2021-2022学年上海市松江区高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市松江区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端，从而可得答案．

【详解】解：用数学归纳法证明等式时，

当左边所得的项是；

假设时，命题成立，左端为；

则当时，左端为，

当时，等式左边应在的基础上加上．

故选：C.

2．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】如图所示,连接AG1交BC于点M，则M为BC中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.

【详解】如图所示,连接AG1交BC于点M,则M为BC中点，

)=,

.

因为

所以=3(),

∴  .

则，

∴  ，，，

故选：A.

3．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ）

A．若，则数列单调递增

B．若，则数列单调递增

C．若数列单调递增，则

D．若数列单调递增，则

【答案】D

【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；

举例首项和公比的值即可判断C；

根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.

【详解】A：由，得，即，则、取值同号，

若，则不是递增数列，故A错误；

B：由，得，即，则、取值同号，

若，则数列不是递增数列，故B错误；

C：若等比数列，公比，则，

所以数列为递增数列，但，故C错误；

D：由数列为递增数列，得，所以，

即，所以，故D正确.

故选：D

4．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（    ）

A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

【答案】A

【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②

【详解】曲线,

当当 当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确

故选：A

二、填空题

5．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.

【答案】####45°

【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.

【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，

因为，所以.

故答案为：.

6．已知向量，且，则_________.

【答案】1

【分析】根据空间向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.

【详解】由题意得：，故.

故答案为：1

7．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，则_______.

【答案】10

【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.

【详解】根据抛物线的定义可得，所以.

故答案为：10.

8．计算：________.

【答案】

【分析】利用等差数列求和公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________.

【答案】或

【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.

【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，

由于的斜率为，即，

所以，

由于直线与直线的夹角为，

所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为.

所以，解得，

或，解得.

所以实数的值为或.

故答案为：或

10．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________.

【答案】-1

【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值.

【详解】因为直线⊥平面，则与平行，

故，即，解得：，

故实数的值为-1.

故答案为：-1

11．已知数列前项和满足，则________.

【答案】

【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.

【详解】因为，所以，

当时，，

当时，，

因为，

故，

故答案为：

12．在无穷等比数列中，，公比，记.则________.

【答案】

【分析】先求得，然后求得.

【详解】，

，

，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以.

故答案为：

13．等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.

【答案】5或6

【分析】先求得，然后利用求得正确答案.

【详解】设等差数列的公差为，

，解得，

所以，

由，解得，又，

所以取得最大值时的值为5或6.

故答案为：5或6

14．已知圆与圆相交于，两点，且满足，则_________.

【答案】

【分析】求得两个圆的圆心和半径，根据两圆相交弦的性质列方程来求得的值.

【详解】圆的圆心为，

半径.

圆，即，

所以圆心为，半径.

由于，所以，是坐标原点.

即两圆公共弦的垂直平分线过，

根据两圆相交弦的性质可知，公共弦的垂直平分线，

所以，所以，解得.

故答案为：

15．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为________.

【答案】6

【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.

【详解】双曲线，，，

圆的圆心为，半径，

在双曲线的左支上，，

所以，

根据圆的几何性质可知，的最小值是，

所以的最小值是.

故答案为：

16．已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、，其交点与点满足，则________.

【答案】8

【分析】先得到为椭圆，为双曲线，结合图象的几何性质得到，结合椭圆定义，双曲线定义及列出方程，求出.

【详解】，，为椭圆，

，，，为双曲线，

结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，

故

设，则根据椭圆，双曲线定义及可得：

，解得：，

所以存在这样的、，且或或.

故答案为：8

三、解答题

17．已知平面内两点.

(1)求的中垂线方程；

(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）根据中点和斜率求得的中垂线方程.

（2）设出平行直线的方程，结合点到直线的距离求得正确答案.

【详解】（1），所以的中垂线的斜率为，

线段的中点为，

所以的中垂线的方程为，即.

（2）设所求直线方程为，

圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

所以所求直线方程为或.

18．已知正方体的棱长为2，点分别是棱和的中点.

(1)求与所成角的大小；

(2)求与平面所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据线线角的知识求得正确答案.

（2）作出与平面所成角，解三角形求得角的大小.

【详解】（1）由于点分别是棱和的中点，

所以，所以与所成角，即与所成角，

由于三角形是等边三角形，所以与所成角为，

所以与所成角为.

（2）设平面平面，

由于，所以，

所以，由于平面，平面，所以，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以，所以，

所以即是与平面所成角，

.

19．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的仍为沙漠，只有为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年绿洲面积为，经过年绿洲面积为.

(1)写出，并证明：数列是等比数列；

(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过?

【答案】(1)，证明见解析；

(2)2022年

【分析】（1）根据题意求出，并列出，构造法求出，从而得到为公比为，首项为的等比数列；

（2）在第一问的基础上得到，列出不等式，求出，结合，且，，从而，得到答案.

【详解】（1），

，

设，则，

从而，解得：，

故，

故为公比为，首项为的等比数列；

（2）由（1）得：

故，

令，解得：，

显然单调递减，当时，，，

故，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过.

20．已知椭圆的离心率为、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求的面积；

(3)设为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，判断是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)；

(2)；

(3)是，

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）利用余弦定理求得，从而求得的面积.

（3）根据切线是否与坐标轴平行进行分类讨论，结合判别式求得.

【详解】（1）依题意，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）根据椭圆的定义可知，①，

由余弦定理得，

即②，

由①②得，所以.

（3）圆的方程为，椭圆的方程为

注意到是圆上的点，

过上述四个点中的任意一个作椭圆的切线，则两条切线垂直，即.

当是圆上除去上述四个点外的任意一点时，

切线和切线的斜率存在且不为零，

设切线方程为，

由消去并化简得，

令，

整理得，

所以，由于，所以，

即.

综上所述，是定值，且定值为.

21．已知等比数列的公比为是的前项和.

(1)若，求；

(2)若有无最值?说明理由；

(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个?

【答案】(1)或；

(2)当时，有最小值为1，但无最大值；当时，有最大值为1，最小值为；理由见解析

(3)232

【分析】（1）先求得公比，然后求得.

（2）对进行分类讨论，从而求得正确结论.

（3）求得和的关系式，对分类讨论，确定的可能取值，即可求得正确答案.

【详解】（1）依题意，

当时，.

当时，

（2）当时，，是单调递增数列，

有最小值为，没有最大值.

当时，，，

①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且，

②，当为偶数时，单调递增，有最小值，

且.

所以当时，的最大值为，最小值为.

（3）依题意，，首项和都是正整数，，

由于，所以，

即从开始（），有种可能，

所以从开始（），有种可能，

由于，即，

即恒成立，

则时，，所以，

试题或，

当时，，

则取，共种.

当时，，

则取，共种.

综上所述，数列有个.