，说明理由；
(2)证明：函数具有性质；
(3)已知函数具有性质，求a的取值范围.
8．若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数．
(1)判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数是“”类函数，且当时，．证明：是周期函数，并求出在上的解析式；
9．设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数．
(1)若，试判断是否为平缓函数？并说明理由；
(2)若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有．
10．已知函数在区间上有定义，如果对于任意，都有，则称为上凸函数．若为上凸函数，则（为任意大于2的正整数，）．
(1)证明：为上凸函数；
(2)证明：．
创新提升
1．探索新定义 定义一种新的运算“”：，都有．
(1)对于任意实数，试判断与的大小关系；
(2)已知函数，，，若在上的值域是函数在上的值域的充分不必要条件，求实数的取值范围．
2．已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数．
(1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数；
(2)若函数是型函数，求实数的值；
(3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围．
3．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.
(1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由；
(2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明.
4．定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”．
(1)判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由
(2)若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围
(3)若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，．
5．若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.
(1)若函数是“型函数”，求的值；
(2)若函数是“型函数”，求和的值；
(3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围.
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3
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重难点专训03 函数中的新定义问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc207664972" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc207664972 \h 1
\l "_Tc207664973" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc207664973 \h 2
\l "_Tc207664974" 题型一：狄利克雷函数 PAGEREF _Tc207664974 \h 2
\l "_Tc207664975" 题型二：黎曼函数 PAGEREF _Tc207664975 \h 6
\l "_Tc207664976" 题型三：最值函数 PAGEREF _Tc207664976 \h 8
\l "_Tc207664977" 题型四：利普希兹条件函数 PAGEREF _Tc207664977 \h 13
\l "_Tc207664978" 题型五：k倍距增/减函数 PAGEREF _Tc207664978 \h 15
\l "_Tc207664979" 题型六：迭代函数 PAGEREF _Tc207664979 \h 19
\l "_Tc207664980" 题型七：定义新运算 PAGEREF _Tc207664980 \h 23
\l "_Tc207664981" 题型八：定义新概念 PAGEREF _Tc207664981 \h 26
\l "_Tc207664982" 题型九：定义新性质 PAGEREF _Tc207664982 \h 30
\l "_Tc207664983" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc207664983 \h 36
\l "_Tc207664984" 巩固过关 PAGEREF _Tc207664984 \h 36
\l "_Tc207664985" 创新提升 PAGEREF _Tc207664985 \h 46
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决函数新定义问题
首先需通过举例转化抽象概念：选取简单数值（如 0、1、特殊函数）代入新定义，观察运算结果或对应关系，将抽象规则具象化，帮助快速把握核心逻辑；同时尝试用自己的语言转述定义，若能清晰描述其本质（如运算方式、对应法则），则说明理解到位，避免因表述模糊导致偏差。
接着要衔接已有知识：分析新定义与课本中函数性质（如单调性、奇偶性）、运算（如复合函数、分段函数）的联系与区别，若为课本知识的推广，需明确其适用范围及与原有概念的差异（如定义域拓展、规则变化）。
最后结合新定义的本质特征，套用或迁移熟悉的解题方法（如数形结合），按定义逐步推导，验证结果是否符合所有限制条件，确保逻辑严谨。
题型一：狄利克雷函数
典例1-1．波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，
可得，故偶函数是周期为4的周期函数，
由 ，当时，，
，由且为无理数，，
，
所以
故选：D．
典例1-2．黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵是定义在R上的奇函数，且，
∴，∴，
∴函数是以为周期的周期函数，
则 ，
，
∴.
故选：B.
变式1-1．（多选）波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家，他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．关于的不等式的解集为
【答案】ACD
【详解】解:对于选项A，当时，，当时，，
而，当时，，
若是无理数，则是无理数，有，
若是有理数，则是有理数，当,(正整数数，为最简真分数），
则,（为正整数数,为最简真分数）,
此时，综上:时，，所以选项A正确，
对于选项B，取，则,
所以,所 以选项B错误，
对于选项C，当和无理数时，，显然有，
当（是正整数， 是最简真分数）时，
,，故，
当时，，有，
当时，，，有，
当a为无理数， 时，，有，
综上: ，所以选项C正确；
对于选项D，若或或内的无理数，此时，显然不成立，
当 (正整数数，互质)，由，得到 ，
整理得到.又正整数，互质，所以，所以，所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据黎曼函数的定义，对每个选项的情况分别分成或或内的无理数以及有理数讨论.
