2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训01排列组合中的常见方法技巧(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训01排列组合中的常见方法技巧(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了特殊元素与特殊位置优待法，插空法，捆绑法，多面手问题，涂色问题，分组分配问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc25726" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc25726 \h 2
\l "_Tc17208" 题型一：特殊元素（位置）优先法 PAGEREF _Tc17208 \h 2
\l "_Tc19875" 题型二：相邻问题与不相邻问题 PAGEREF _Tc19875 \h 2
\l "_Tc31563" 题型三：分组分配问题 PAGEREF _Tc31563 \h 3
\l "_Tc2446" 题型四、涂色问题 PAGEREF _Tc2446 \h 3
\l "_Tc24385" 题型五：数字排列问题 PAGEREF _Tc24385 \h 4
\l "_Tc18979" 题型六：定序问题 PAGEREF _Tc18979 \h 5
\l "_Tc15677" 题型七、相同元素隔板法 PAGEREF _Tc15677 \h 5
\l "_Tc8604" 题型八：双面手问题 PAGEREF _Tc8604 \h 6
\l "_Tc28844" 题型九：配对模型 PAGEREF _Tc28844 \h 7
\l "_Tc12132" 题型十：最短路径与爬楼梯问题 PAGEREF _Tc12132 \h 7
\l "_Tc20021" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc20021 \h 9
\l "_Tc1224" 巩固过关 PAGEREF _Tc1224 \h 9
\l "_Tc31787" 创新提升 PAGEREF _Tc31787 \h 10
一、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
二、插空法（不相邻问题）
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可
三、捆绑法（相邻问题）
解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。
四、定序问题（消序法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷
五、多面手问题
一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。
六、涂色问题：
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。
七、隔板法
将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板.
八、分组分配问题
个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
若其中有均匀分组的情况，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除；
若是完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象
题型一：特殊元素（位置）优先法
【例1】甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例2】某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．30种
【变式1-1】有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）.
A．32种B．64种C．96种D．144种
【变式1-2】将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种.
【变式1-3】4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为 种.
题型二：相邻问题与不相邻问题
【例3】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．288种
【例4】现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为 .（结果用数字作答）.
【变式2-1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144B．240C．336D．456
【变式2-2】将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【变式2-3】两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种B．796种C．816种D．834种
题型三：分组分配问题
【例5】已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【例6】2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ）
A．1800B．16800C．14280D．25200
【变式3-1】哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080B．1560C．2640D．3960
【变式3-2】某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
A．60种B．120种C．180种D．720种
【变式3-3】学校开展班级轮值活动，高二某班有四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为 ．（用数字作答）
题型四、涂色问题
【例7】用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（ ）

A．72B．96C．120D．144
【例8】某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．144种
【变式4-2】如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ）
A．48B．24C．144D．72
【变式4-3】如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有 种.

题型五：数字排列问题
【例9】从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【例10】若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20B．25C．30D．40
【变式5-1】（多选）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（ ）
A．一共可以组成96个数B．一共可以组成120个数
C．一共可以组成偶数60个D．一共可以组成72个大于2000的数
【变式5-2】有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数 .
【变式5-3】用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有 个.
题型六：定序问题
【例11】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400B．11760C．13440D．20160
【例12】某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．28种
【变式6-1】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10B．20C．60D．30
【变式6-2】如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）
A．10B．20C．60D．120
【变式6-3】要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法．
题型七、相同元素隔板法
【例13】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105种B．455种C．120种D．560种
【例14】从5个班级中选10人组成校篮球队，每个班级至少选1人，则不同的选法有 种.
【变式7-1】2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A．455B．364C．210D．120
【变式7-2】15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有 种.
【变式7-3】方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解．
题型八：双面手问题
【例15】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种B．31种C．36种D．37种
【例16】某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？
【变式8-1】高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）
【变式8-2】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
【变式8-3】已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长．
(1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
(2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数．
题型九：配对模型
【例17】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例18】有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 （ ）
A．10B．12C．13D．30
【变式9-1】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288B．144C．72D．36
【变式9-2】从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种．
【变式9-3】有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 .
