上海市莘庄中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份上海市莘庄中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知向量，若，则实数__________.
2. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.
3. 直线与圆相交所得的弦长为______．
4. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________.
5. 函数的驻点为_________.
6. 双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为________．
7. 已知函数，则__________．
8. 设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为____________．
9. 若在上单调递增，则的取值范围是________．
10. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________.
11. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________．

12. 定义在上的函数满足，且，当不等式有解，则正实数的最大值为______.
二、单选题
13. “”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
14. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）.
15. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
三、解答题
17. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中平面ABCD，E为PD的中点，，，．

(1)求证：平面平面
(2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．
19. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元.
(1)求函数的解析式；
(2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1）
20. 已知双曲线，是双曲线上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
(3)当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.
21. 若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.
(1)若函数存在“相关点”，求的值；
(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：
(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题