变式1-2．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，
．
(1)求，，；
(2)请用描述法写出满足方程的解集；
(3)解不等式；
【答案】(1)，，.
(2)为大于1的正整数.
(3).
【详解】（1）因为，
所以，，.
（2）依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数.
则由方程，解得，为大于的正整数，
综上，方程，的解集为为大于的正整数.
（3）若或或为内无理数时，，
而，此时，
若（，，为既约真分数），
则，为大于的正整数，
则，得，解得，
又因为（，，为既约真分数），所以，，
综上，等式的解为.
题型二：黎曼函数
典例2-1．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根B．的单调减区间为和
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】A
【详解】由的定义作出函数图象，如图，

由图象可知：
对于A，的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；
对于B，的单调递减区间为和，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，无最小值，D错误.
故选：A
典例2-2．定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【详解】令,即,解得,
令,即,解得或,
所以
又，
要使函数在区间的值域为,
当时,,当时,,
则当时的长度取得最大值2.
故选：D.
变式2-1．设，函数的最小值为－1，则 .
【答案】e
【详解】①当时，，当x趋于正无穷时，与均趋于负无穷，无最小值，不符合题意；
②当时，，
而，当时，，
所以的最小值为0，不符合题意；
③当时，，的大致图象如图，设的最小值为.
令，可得，消去得，解得（舍去）或.

故答案为：e.
变式2-2．对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】36
【详解】方法一：（配凑系数法）令，则．
为非负实数，且，
，因此．
且当时，
的最小值为36.
方法二：（转化为一元函数）由得，
令，则，在同一坐标系下画出函数的图象，如图．则函数的图象是图中的实线部分，显然点是图象的最低点．
题型三：最值函数
典例3-1．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”.
(1)判断函数是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数是周期为2的“利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的，均有.
【答案】(1)与是“利普希兹条件函数”，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，函数的定义域为，
所以，
即，
所以函数是“利普希兹条件函数”；
函数的定义域为，
所以，，
所以，
所以函数是“利普希兹条件函数”；
（2）若，
当，则；
若，设，
则
，
所以对任意的，都有，
因为函数是周期为的周期函数，
所以对任意的，都存在，使得，，
所以，
综上可得对定义域内任意的，均有.
【点睛】关键点点睛：本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义.
典例3-2．利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.
【答案】(1)函数在上是，函数在上不是
(2)1
(3)
【详解】（1）由题知，函数，定义域为，
所以，
所以函数在上是“1-利普希兹条件函数”.
函数，所以，
当时，则，
函数在上不是“1-利普希兹条件函数”.
（2）若函数是“利普希兹条件函数”
则对于定义域上任意两个，均有成立，
则恒成立
因为，，所以，得，
所以的最小值为1.
（3）解：因为函数是“2024-利普希兹条件函数”，
所以在上恒成立，即在上恒成立，由，得
原方程在上有两个不相等实根等价于
①,在上有两个不相等实根
令，，
则①式等价于关于的方程在上有两个不相等实根，
即，令,
所以问题等价于直线与函数的图象在上有两个不同的交点，如图.

则，所以
又，所以使得以上不等式成立，
所以.
【点睛】本题考查了函数新定义问题，函数与方程的综合应用，零点存在性定理的应用和不等式问题，考查了转化思想和数形结合能力，属于难题.
变式3-1．已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”
(1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；
(3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．
【答案】(1)是，不是
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）对于函数，
不妨设，则，符合题意，
所以函数是“1-利普希兹条件函数”，
对于函数，
因为，
所以函数不是“1-利普希兹条件函数”；
（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，
则对定义域内任意（），均有，
即，
设，
则，即，
因为，
所以，所以
所以的最小值为；
（3）设，
当时，
因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，
所以，
当时，由，得，
故
恒成立，综上所述，，
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”.
变式3-2．若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数在其定义域上是“利普希兹条件函数”．
(1)请写出一个“利普希兹条件函数”（要求明确函数的表达式、的值及定义域）；
(2)若函数是“利普希兹条件函数”，求常数的取值范围；
(3)判断函数是否是“利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由.