题型十：最短路径与爬楼梯问题
【例19】某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一共用6步登上该楼梯，则甲同学登上该楼梯的不同方法数是（ ）
A．10B．15C．20D．30
【例20】（多选）如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为20
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲、乙能在处相遇的走法种数为36
D．甲、乙能相遇的走法种数为164
【变式10-1】（多选）2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条
D．若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条
【变式10-2】如图，沿着箭头从点P走到点Q，有 种不同的最短路径．
【变式10-3】某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有 种．
巩固过关
1．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216B．264C．312D．528
3．花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
4．如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．84种
5．现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种.
6．某校安排甲，乙，丙，丁共4位教师分别去高一，高二，高三三个年级任教，其中每个年级至少安排一位教师，若甲，乙不去高三年级但能去其他两个年级，丙，丁都能去三个年级，则不同的安排方案的种数为 ．（用数字作答）
7．将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 .
8．2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为 ．
9．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有 对.

10．2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有 种．
创新提升
1．某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．10名象棋手进行单循环赛（每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局得1分，负者得0分．比赛结束，10名选手得分互不相同，且第2名得分是后5名的总得分和的，则第2名的得分为 ．
3．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．已知该市，四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为 ．
4．互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
重难点专训01 排列组合中的常见方法技巧
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc22778" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc22778 \h 1
\l "_Tc25726" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc25726 \h 2
\l "_Tc17208" 题型一：特殊元素（位置）优先法 PAGEREF _Tc17208 \h 2
\l "_Tc19875" 题型二：相邻问题与不相邻问题 PAGEREF _Tc19875 \h 2
\l "_Tc31563" 题型三：分组分配问题 PAGEREF _Tc31563 \h 4
\l "_Tc2446" 题型四、涂色问题 PAGEREF _Tc2446 \h 5
\l "_Tc24385" 题型五：数字排列问题 PAGEREF _Tc24385 \h 7
\l "_Tc18979" 题型六：定序问题 PAGEREF _Tc18979 \h 9
\l "_Tc15677" 题型七、相同元素隔板法 PAGEREF _Tc15677 \h 11
\l "_Tc8604" 题型八：双面手问题 PAGEREF _Tc8604 \h 13
\l "_Tc28844" 题型九：配对模型 PAGEREF _Tc28844 \h 14
\l "_Tc12132" 题型十：最短路径与爬楼梯问题 PAGEREF _Tc12132 \h 17
\l "_Tc20021" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc20021 \h 21
\l "_Tc1224" 巩固过关 PAGEREF _Tc1224 \h 21
\l "_Tc31787" 创新提升 PAGEREF _Tc31787 \h 25
一、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
二、插空法（不相邻问题）
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可
三、捆绑法（相邻问题）
解题思路：对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。
四、定序问题（消序法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷
五、多面手问题
一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。
六、涂色问题：
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。
七、隔板法
将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板.
八、分组分配问题
个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
若其中有均匀分组的情况，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除；
若是完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象
题型一：特殊元素（位置）优先法
【例1】甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将4人全排列共有种排列，
若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种，
因此甲不在排首的概率为.
故选：D
【例2】某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．30种
【答案】C
【详解】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法；
若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一，
则有种体验方法，
故不同的体验方法共有种．
故选：C．
【变式1-1】有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）.
A．32种B．64种C．96种D．144种
【答案】D
【分析】
【详解】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法，
老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列，
2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列，
所以有种排法，
根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种.
故选：D.
【变式1-2】将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种.
【答案】504
【详解】根据题意将排成一列，有种排法，
而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法，
当在首位，同时在末位有种排法，
则不在首位且不在末位的排法共有种.
故答案为：504.
【变式1-3】4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为 种.
【答案】
【详解】第一步，先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，共有种排法；
第二步，将剩余的5人排在队伍中间，共有种排法.
所以，满足条件的排法种数有种.
