2024—2025学年度上海市松江区高二上学期期中数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度上海市松江区高二上学期期中数学试题[含解析]，文件包含分层练习16第六章第三讲电功率教师版docx、分层练习16第六章第三讲电功率学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
1. 已知空间向量，，则_________________.
2. 直线与平面所成角的范围是_________________.
3. 已知球的半径为3，则球的表面积为_______________
4. 若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.
5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为_____________.
6. 如图所示，正方体中，，分别是棱，中点，则异面直线与所成的角为______.
7. 如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________.
8. 如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）
9. 在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
10. 圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________.
11. 已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为_____________.
12. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.
二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A B. C. D.
14. 若用斜二测画法画一个水平放置平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A. B.
C. D.
15. 设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若m//α，nα，则m//nB. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
16. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 2
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 如图，长方体中，，点P为的中点.
（1）求证: 直线平面;
（2）求异面直线、所成角的大小.
18. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）求“浮球”的体积：
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？
19. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值大小.
20. 如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由.
2024-2025学年上海市松江区高二上学期期中数学质量检测试题
一、填空题（本大题满分54分，第1～6题，每空4分；第7～12题，每空5分）
1. 已知空间向量，，则_________________.
【正确答案】
【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果.
【详解】因为，，
所以
故
2. 直线与平面所成角的范围是_________________.
【正确答案】
【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论.
【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况：
①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；
③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为．
显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为．
故．
3. 已知球的半径为3，则球的表面积为_______________
【正确答案】
【分析】由球的表面积公式计算即可.
【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为.
故答案为.
4. 若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.
【正确答案】相交
【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.
【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，
所以面与面的位置关系是相交.
故相交
5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为_____________.
【正确答案】
【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，求得圆锥的高为，利用圆锥的体积公式即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为，则展开图扇形的弧长为，展开图的半径为母线长，
所以，解得，所以圆锥的高为，
所以.
故答案.
6. 如图所示，正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角为______.
【正确答案】
【分析】
先利用平行关系找到为异面直线和所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.
【详解】连接，，，则为的中位线，∴.
又∵，∴四边形平行四边形，∴.∴.
∴为异面直线和所成的角或其补角.
正方体中，易知，，
∴为正三角形，∴.
∴与所成的角为.
故答案为.
7. 如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________.
【正确答案】##
【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案.
【详解】因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以在平面上的射影为，
所以与平面所成角为，
因为，
所以，
所以
故
8. 如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）
【正确答案】
分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，
∴.
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
同理可得平面的法向量为，
∴，二面角的大小为.
故答案为.
9. 在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.
【正确答案】
【分析】将正方形、铺平在同一平面上，当三点共线时，最小，然后可得答案.
【详解】
如图，将正方形、铺平在同一平面上，
当三点共线时，最小，最小值为，
故
10. 圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________.
【正确答案】
【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围.
【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为，
连接，过作，垂足为，
则，
据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，
由图2可知，当点与点重合时，，
此时取得最大值为，
如图3所示，当点与点重合时，，
此时取得最小大值为，
综上所述，面积的范围为.
故
11. 已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为_____________.
【正确答案】
【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积.
【详解】
如图所示，圆柱底面圆心记为，连接，
∵，，，平面，平面，
∴平面，
∴.
故答案为.
12. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.
【正确答案】
【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值.
【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，
小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得：，
∴，
故
二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.
【详解】平面内有一条直线，，
点在直线上，，
.
故选：B.
14. 若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用斜二测画法判断.
【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，
平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，
故选：A
15. 设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若m//α，nα，则m//nB. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
【正确答案】D
【分析】
根据线面关系的性质依次判断即可.
【详解】对于A，若m//α，nα，则m//n或异面，故A错误；
对于B，若m//α，m⊥n，则与相交、平行或在内，故B错误；
对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或在内，故C错误；
对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，故D正确.
故选：D.
16. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】D
【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面到底面的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.
【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，
设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于，
由题意知，水的体积为，
所以，即，解得，
在平面内，过点作交于，
则四边形是平行四边形，且，
又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，
即侧面与平面所成的角,其平面角为，
在直角三角形中，.
故选：D.
思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 如图，长方体中，，点P为的中点.
（1）求证: 直线平面;
（2）求异面直线、所成角的大小.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解；
（2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解.
【小问1详解】
由题意得O为的中点，
连结，又因为P是的中点，故，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，
故即为所求；因为，为的中点，则，
则易知，因为为中点，则，
在直角中，可得，
又因为，所以.
18. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.
（1）求“浮球”的体积：
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？
【正确答案】（1）
（2）克
【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；
（2）先求出一个“浮球”表面积，再求出个的面积，即可求解.
【小问1详解】
该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，
得球的半径与圆柱底面半径均为，
所以两个半球的体积之和为，
而，
该“浮球”的体积是；
【小问2详解】
上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以个“浮球”的表面积为，
因此，个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶克，
所以总共需要胶的质量为：（克）．
19. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值大小.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据等体积法，由即可求出点到平面的距离；
（2）先证明，，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所，
所以，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，
解得：，
所以点到平面的距离为；
（2）二面角即二面角，
因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，
因为面，面，可得，
因为，所以面，
因为面，面，所以，，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以二面角的余弦值为.
20. 如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为的中点.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）存在，且
【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得平面.根据已知得出.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出平面，求出的坐标，即可根据向量法求出答案；
（2）求出平面的法向量，根据向量法即可得出距离；
（3）假设存在，设，得出.求出平面的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出的值，进而得出答案.
【小问1详解】
在中，，O为的中点，
所以.
又因为面底面，平面平面，平面，
所以，平面.
在中，，，
所以，，.
在直角梯形中，为的中点，
所以.
又，
所以四边形为平行四边形，.
因为，，所以.
以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
所以.
因为，，，平面，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量.
因为，
所以与平面所成角的正弦值为，余弦值为.
【小问2详解】
由（1）可得，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得.
所以，B点到平面的距离.
【小问3详解】
假设存在，且设.
因为，
所以，，.
设平面的法向量为，，，
则，
取，得.
因为平面，所以平面的一个法向量为.
因为二面角的余弦值为，
所以，
整理化简，得，解得或（舍去），
所以，线段上存在满足题意的点Q，且.
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）通过证明和，结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可；
（3）首先假设存在点满足条件，设，，得到，根据线面角的向量求法得到，由方程无解，得到假设不成立.
【小问1详解】
因为是正三角形，是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面，
所以面；
小问2详解】
如图，以点为原点，分别以， ，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，
因为，所以，
令，则，
又平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以，则，
所以平面与平面所成锐二面角为；
【小问3详解】
假设存在点，使得直线与平面所成角为，
设，，
则，
由（2）知平面的一个法向量为，
则，
整理得，
因为，所以方程无解，假设不成立.
所以不存在点，使得直线与平面所成角为.