【答案】(1)，定义域，等（答案不唯一）
(2)
(3)不是，理由见解析
【详解】（1）解：，定义域，等（答案不唯一）
（2）若函数是“利普希兹条件函数”，
则对于定义域内的任意，都有成立，
不妨设，则恒成立，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围是；
（3）函数的定义域是，
令，
则，
而，
所以，
所以函数不是“利普希兹条件函数”.
题型四：利普希兹条件函数
典例4-1．对正整数，函数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故称欧拉函数．例如，则（ ）
A．52B．53C．54D．55
【答案】C
【详解】因为，
所以．
因为除了3的倍数外，其他数都与81互质，
所以．
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的新定义，互质的概念，考查了对数的运算，属于中档题.
典例4-2．（多选）若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确；
因为当时，，故D错误，
故选：AC.
变式4-1．（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A．的定义域为，其值域也是
B．在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在，使得方程有无数解
D．，当且仅当n是素数时等号成立
【答案】ACD
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为，其值域也是，所以A正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如，所以B错误;
对于C，由于的值域为，所以不存在，使方程有无数解,故C正确;
对于D，因为的素因数都是大于1，，所以，当且仅当时素数时等号成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
变式4-2．（多选）已知欧拉函数，其中的值等于所有不超过且与互质的正整数的个数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】因为不超过4且与4互质的正整数有1，3，所以，A正确.
因为不超过10且与10互质的正整数有1，3，7，9，所以，
又因为不超过5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以，B正确.
因为在，，中，与互质的正整数只有，，
所以，C错误，D正确.
故选：ABD.
题型五：k倍距增/减函数
典例5-1．已知函数的定义域为，若，都有，则称函数为“距”增函数．若函数，且是上的“3距”增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数，且是上的“3距”增函数，
当时，恒成立．
又为增函数，．
当时，，即恒成立，
于是，解得；
当时，，即恒成立，
整理得，解得．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
典例5-2．若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
(1)若，试判断是否为“2距”增函数；
(2)假设函数为“2距”增函数，求的最小值．
【答案】(1)是
(2)
【详解】（1）由得，
故，即函数是“2距”增函数．
（2）因为，
即，
所以对任意都成立，
故对任意都成立，
则易得．
①当时，判断在上单调递增，
所以．
②当时，任取，且，
令，则
由，得，
，即，，即，
在上单调递增，．
③当时，由，得，
，即，，即，
在上单调递减，同理可证在上单调递增，
．
综上所述，．
变式5-1．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”减函数.
(1)若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由；
(2)若是“距”减函数，求实数的取值范围；
(3)已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值.
【答案】(1)是“1距”减函数，理由见解析
(2)
(3)；.
【详解】（1） 是否为“1距”减函数，
对任意，，
因为，
所以，即，
所以是 “1距”减函数.
（2）因为，
又是“距”减函数，
所以恒成立，
因为，所以恒成立，
所以，即，
解得.
（3）因为，其中，且为“2距”减函数，
所以当时，恒成立，
因为是减函数，
所以根据复合函数单调性可知对恒成立，
当时，，即恒成立，
只需，即，解得，
综上所述，
又，
因为，所以当时，在时取得最小值，最小值为，
此时函数的最大值为，
当时，在时取得最小值，最小值为，
此时函数的最大值为，
综上.
变式5-2．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若是“距”增函数，求的取值范围；
(3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.
【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析
(2)
(3)当时，，当时，.
【详解】（1）对任意的，
故是“1距”增函数；
（2），
又为“距”增函数，
所以恒成立，
因为，
所以恒成立，
所以，所以，故；
（3）因为，
其中，且为“2距”增函数，
所以当时，恒成立，
增函数，
当时，，
即恒成立，
，解得，
当时，，
即恒成立，
所以，解得，
所以.
令，则.
①当时，即时，
当时，
②当时，即时，
当时，
综上，当时，
当时，
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
题型六：迭代函数
典例6-1．记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A．B．C．2022D．2023
【答案】B
【详解】根据题意，，即，则，，，故有，
所以，故.
故选：B．
【点睛】准确理解题干给出的“ n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
典例6-2．（多选）设函数的定义域为，若，记为在上的2次迭代，为在上的3次迭代，依次类推，为在上的次迭代，即，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则能被17整除
D．若，则
【答案】AC
【详解】对于选项A：若，
则，
所以，故A项正确；
对于选项B：由，
得，
所以，解得或，故B项错误；
对于选项C：若，则，
所以
，
所以能被17整除，故C项正确；
对于选项D：若，
则，，
所以是以2为一个周期的迭代函数，所以，故D项错误．
故选：AC．
【点睛】关键点点睛：准确理解题干给出的“ n次迭代函数”的概念并正确应用，是解决本题的关键.