故答案为：
题型二：相邻问题与不相邻问题
【例3】某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（ ）
A．36种B．72种C．144种D．288种
【答案】C
【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法；
第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法.
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种.
故选：C
【例4】现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为 .（结果用数字作答）.
【答案】
【详解】班主任站中间位置，只有1种站法；
从3名女生中选2名女生并“捆绑”，有种选法；“捆绑”的2名女生内部有种排列顺序；
3名男生全排列，有种排法，3名男生排列后形成4个空位（包括两端）；
从4个空位中选2个空位插入“捆绑”的女生整体和剩余1名女生，有种插空方法；
根据分步乘法计数原理，总站法数为.
故答案为：
【变式2-1】某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（ ）
A．144B．240C．336D．456
【答案】C
【详解】根据题意，第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为；
第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为；
所以不同放置方式种数为.
故选：C.
【变式2-2】将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放，
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法，
所以共有种不同的停放方法.
故选：B.
【变式2-3】两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲不站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．774种B．796种C．816种D．834种
【答案】C
【详解】不考虑甲的排列限制，先不排乙和两名老师，其他人任意排列有种排法，
再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入五个空隙中，有种排法，即此时排法有种，
而甲站最左边的排法有种，
故符合条件的排法共有种，
故选：C．
题型三：分组分配问题
【例5】已知4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一位学生且每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【答案】D
【详解】根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法，
然后将3组学生分配到A、B、C三地学习，有种方法，
由分步计数原理知共有种不同的分配方法，
故选：D．
【例6】2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（ ）
A．1800B．16800C．14280D．25200
【答案】B
【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式．
若是3，1，1，1，1，则有种；
若是2，2，1，1，1，则有种．
所以共有种.
故选：B．
【变式3-1】哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法（ ）
A．1080B．1560C．2640D．3960
【答案】B
【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法；
第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法.
故由分类加法计数原理，共有种不同分法.
故选：B.
【变式3-2】某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ）
A．60种B．120种C．180种D．720种
【答案】B
【详解】由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有种方法
另一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则种方法，
由分类加法原理可知共有种不同的分组方法.
故选：B.
【变式3-3】学校开展班级轮值活动，高二某班有四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为 ．（用数字作答）
【答案】24
【详解】若甲地点去一个小组，从组选一组去甲地点，有种，
再将剩下的3个小组分配到剩下的2个地点，且每个地点至少有1个小组，有种，此时共有种；
若甲地点去两个小组，从组选两个小组去甲地点，有种，
将剩下的2个小组分配到剩下的2个地点有种，此时共有种．
综上，不同的任务分配方法种数为种.
故答案为：24
题型四、涂色问题
【例7】用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（ ）

A．72B．96C．120D．144
【答案】C
【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4，
（1）四种颜色都用：
先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1，
再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2，
再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3，
若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3，
若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3，
共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法.
（2）四种颜色只用其中的三种颜色：
即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法.
综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法.
故选：C
【例8】某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种；
当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种．
故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为.
故选：B.
【变式4-1】如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．144种
【答案】C
【详解】三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，
所以恰好使用3种颜色的涂法有种.
故选：C.
【变式4-2】如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ）
A．48B．24C．144D．72
【答案】D
【详解】若选三种颜色，则①③同色且②④同色，
则有种方法；
若选四种颜色，则①③同色或②④同色，
则有种方法；
所以一共有种方法.
故选：D
【变式4-3】如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有 种.

【答案】420
【详解】若5种颜色全涂，有种；
若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种；
若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种
可得，故不同的涂色方案共有420种.
故答案为：420
题型五：数字排列问题
【例9】从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若组成的位数中没有，则有个；
若组成的位数中有，则有个，
所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个.
故选：C
【例10】若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20B．25C．30D．40
【答案】C
【详解】由题可得若“凸数”中有0，则0在“凸数”的个位数，剩下两数，
因大小关系限制，相当于从5个中选2个，有种情况；
若“凸数”中没有0，则先从剩下5个数中，选3个，有种可能性，
由于十位数最大，个位数与百位数没有限制，故将3数中最大数放在十位，
剩下两数有2种安排方法，故共有种情况.
