2026年新高考数学专题复习学案 5.抽象函数及应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 5.抽象函数及应用，共12页。学案主要包含了四象限，所以.故选等内容，欢迎下载使用。
2.抽象函数的对称性与周期性
3.赋值法解决抽象函数问题
4.图像法解决抽象函数问题
5.求导公式（积分法）还原抽象函数
6.抽象函数还原具体模型
7.抽象函数求解析式
1.抽象函数的单调性与奇偶性
下面的例子将分析抽象函数模型的单调性与奇偶性，其所使用的方法就是赋值法，这是处理函数方程问题中最常见的手法.
例1. 定义在R上的单调函数满足对任意x,y均有,试判断的奇偶性.
解：，故令，有
又令，为奇函数.
例2．已知函数对任意，总有，且对，都有.
判断并用定义证明函数的单调性.
解析：函数是上的减函数，证明如下：
由题意，令，有，解得，任取，不妨设，
则，
因为，则，所以，即，所以函数是上的减函数.
例3.设是定义在的函数，并且满足，且当时，．判断的单调性并证明.
解析：，故令，有
又令，.
令，故，，为单调减函数.
例4.设函数的定义域是R，对任意恒有，且当时， ．
（1）求证：，且当时，；
（2）判断在R上的单调性.
解：（1），故令，有或者，当时，，这与当时，矛盾，故只有；
又令，当时，，故当时，， ,对时恒成立.
（2）令，，为单
调减函数.
2.抽象函数的单调性与奇偶性
函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.
性质1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.（公众号：凌晨讲数学）
代数表示: (1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.
性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.（公众号：凌晨讲数学）
性质3.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1). (2).
(3). (4).
3.函数的对称性与周期性
性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.
性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.
性质6. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质7. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.（公众号：凌晨讲数学）
性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.
性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.
性质12.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到
整个函数的性质.
(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性：（公众号：凌晨讲数学）
由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).
二．典例分析
例5．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.
例6．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．
3.赋值法解决抽象函数问题
例7．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
解析：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
例8．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.
所以故选：D
例9．（2022新高考1卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，
所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC.
4.图像法解决抽象函数问题
例10．函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，则使的取值范围（ ）
A．B．C．D．
解析：因为函数是偶函数，，所以.因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在单调递增，所以函数的草图如图所示，因，所以满足已知的函数的图象在第二、四象限，所以.故选：C
5.求导公式（积分法）还原抽象函数
例11.已知是函数的导函数，对任意，都有，
且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
解析：设，，
，，，，，，，即，解得，所以不等式解集为，故选D．
例12．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解析：由得：，即，令，则，（为常数），，，又，，，则，；
当时，；当时，；综上所述：.
故选：A.
6.抽象函数还原具体模型
若，则可构造.特别地，当
时，可构造.
若，则可构造.
若，则可构造（且）.
若，则可构造（且）.
若，则可构造
若，则可构造.
例13．已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
解析：当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.
例14.已知函数的定义域为，且，则
A. B. C. D.
解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意. 于是，周期为6，且，进一步，故选A.
7.抽象函数求解析式
例15.已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则_____．
解析：因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数.
令则，且 所以，即，解得：．
故答案为．
三．习题演练
1.（2014陕西卷）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A. B. C.D.
2．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ）
A．0B．C．D．1
解析：根据题意，令，为常数，可得，且，
所以时有，将代入，等式成立，
所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，
所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.
3．定义在R上的奇函数满足，且在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
解析：满足，所以的一个周期为4，又因为在上是减函数，且在R上的奇函数，所以在上是减函数，所以，即.故选：A.
4．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是R上的奇函数D．是R上的奇函数
解析：已知为偶函数，可知关于对称，所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，
所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又，
则，，，
即是周期为4的偶函数，故C选项错误；由关于直线对称，，关于对称，，则，，
所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，
同理，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；由于关于对称，，，则，所以，故A选项正确；
，故B选项错误；故选：AD.
5．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解析：因为当时，所以，又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
6．已知函数的定义域为，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：令，，则，令，则
则，，∴或，令，则，若，则，矛盾，
∴，则，∴A选项错误；
令，则，∴B选项正确；
令，则，则，即，C选项正确；由A、C选项中结论，令，则，则
令，则，即，D选项错误.故选：BC.
7．已知函数的定义域为R，不恒为0，且，则（ ）
A．可以等于零B．的解析式可以为：
C．曲线fx−1为轴对称图形D．若，则
解析：令，可得，可得，解得或，当时，则可得，
则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误；
令，可得，所以为偶函数，
因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确；
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确；
令，则可得，
所以，又，
解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故D正确.故选：BCD已知的不等式中所含结构
构造函数的方向
，
，
，
，
，
，
，
，