2025-2026学年上海市松江一中高二（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年上海市松江一中高二（上）期中数学试卷（有答案和解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知n为平面α的一个法向量，a为直线l的方向向量，则“a⊥n”是“l//α”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是( )
A. 若A，B为两个事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)
B. 若事件A，B，C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1
C. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B相互对立
D. 若A，B为相互对立事件，则A与B一定互斥
3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0, 22)C. (12, 22)D. ( 22,1)
4.在一个棱长为3 6的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为( )
A. 18πB. 24 3C. 48 3D. 48π
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线x=1的倾斜角的大小为 .
6.椭圆x24+y23=1的焦距等于______.
7.已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的侧面积为 .(结果保留π)
8.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.3，P(A−∩B)=0.42，则P(B−)= .
9.已知方程x2+y2−2x−4y+m=0，若此方程表示圆，则m的范围是 .
10.若一组数据x1，x2，x3的方差为3，则2x1+1，2x2+1，2x3+1的方差为 .
11.若以连续两次掷均匀骰子得到的点数m，n，作为点P的横、纵坐标，则点P(m,n)在直线x+y=6上的概率为 .
12.若直线l过点P(−2, 3)，且与直线m:x− 3y+2=0的夹角为π3，则直线l的方程是 .
13.设正三棱锥O−ABC的棱长都是2，若点P满足OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1，则|OP|的最小值为 .
14.关于x的方程 1−x2=k(x+2)−1有两个不同的实数根，则实数k的取值范围 .
15.已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x−4)2+(y−3)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为______.
16.在平面直角坐标系xOy中，定义d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A(x1,y1)，B(x2,y2)两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆C：x22+y2=1，点P，Q，R在椭圆C上，PQ⊥x轴.点M，N满足RM=MP,PN=2NQ.若直线MQ与NR的交点在x轴上，则d(R,Q)的最大值为______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知直线l1：(m+2)x+my−8=0与直线l2：mx+y−4=0，m∈R.
(1)若l1⊥l2时，求m的值；
(2)若点P(1,m)在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距互为相反数(截距均不为零)，求直线l的方程.
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB//平面AEC；
(2)若三棱锥C−ADE的体积为2 23，求PC与底面所成角的大小．
19.(本小题14分)
某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按照平价收费，超出部分按议价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查(单位kW⋅h)，并绘制了如图所示的频率分布直方图：
(1)求x的值；
(2)求被调查用户的月用电量平均值；(同一组数据用该区间的中点值作代表)
(3)若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定a值为多少？
20.(本小题18分)
已知圆C：x2+y2−2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x−4y−15=0.
(1)求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
(2)当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；
(3)是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P(2,0)距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
定义：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，把圆x2+y2=a2b2a2+b2称为该椭圆的协同圆.设椭圆C：x24+y22=1的协同圆为圆O(O为坐标系原点)，试解决下列问题：
(1)写出协同圆圆O的方程；
(2)设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于A、B两点，求OA⋅OB的值；
(3)设M、N是椭圆C上的两个动点，且OM⊥ON，过点O作OH⊥MN，交直线MN于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：n为平面α的一个法向量，a为直线l的方向向量，若a⊥n，则l⊂α或l//α，则充分性不成立，
若l//α，则a⊥n，则必要性成立，
故“a⊥n”是“l//α”的必要不充分条件．
故选：B.
根据直线方向向量与平面法向量的定义结合充分必要条件的定义可解．
本题考查直线方向向量与平面法向量的定义以及必要不充分条件的定义相关知识，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A：只有事件A，B互斥时，才有P(A+B)=P(A)+P(B)成立，A错误；
对于B：若事件A，B，C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，B错误；
对于C：若P(A)+P(B)=1且事件A，B互斥时，才有A与B相互对立，C错误；
对于D：对立事件一定是互斥事件，D正确．
故选：D.
根据对立事件和互斥事件的定义，结合对立事件和互斥事件的概率公式进行逐一判断即可．
本题考查互斥事件、对立事件的定义，涉及相互独立事件的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为MF1⊥MF2，故M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2=c2，
圆在椭圆内部，故c