则共有种方法.
故选：C
【变式5-1】（多选）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（ ）
A．一共可以组成96个数B．一共可以组成120个数
C．一共可以组成偶数60个D．一共可以组成72个大于2000的数
【答案】ACD
【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，
可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误；
对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个，
所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确；
对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，
可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确．
故选：ACD
【变式5-2】有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数 .
【答案】38
【详解】根据题意，分种情况讨论：
①取出的张卡片中有且只有对数字重复，则个重复的数字为或，
若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，
若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种；
②若取出的张卡片为张和张，
在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数
③取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为，
在、中取出张卡片，有种取法，安排在四个位置中的一个，有种情况，剩余位置安排，可以排出个四位数；
则一共有个四位数．
故答案为．
【变式5-3】用数字，，，，，，，组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这样的四位数一共有 个.
【答案】
【详解】以特殊元素“”为研究对象分类讨论.
（1）若四位数中有“”，则“”有种放法，
其他位置上的数字从，，，中挑选，故共有种；
（2）若四位数中无“”，则这四位数字可以全为奇数或者有个偶数.
①全为奇数，有种；
②有个偶数，则必从，，中选个并可放置在任意数位上，其余位置填奇数，共有种；
故满足条件的四位数有个，
故答案为：.
题型六：定序问题
【例11】现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取3件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．8400B．11760C．13440D．20160
【答案】B
【详解】首先从下层八个商品中抽取三个，共有种结果，
再将其放入上层时，由于上层原有商品保持相对顺序不变，可以使用定序问题中的缩倍法，共有种结果，
因此根据计数原理可知共有种结果.
故选：B
【例12】某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．28种
【答案】A
【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列.
因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种.
故选：A.
【变式6-1】重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（ ）
A．10B．20C．60D．30
【答案】D
【详解】6人全排有中排序方法，
所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法.
故选：D
【变式6-2】如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）
A．10B．20C．60D．120
【答案】A
【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ，
故选：A
【变式6-3】要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5个歌唱节目，则共有 种插入方法．
【答案】55440
【详解】对全部的11个节目全排列，有种，已排定顺序的6个舞蹈节目的全排列数有种，
故满足题意的插入方法有（种）.
故答案为：
题型七、相同元素隔板法
【例13】某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（ ）
A．105种B．455种C．120种D．560种
【答案】A
【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板，
这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额，
则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等．
因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种．
故选：A.
【例14】从5个班级中选10人组成校篮球队，每个班级至少选1人，则不同的选法有 种.
【答案】126
【详解】这里只是选人员而已，与顺序无关，故可把10个人看成10个相同的小球放入5个不同的盒子内，每个盒子至少有1个小球.
可先把10个小球排成一列，再在其中的9个间隙中选4个位置插入4块挡板，分成5个部分，有种方法.
故答案为：126.
【变式7-1】2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A．455B．364C．210D．120
【答案】B
【详解】11个名额分配给1个班，有种；分配给2个班，有种；
分配给3个班，有种；分配给4个班，有种，
所以名额分配的不同种数为.
故选：B
【变式7-2】15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有 种.
【答案】55
【详解】由于小球是相同的，故先用6个小球按编号数“填满”各盒子（符合最低要求），再把9个小球放入3个盒子内即可．
可用2块挡板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题），可得．
故符合题意的不同放法有55种.
故答案为：55.
【变式7-3】方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解．
【答案】 455 969
【详解】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解．
对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙，
在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分，
每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解．
对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0，
相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归．
由，
得，
则这四个盒子非空即可，
此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解．
故答案为：455，969
题型八：双面手问题
【例15】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种B．31种C．36种D．37种
【答案】D
【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，
据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法.
故选：D．
【例16】某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？
【答案】185
【详解】法一，依题意知，完成这件事情分三类，
第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有种；
第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有种；
第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有．
故由分类加法计数原理知，共有种选法．
法二，按均精通的专家分类：
第一类，两人均不参加，有种；
第二类，两人有一人参加，有种；
第三类，两人均参加，有种；
由分类加法计数原理知，共有种选法.
