圆锥曲线：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练含答案-2026届高考数学二轮复习

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例1．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且.
(1)求；
(2)若过点的直线交于，两点，且，求的值.
例2．（25-26高三上·福建福州·月考）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点．
(1)求的准线方程；
(2)证明：；
例3．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值.
变式1．（25-26高二下·四川广元·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的值.
变式2．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作长轴的垂线交其“伴随圆”于点在同一象限内，称点为点的“伴随点” 已知椭圆：上的点的“伴随点”为
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，当最小时，求点的坐标.
变式3．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|．
考点二 面积问题
例1．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围.
例2．（2026·陕西榆林·一模）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)证明：；
(3)过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于．
例3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上.
(1)求的方程；
(2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点.
（i）若，且的重心在轴上，求的方程；
（ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值.
变式1．（2026·山东·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，直线过点交椭圆于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)线段的垂直平分线与轴的交点为，若点为椭圆的左顶点，求的面积．
变式2．（25-26高三下·广东东莞·开学考试）设分别是椭圆的左、右焦点，已知椭圆的长轴为，是椭圆上一动点，的最大值为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围．
(3)如图，直线为椭圆与抛物线的公切线，其中点分别在椭圆与抛物线上，线段交于点，求的面积的最小值．
变式3．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(3)求面积的取值范围.
考点三 中点弦问题
例1．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例3．（25-26高三上·江苏连云港·月考·多选）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的实轴长为4
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．若直线与没有公共点，则
D．存在过点的直线与相交于，且点为的中点
例4．（25-26高二上·江苏淮安·期中·多选）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（ ）
A．点在椭圆上
B．椭圆的离心率为
C．直线与椭圆相交
D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为
例5．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______.
例6．（25-26高二上·江西上饶·月考）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______.
变式1．（25-26高二上·陕西西安·期末）若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（ ）
A．B．2C．D．4
变式2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（25-26高三上·浙江杭州·期中·多选）已知椭圆，左、右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在最大值
B．椭圆的离心率为
C．的最小值为
D．被点平分的弦所在直线的斜率为
变式4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）已知曲线C：，点P是曲线C上一点，直线与曲线C交于不同的两点M、N，点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的长轴长为
B．点P到直线的最大距离是
C．直线的方程为
D．若，则最大值是
变式5．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则________．
变式6．（25-26高二上·江西·期末）已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________．考点目录
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面积问题
中点弦问题