变式6-1．已知函数，表示函数的次迭代函数，，.
(1)若，求，，，；
(2)若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期.若，求的选代周期.
【答案】(1)，，，；
(2)3.
【详解】（1），，
则，
，
，
易知，继续迭代会出现三个一循环的特点，
……
于是.易知
（2）， ，
则 ，
，
，
故的选代周期为.
变式6-2．设，如果函数：的值域也是，则称之为一个泛函数，并定义其迭代函数列：，.
(1)请用列表法补全如下函数列；
(2)求证：对任意一个，存在正整数（是与有关的一个数），使得；
(3)类比排序不等式：，，把中的10个元素按顺序排成一列记为，使得10项数列：，，，…，的所有项和最小，并计算出最小值及此时对应的.
【答案】(1)列表见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）
（2）按泛函数的定义，①
任取，则，所以，其中必有两个相等.
情形一，存在，则取即可；
情形二，存在，由①，得，
连续应用①次，即得，取正整数即可.
综上，命题得证.
（3）因为，所以2520是的公倍数，
从而2520是（2）中每个的倍数，因此，，
故
，
由排序不等式，可知当时，
最小，并且
.
题型七：定义新运算
典例7-1．已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，
由，
可得，
即，
因为，所以，解得，
所以当时，，
所以当时，.
即，
因为函数的图象与轴恰有两个公共点，
即函数的图象恰有两个公共点，
在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
则实数的取值范围是
故选：A
典例7-2．设，定义运算“”和“”如下：.若正数m，n，p，q满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由运算“”和“”定义知，
表示数m，n较小的数，表示数m，n较大的数．
当时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误；
，且，
，故选项D正确；
故选：D.
变式7-1．（多选）定义两个实数间的一种新运算“*”：，．当时，记．对于任意实数，给出如下结论，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【详解】对于A，可知，，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，，，
所以，故C正确；
对于D，设满足，所以
且，，
从而，故D正确.
故选：ABCD．
变式7-2．对于实数和，定义运算“*”：，设，若函数（）恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】当，即时，，
当，即时，，
所以，
因为有三个非零的零点，
所以与的图象有三个交点且交点横坐标不为零；
即与函数有三个交点，
作出的图象，如图，其中时，函数最大值为，
所以，
不妨设，易知,且，所以，
由，解得，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键在于将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，注意数形结合.
题型八：定义新概念
典例8-1．（多选）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”．若给定函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为，，所以，
列表解析：
故选：ACD.
典例8-2．定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的，使得成立，则称该函数为“伴随函数”．
(1)判断是否为“伴随函数”并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“伴随函数”，求的值；
(3)已知函数在定义域上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1）函数的定义域为，
取，则，此时，不存在，
使得，因此，函数不是“伴随函数”．
（2）因为函数在定义域上单调递增且为“伴随函数”，
所以存在，使得成立．
若，则；
根据题意，存在，使得成立，
若，则，矛盾．
故，
所以．
（3）若，则当时，，
此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”，
所以，所以函数在上单调递增，
则．
由“伴随函数”的定义可得，
因为，所以，即．
当时，，则，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，恒有，
所以，即在上有解．
令，则，则，
令，则函数在上单调递增，
所以．
则，因此实数的取值范围是．
变式8-1．欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)判断函数是不是倒函数，并说明理由；
(2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式.
【答案】(1)函数是倒函数，理由见解析；
(2).
【详解】（1）函数是倒函数，理由如下：
因为函数的定义域为，对任意的，
函数是倒函数.
（2）当时，，而当时，
所以，
由倒函数的定义，可得，
综上，函数的解析式为.
变式8-2．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．
(1)用定义证明函数在为单调递增函数；
(2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析
(3)
【详解】（1）证明：根据题意，，设，则.
则有，即，
所以函数在为单调递增函数.
（2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下：
已知函数，若，则，
即，所以，所以方程无实数解，
即不存在实数，使成立，
故不是“局部反比例对称函数”.
（3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，
则方程，即在上有解.
整理得：.