【变式8-1】高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里展演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既能唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，则不同的选人方案共有 种．（用数字作答）
【答案】35
【详解】不同的选人方案有3类，既能唱歌又会跳舞的人不选有种，
既能唱歌又会跳舞的人选去唱歌有种，既能唱歌又会跳舞的人选去跳舞有种，
由分类加法计数原理得：，
所以不同的选人方案共有35种.
故答案为：35
【变式8-2】某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
【答案】92
【详解】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中，
此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择；
②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择，
此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择3人，
有种选择，
此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
③若既会英语，也会日语的2人均选中，
2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择，
再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
故答案为：92
【变式8-3】已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长．
(1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
(2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）根据题意，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人，
将人排成一排，先将只擅长篮球的人进行排序，
再将擅长足球的人插入只擅长篮球的人所形成的个空位中的个，
所以，擅长足球的运动员互不相邻的排法有种．
（2）根据题意，分种情况讨论：
①选出的人中没有两项都擅长的运动员，有种选法，
②从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法，
③从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法，
故有种选法．
题型九：配对模型
【例17】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有（种）不同的选取方法，
其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法，
所以概率为．
故选：A．
【例18】有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 （ ）
A．10B．12C．13D．30
【答案】B
【详解】先从三对双胞胎中选出两对，有种选择，
然后从选出的两对双胞胎中每对中选出一个人，共有种选择.
根据乘法原理，总共有种选法.
故选：B.
【变式9-1】已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288B．144C．72D．36
【答案】C
【分析】
【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.
方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
故选：C.
【变式9-2】从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种．
【答案】 15 240
【详解】恰是两双的选法有种；
对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有种；
故答案为：15；240.
【变式9-3】有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为 .
【答案】10
【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案；
当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为，
故满足条件的不同乘车方案种数为，
故答案为：10
题型十：最短路径与爬楼梯问题
【例19】某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一共用6步登上该楼梯，则甲同学登上该楼梯的不同方法数是（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【详解】用6步走完8个台阶，则需要的每次的步数为2，2，1，1，1，1，即需要2次两步，4次1步，
故从6步中选择一下子走2步的即可，故完成的方法数是：种，
故选：B.
【例20】（多选）如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为20
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲、乙能在处相遇的走法种数为36
D．甲、乙能相遇的走法种数为164
【答案】ABD
【详解】A选项：需要走6格，其中向上3格，向右3格，
所以甲从M到达N处的走法种数为，故A正确；
B选项：甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，
从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，
根据分步乘法计数原理得：甲从M必须经过到达N处的走法种数为9，故B正确；
C选项：由图可知，甲走到处需要3步，且乙走到处需要3步，
又因为，甲经过的走法种数为9，乙经过的走法种数为9，
所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误；
D选项：甲，乙两人沿着最短路径行走，可能在，，，处相遇，
若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，所以两人在处相遇的走法有1种；
若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；
若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，
所以两人在处相遇的走法有1种.
根据分类加法计数原理得：甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：ABD.
【变式10-1】（多选）2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条
D．若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条
【答案】BC
【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误，
对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确，
对于C，若图中H处修路不通，则小明第一步只能向上，则需要再向上2格，向右4格，即共走6步，其中2步向上，最短路径的条数为条，小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条，所以C正确，
对于D，小明要去图中H处取参加活动的必需物资，先去H则小明到老年公寓需要再向上3格，向右3格，即共走6步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以D错误；
故选：BC.
