上海市松江区华实高中2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份上海市松江区华实高中2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知球的半径为2，则球的表面积为__________.
2. 焦点为的抛物线的标准方程为________．
3. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点坐标为________．
4. 椭圆的长轴长为________．
5. 直线与直线的夹角为________．
6. 若圆锥的高为3，底面圆的半径为1，则这个圆锥的体积为________．
7. 棱长为2的正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为________．

8. 如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是________．

9. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是________．
10. 已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为________．

11. 小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为________．
12. 有趣的金马徐高想运用所学祖暅原理（如图1）解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为4的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为________．（结果保留）

二、单选题
13. 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
14. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
15. 已知点P在正方体的表面上，P到三个平面、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为（ ）

16. 现实生活中很多设计灵感来源于曲线，数学爱好者小花糕取，发现曲线：恰似一颗星，小花糕称之为“星形线”，请你与小花糕一起研究他发现的这条“星形线”，找出下面说法不正确的是（ ）
三、解答题
17. 已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值．
19. 如图，三棱柱是所有棱长均为4的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱的中点．

(1)求三棱柱的体积与表面积；
(2)求点E到平面的距离；
(3)求二面角的余弦值．
20. 如图所示，已知圆锥体积为，轴截面的面积为6，为底面圆周上两点，且，点是底面半径的中点，点是底面圆的弦上的点．
(1)求圆锥的底面半径和高；
(2)若点是弦AB的中点，求直线与直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；
(3)是否存在这样的点，使得平面与平面垂直，若存在，求的长，若不存在，说明理由．
21. 在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线.
(1)直接写出抛物线和圆的方程；
(2)设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值；
(3)若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
A．4
B．6
C．8
D．10
A．E关于y轴对称且关于对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．曲线E所围成图形的面积小于2
D．E上的点到原点的距离最小值为