令，由，得，
所以问题转化为方程在上有解.
设函数，则其图象开口向上，对称轴为.
分类讨论：
①当时，只需，即，
解得，所以；
②当时，只需，即，
解得，所以.
综上，实数的取值范围为.
题型九：定义新性质
典例9-1．若函数满足：对任意，都有则称函数具有性质P．请判断下列两个命题的真假性（ ）
①已知函数具有性质P，且值域是一个开区间Ⅰ，则是奇函数；
②已知函数具有性质P，，若在R上严格增，则是奇函数.
A．①真②真B．①假②假C．①假②真D．①真②假
【答案】D
【详解】①是真命题.
首先证明，
假设，
令，其中，由性质得，
故当时，，则有；
当时，，则有；
由的值域是开区间，则，则当时，必有，
故，这与假设矛盾，故假设错误，即；
其次，证明是不减函数（任意，，都有）.
证明：假设不是不减函数，即存在，，使得，
由题意是定义在上的函数，则必存在，使，
故，且，
故由具有性质可得，则；
且，则；
故，这与假设矛盾，
所以假设错误，即是不减函数，得证.
然后，证明是奇函数.
证明：由题意具有性质，又是上的不减函数，且值域为开区间，
则是连续函数.
先假设函数不是奇函数，则存在,使得，其中，
设，
令，即.
则由性质可得，，
若，
当时，由，
则，这与矛盾；
若，
当时，由，
则，这也与矛盾；
综上可知，，即，这与假设矛盾.
故假设错误，则函数是奇函数，又，
所以，对任意，都有，
故是奇函数.即①真；
②是假命题.
构造定义在上的函数，，下面证明该函数具有性质
由，可知，不是奇函数，
，且是严格增函数（如图）.
下面分类证明：具有性质.
对任意，不妨设，
情况1：,，
，不等式成立；
情况2：，，
由，
则，故，不等式成立；
情况3：，，
由，
则，，不等式成立；
情况4：，当时，
恒有，不等式成立；
情况5：，，，
由，则，不等式成立；
情况6：，（注意），，
由，
则，，不等式成立；
情况7：，，，
由，
则，，不等式成立；
情况8：，， 当时，
恒有，不等式成立；
情况9：，，，
由，
则，，不等式成立；
情况10：，，
恒有，不等式成立.
因此，具有性质，且满足，在R上严格增，
但不是奇函数，故命题②是假命题.
综上所述，①真②假.
故选：D.
典例9-2．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
(1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；
(2)已知为二次函数，且具有性质，求证：是偶函数；
【答案】(1)具有性质；不具有性质.理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）具有性质；不具有性质.理由如下：
对任意，得，
所以具有性质；
对任意，得.
当时，，
所以不具有性质.
（2）设二次函数满足性质，
则对任意，满足.
当时，，此时b可以为任何实数；
当时，恒成立，所以，又，故.
综上所述，函数具有性质时，，
此时，即为偶函数.
变式9-1．对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质．
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求证：为定值；
(3)若函数具有性质，求ab的最小值．
【答案】(1)函数不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)4
【详解】（1）假设函数具有性质，因为的定义域为R，
则存在，对任意的，都有，
所以，所以对恒成立，
所以，此方程组无解，
所以函数不具有性质．
（2）因为函数具有性质，且函数定义域为，
所以存在，对任意的，都有，
即，所以，所以，
所以，所以，故为定值．
（3）因为函数具有性质，定义域为，所以．
所以对任意的，都有．
即．
所以，
即，所以，
，
当且仅当，即时取等号，
则，解得，
所以ab的最小值为4.