【变式10-2】如图，沿着箭头从点P走到点Q，有 种不同的最短路径．
【答案】12
【详解】（方法1，直排法）直接写出经过每个点的路径种数，如图所示．
通过树状图列举：
所以总共有12种不同的最短路径．
（方法2）最短路径必为四步走完，根据图形位置，
四步中必向右有走两步，必向前有走一步，必向下有走一步，
从而利用分步计数原理即有种．
【变式10-3】某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有 种．
【答案】21
【详解】考虑迈三级台阶的次数：
迈0次三级台阶，即每次迈2级台阶，走7次，只有1种走法；
迈1次三级台阶，还有11级，无法被2整除，不可能；
迈2次三级台阶，还有8级，再迈4次2级台阶，一共要迈6次，所以有种走法；
迈3次三级台阶，还有5级，无法被2整除，不可能；
迈4次三级台阶，还有2级，再迈1次2级台阶，一共要迈5次，所以有种走法；
迈5次三级台阶，已经超过14级台阶了，不可能，
根据分类加法计数原理，不同的走法共有种.
故答案为：21.
巩固过关
1．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【详解】分以下两步：
（1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、，
所以，跳箱的分法种数为种；
（2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、，
所以，药球的分法种数为种.
由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种.
故选：B.
2．某电影院一排有7个座位，中间有条过道，过道左侧有4个座位，右侧有3个座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216B．264C．312D．528
【答案】D
【详解】按照1－7的序号对座位进行编号，左侧编号1－4，右侧编号5－7，
若小明和小刚坐在左侧，则安排情况为，共3种排法，
小明和小刚可互换位置，小强排在右侧有3种排法，剩下的4人有种排法，
因此小明和小刚坐在左侧时共有种排法；
若小明和小刚坐在右侧，则安排情况为，共2种排法，小明和小刚可互换位置，
小强只有一种排法，剩下的4人有种排法，因此小明和小刚坐在右侧时共有种排法，
所以不同的排法共有种情况.
故选：D
3．花江大峡谷被誉为“地球的裂缝”，是贵州喀斯特地貌类型最为齐全的天然亚热带岩溶景观博物馆，自2022年1月花江峡谷大桥正式开工建设以来，贵州桥梁集团等承建单位的建设者们不畏严寒酷暑，奋战在花江大峡谷600多米的云山雾海里，为大桥早日建成攻坚克难、不懈努力．某日，从张师傅、李师傅、王师傅等8名花江峡谷大桥建设工人中选取4人轮休，要求张师傅和李师傅不能同时轮休、且张师傅和王师傅必须同时轮休或在岗，若轮休的4人需要在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，且每人只需返回一次，则不同的轮休方案有（ ）
A．360种B．480种C．600种D．720种
【答案】A
【详解】若张师傅轮休，则王师傅一定也轮休，李师傅则在岗，则另外在岗3人有种方法，
若张师傅在岗，则王师傅也在岗，则另外在岗2人有种方法，
轮休的4人在四个不同时间返回待岗室进行设备检查，有种方法，
所以不同的轮休方案有.
故选：A
4．如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．84种
【答案】C
【详解】由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同，
若只有和颜色相同，则有种方法，
只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法.
故选：C
5．现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种.
【答案】380
【详解】由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有种；
对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法，
而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为，
所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多380种，
故答案为：380.
6．某校安排甲，乙，丙，丁共4位教师分别去高一，高二，高三三个年级任教，其中每个年级至少安排一位教师，若甲，乙不去高三年级但能去其他两个年级，丙，丁都能去三个年级，则不同的安排方案的种数为 ．（用数字作答）
【答案】14
【详解】若高三年级去一个人，只能从丙，丁中选1个，剩余3人选2人去1个学校，将这两人看成1人，则2人分到2个学校的方法是,所以不同的分配方案有：；
若高三年级去2个人：只能是丙，丁，所以不同的分配方案有：.
所以共有种.
故答案为：14
7．将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 .
【答案】/
【详解】只有当2号卡片是第一个或者第二个被取走时才不是“和谐序”，
当2号卡片被第一个取走时共有种取法，
当2号卡片被第二个取走时共有种取法，
而总共有种取法，所以取卡顺序是“和谐序”的概率为.
故答案为：
8．2025年3月1日起，《新能源汽车运行安全性能检验规程》正式实施，新能源汽车的动力蓄电池安全充电检测和电气安全检测成为必检项目．现将九款新能源汽车分别编号为1，2，3，…，9，从中随机抽取四款汽车进行检测，则使得抽出的汽车号码存在连续编号的取法种数为 ．
【答案】111
【详解】设取出的号码为不同的数，，，，且，
若不存在连续编号，则，从中抽取四个共有种，
所以符合条件的取法种数为.
故答案为：
9．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有 对.

【答案】39
【详解】当取两个点时，比如与，这样的相反向量有对；
当不是上述情况时：①斜着时，有4对；
②竖着时，有对；
③横着时，短横有对；长横有对；
相反的向量共有对.
故答案为：39.
10．2025年为我省新高考综合改革实施第二年，为进一步提升高考备考业务能力，考虑派八中、九中、十中、新阳、职中、新梦想六所学校的校长去江苏省、河北省、湖北省、重庆市四个地方培训，每个地方至少有一名校长去培训，但八中校长和九中校长不能在同一个地方培训，则不同的分配方案有 种．
【答案】
【详解】若八中校长和九中校长都单独1人去某一个地方培训，
则剩下4人分为两组去其他的两个地方培训，故有种不同方案．
若八中校长和九中校长有一人单独1人去某一个地方培训，
若另一个和其余一位校长去另一个地方培训，余下3人分两组去其他两个地方，
则有，
若八中校长和九中校长各自和其余一位校长去不同的地方培训，
余下2人分两组去其他两个地方，则有，
若八中校长和九中校长中一位和其余两位校长去某地，另外一位单独一位去某地，
则有，
故共有种不同方案，
故答案为：.
创新提升
1．某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种，
若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，所以生成的5个数字之和可以为3，6，9（和的最大值为10）；
（1）当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0；
若为三个1和两个0，共有种，
若为一个2，一个1，三个0，共有种，
即数字之和为3时共有种；
（2）当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1；
若为三个2和两个0，共有种，
若为两个2，两个1，一个0，共有种，
若为一个2，四个1，共有种；
即数字之和为6时共有种；
（3）当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种，
因此符合条件的组合数共有种，
所以获二等奖的概率为.
故选：A
2．10名象棋手进行单循环赛（每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局得1分，负者得0分．比赛结束，10名选手得分互不相同，且第2名得分是后5名的总得分和的，则第2名的得分为 ．
【答案】15
【详解】后5名之间比赛场次为场，后5名总得分至少有分，
故第2名至少得分．
又因为10名选手得分互不相同，第1名选手最多赢9场，故第2名选手最多赢8场，
故第2名最多得16分，
由于各位选手的得分均为整数，第2名得分是后5名的总得分和的，
所以后5名总得分应是7的倍数，第2名得分为5的倍数．
故后5名总得分应得21分，第2名得15分，只有这样的得分才符合要求，其他均不合要求.
故答案为：15.
3．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛．已知该市，四所学校各派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为 ．
【答案】
【详解】由题意得8名学生任意坐有种不同坐法. 号位有3个不同学校的学生，
则前排号位有同一学校的两名学生，后排号位也有余下学校的两名学生，
其他两校的两生，在前、后两排各有一人.先选两校分别在号位和号位同有两人，共有种方法.
在号位的同校两人不相邻，不同校的两人先排序有种排法，
再在3个空中选两个位给同校两人有种排法，所以号位有种安排方法.
这6种排法中，若前排同校两人间有两人（有2种情况，如)，则后排有3种排法；
若前排同校两人间有一人（有4种情况，如)，则后排有4种排法，
此时有种不同安排方法满足条件，
同一学校的位置上两人又可互换位置，故总共有种不同的坐法，
使同一学校的两名学生在同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生，
故所求概率为，
故答案为：.
4．互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）.
【答案】48
【详解】设，
由，可得，
因为是互不相同的正整数，故是互不相同的整数，
因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个，
可得或，
则对应的也有两组，
故符合条件数有2组，故符合条件的的所有有序实数对是这两个组的数的全排列，
即.
故答案为：.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8