变式9-2．定义：给定函数，若存在实数，当有意义时，总成立，则称函数具有“性质”．
(1)判断函数是否具有“性质”，若是，写出的值，若不是，请说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)存在，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）函数具有“性质”．
因为，且，
所以，整理得．
若函数具有“性质”，则可得解得
所以函数具有“性质”，此时．
（2）假设函数（且）具有“性质”，
则，则解得，
整理得，则，
分别取，可得解得；
分别取，可得解得．
显然，即对任意，不存在实数使得恒成立，
所以假设不成立，函数（且）不具有“性质”．
（3）具有“性质”，则，可知的图象关于点对称，可得，即，
又因为是定义域为的奇函数，则，
可得，即函数的周期为2．
令，则，
由题意可得，的图象与直线在内有5个不同的交点，
又为奇函数，为的图象与直线的一个交点，
所以由图象的对称性可知，的图象与直线在内有2个不同的交点．
作出在内的图象（如图），
当直线过时，可得；直线过时，可得；当直线过时，可得．
结合图象可知，实数的取值范围为．
【点睛】利用数形结合求方程解应注意两点：
（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两个函数的图象的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解；
（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．
巩固过关
1．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ）
A．函数是奇函数B．，，
C．函数是偶函数D．，，
【答案】A
【详解】对于选项，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，故错误；
对于选项B，当时，，
，此时，故B正确；
对于选项C，若是有理数，则；若是无理数，，，
，又，则，因此，函数是偶函数，故正确；
对于选项D，若是有理数，，则均是有理数，则；
若是无理数，，则均是无理数，则，
因此，故D正确.
故选：A.
2．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】BC
【详解】依题意，函数的定义域为，
对于A，，，，函数不是偶函数，A错误；
对于B，，则函数是奇函数，B正确；
对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确；
对于D，由，得，则，的值域为，D错误.
故选：BC
3．（多选）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ）
A．有最大值，无最小值B．当的最大值为
C．不等式的解集为D．的单调递增区间为
【答案】BC
【详解】作出函数的图象， 如图：
对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误；
对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确;
对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确;
对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误.
故选：BC.
4．（多选）定义且．则下列关于函数的四个结论，正确的是（ ）
A．函数的定义域为，值域为
B．函数是偶函数且在上是增函数
C．对任意的，都有（k为常数且）成立
D．函数有2个不同零点
【答案】BCD
【详解】函数的图象如图1：

所以,的图象,
如图2：

函数的图象如图3所示：

所以,故，故A错误，
由图3可知：且为偶函数，则为偶函数，
在上单调递增；B正确，
由图3可知，函数的周期为1，又为偶函数，，
所以；C对；
为偶函数，当时，有一个零点1，
且，故在上有唯一零点，
结合函数为偶函数，得共有2个不同零点，D对，
故选：BCD.
5．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫作的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】根据题意可知，函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
函数在定义域上单调递减，若在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0，
即，可得解得；
②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，
即此时不等式组无解
综上所述，．
故答案为：.
6．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方收缩区间．函数的次方的一个收缩区间为 ；若函数存在次方收缩区间，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【详解】由在R上单调递增，令函数的次方的一个收缩区间为，
所以在上单调递增，且值域为，故且，可得，
所以函数的次方的一个收缩区间为，
由在R上单调递增，令其次方收缩区间为且，对应值域为，
所以，即是的两个根，记，
则，可得且.
故答案为：，且
7．若函数满足条件：在定义域内存在，使得成立，则称具有性质；反之，若不存在，则称不具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的值；若不具有性质，说明理由；
(2)证明：函数具有性质；
(3)已知函数具有性质，求a的取值范围.
【答案】(1)不具有，理由见详解
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）因为的定义域为
令，且，
即，整理可得，
因为，可知方程无解，
所以函数不具有性质.
（2）因为，
令，且，
即，可得，
构建，
因为在内单调递增，且，
可知在内单调递增，且，
可知在内存在零点，
即存在，使得，
所以函数具有性质.
（3）因为，显然，
若具有性质，则存在，使得，
即，整理可得，
令，则，
可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，即，
可得，且，解得，
所以a的取值范围为．
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要读懂题意，并能在新定义的指引下，代入函数，判断方程是否有解.
8．若存在常数、，使得函数对于同时满足：，，则称函数为“”类函数．
(1)判断函数是否为“”类函数？如果是，写出一组的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数是“”类函数，且当时，．证明：是周期函数，并求出在上的解析式；
【答案】(1)是“”类函数，（答案不唯一）；
(2)证明见解析，.
【详解】（1）是“”类函数，
令，得，即的对称轴为，
令，得，即的对称中心为，
当时，，
可以是（答案不唯一）；
（2）是“”类函数，
，
，
，是周期为的周期函数.
当时，，
当时，，
.
故，
9．设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数．
(1)若，试判断是否为平缓函数？并说明理由；
(2)若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有．
【答案】(1)是平缓函数，理由见解析；
(2)证明见解析．
【详解】（1）任取，
，
只需证，
当有一个为0时，不妨设，则；
当都不为0时，分母利用不等式，
得，结合
可得
当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立，
因此函数是上的平缓函数．
（2）由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设，
当时，由为上的平缓函数得。
当时，不妨设，
此时由为上的平缓函数得
.
综上所述，命题得证.
10．已知函数在区间上有定义，如果对于任意，都有，则称为上凸函数．若为上凸函数，则（为任意大于2的正整数，）．
(1)证明：为上凸函数；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，任取，
由均值不等式可得．
因为在上单调递增，
所以，即.
由上凸函数定义可知为上凸函数．
（2）由（1）可得，为上凸函数，
所以,
由，
相加可得,
所以.
所以，
且，
所以,即．
创新提升
1．探索新定义 定义一种新的运算“”：，都有．
(1)对于任意实数，试判断与的大小关系；
(2)已知函数，，，若在上的值域是函数在上的值域的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，
．
（2）由题意得，
．
设，
令，则，
，．
设在上的值域为，则．
，当且仅当时取等号，
，设在的值域为，则．
根据题意可知是的真子集，
，
解得且，即的取值范围为．
2．已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数．
(1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数；
(2)若函数是型函数，求实数的值；
(3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为，
所以（且）是型函数，
即每一个指数函数都是型函数．
（2）因为函数是型函数，
所以，
显然，则，所以，
整理得对于定义域内任意恒成立，
所以，解得．
（3）因为为型函数，所以，
当时，，
因为，所以，满足；
当时，恒成立，
令，则，所以在上恒成立，则恒成立，
因为在上单调递增，且，故．
当时，，
则，
因为，所以，
令，则当时，恒成立．
由上可知，所以在上恒成立，
则在上恒成立，
因为，当且仅当时取得等号，所以．
综上可知，，故实数的取值范围为．
3．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.
(1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由；
(2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明.
【答案】(1)为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由见详解；
(2)不是“保三角形函数”，证明见详解.
【详解】（1）为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由如下：
不妨设，则，即
因为是一个三角形的三边长，所以，
所以，即，
又，所以，，也是某个三角形的三边长，
所以为“保三角形函数”.
易知是一个三角形的三边长，
因为，且，
所以不满足定义，即不是“保三角形函数”.
（2）不是“保三角形函数”，证明如下：
因为函数的值域为，所以不是常数函数，
所以函数的最小正周期，存在使得，
取正整数，则，
易知可以是一个三角形的三边长，
因为，，
所以不是任何三角形的三边，
即不是“保三角形函数”.
4．定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”．
(1)判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由
(2)若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围
(3)若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，．
【答案】(1)不是上的“倍型线性函数”，理由见解析
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）不是上的“倍型线性函数”，
理由如下：假设是上的“倍型线性函数”，
则，，，
不妨令，则，即，
取，，则，，
因为，所以，
与矛盾，从而假设不成立，
故不是上的“倍型线性函数”；
（2）因为为上的“倍型线性函数”，
所以，，，
整理得，
当时，上式显然成立，
当时，上式等价于，
则，
由，，得，
从而，
综上所述，的取值范围为；
（3）证明：因为是定义域为的偶函数，
所以，
又是定义域上的“倍型线性函数”，
所以，，，
当时，显然成立，
当时，不妨设，
由，，可得；
若，则由，
可得；
若，
因为是偶函数，所以，
则
．
综上所述，．
5．若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.
(1)若函数是“型函数”，求的值；
(2)若函数是“型函数”，求和的值；
(3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）已知函数是“型函数”，
根据“型函数”的定义，，
因为，所以，故，可得.
（2）因为函数是“型函数”，所以，即.
由题意可知，所以恒成立，
所以，解得，.
（3）因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以.
当时，；
当时，则.
当时，，在上单调递减.
故当时，，则在的值域为.
因为对任意时，都存在，使得，
所以在的值域是的子集，
根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意；
若函数在区间、上的值域为、，则，，
对任意的，则，则，且，即，
所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，
当时，，其对称轴为.
①若，即，在上单调递增，，
此时为的真子集，不合乎题意；
②若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，且，，
由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有，
解得，
③若，即，在上单调递减，，
此时不是的子集，不合乎题意.
综上：的取值范围是.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
7
5
3
4
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
7
5
3
4
9
10
1
2
9
3
7
5
选项
正误
原因
A
√
，．
B
×
，．
C
√
，．
D
√
，．